Диссертация (1149153), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Формула Гелл-Манна-Лоу-Сьючера для сдвига энергии ΔEA электрона в атоме68или одноэлектронном ионе выглядит следующим образом∂hA|Sbη |Ai1 e ∂e,iηη→0 2hA|Sbη |Ai(4.23)ΔEA = limАдиабатическая S -матрица Sη отличается от обыкновенной S -матрицы наличием адиабатического экспоненциального множителя e−η|t| в каждой вершине. Энергетический сдвиграссматривается относительно невозмущённой энергии EA0 . Сдвиг может быть вызван радиационными поправками или поправками на межэлектронное взаимодействие в многоэлектронных атомах.

Мнимая часть сдвига энергии обусловленного радиационными поправками соответствует радиационной ширине уровня, в то время как мнимая часть поправок второго порядка на межэлектронное взаимодействие соответствуют Оже ширине.Использование выражения (4.23) позволяет не требовать выполнения условия 1) в §4.1.Для одноэлектронного атома (иона) в состоянии |Ai взаимодействующего с фотоннымвакуумом поправках энергии ΔEA содержит только диагональные матричные элементы Sматрицы чётного порядка. Разложение выражения (4.20) до членов 4 порядка по e выглядит следующим образом [77]hiΔEA = lim iη hA|Sbη(2) |Ai + 2hA|Sbη(4) |Ai − hA|Sbη(2) |Ai2 .(4.24)η→0Разделяя вещественную и мнимую части матричного элемента hA|Sbη(i) |Ai и используя выражения (4.2) и (4.24) находим [26]ΓA = − lim η RehA|Sbη(2) |Ai + 2RehA|Sbη(4) |Ai + |hA|Sbη(2) |Ai|2 − 2η→0RehA|Sbη(2) |Ai2 .(4.25)Выражение (4.25) верно для членов порядка e4 включительно. Для дальнейшего использования выражения (4.25) в [26] предлагалось применить оптическую теорему.

Эта теоремаявляется следствием унитарности S -матрицы. Формулировка оптической теоремы даётсячерез определением T -матрицыSb = 1 + iTb.(4.26)i(Tb − Tb+ ) = −Tb+ Tb = −TbTb+ .(4.27)Тогда оптическая теорема имеет вид69В терминах матричных элементов оптическая теорема (4.27) выглядит следующим образом2ImhI|Tb|Ii =X|hF |Tb|Ii|2 ,(4.28)Fгде волновая функция |Ii соответствует начальному возбуждённому состоянию атомногоэлектрона и фотонного вакуума. Суммирование в (4.28) проходит по всем состояниям |F i,соответствующие конечному (не обязательно основному) состоянию атомный электрон +поле фотонов (один или два фотона в нашем случае).

Применяя оптическую теорему вформе (4.28) и соотношения между матричными элементамиRehI|Sb(i) |Ii = −ImhI|Tb(i) |Ii ,(4.29)где i = 1, 2, ..., получим следующее равенство [26]−2RehI|Sb(2i) |Ii =X|hF |Sb(i) |Ii|2 +XXFF2RehI|Sb(2j) |F ihF |Sb(2i−j) |Ii(4.30)j<iДля матричного элемента четвёртого порядка по из (4.30) следует, что−2RehI|Sb(4) |Ii =XF|hF |Sb(2) |Ii|2 +XXF2RehI|Sb(1) |F ihF |Sb(3) |Ii .(4.31)j<iПоследний член в (4.31) представляет радиационную поправку к однофотонной ширинепосчитанную Барбиери и Сьючером в [29]. Так как для нас она не представляет интерес,будем рассматривать только члены связанные с двухфотонной шириной.Вообще говоря адиабатическая S -матрица не унитарна и использование оптическойтеоремы может быть затруднено, однако, после перехода к пределу по адиабатическому параметру её применение становится возможным и приводит к верным результатам.Некоторые примеры таких вычислений были рассмотрены в [26].Из выражения (4.25), для состояния I = A, 0γ (возбуждённое состояние атома, фотоныотсутствуют) приходим к определению двухфотонной шириныΓ2γA22 X = lim η 2.hF |Sbη(2) |A, 0γ i + 4 RehA, 0γ |Sbη(2) |A, 0γ iη→0 F 6=A,0γ(4.32)70Важно отметить, что нефизическое состояние F = A, 2γ формально присутствует в суммепо F в выражении (4.32).

Перепишем (4.32) в формеΓ2γA222 X = lim η 2.hF |Sbη(2) |A, 0γ i + 2 hA, 2γ |Sbη(2) |A, 0γ i + 4 RehA, 0γ |Sbη(2) |A, 0γ iη→0  F 6=A,0γ(4.33)F 6=A,2γВторой член в выражении (4.33) соответствует нефизическому переходу A → A + 2γсокращаемому последним членом в (4.33) [26]. Суммирование по F в (4.32) подразумеваеттакже интегрирование по волновым векторам фотонов и суммирование по поляризациям.Отметим, что анализ выражения (4.33) отличается от приведённого в [26]. Ниже будет показано, что вывод выражения для двухфотонной ширины представленный в этомпараграфе приводит к результатам параграфа 4.1.Подстановка соответствующих матричных элементов в (4.33) и интегрирование по частоте одного из фотонов (частота второго фотона будет фиксирована законом сохраненияэнергии) приводят кΓ2γA =XFΓ2γAF ~0~0∗ZZ ω0~ )e−ik ~r(~e ∗ α~ )e−ik~rX (~e αe4 X XFnnAdνdν 0(4.34)dω ω(ω0 − ω)= lim 4 3η→0 2 π 0E−E+ω+iηnA0nFee 2 ~~0 (~e ∗ α~ )e−ik~r(~e0 ∗ α~ )e−ik ~r FnnA + En − EF − ω + iη где ω0 - энергия перехода.Для того чтобы наглядно продемонстрировать эквивалентность выражений (4.34) и(4.17) при наличии каскадов (при отсутствии каскадов, это очевидно так как амплитудаперехода вещественна), рассмотрим в качестве примера переход 3s → 1s + 2γ (A = 3s, F = 1s)Γ2γ3s,1s = limη→04e24 π 3XZe e00ω0dνdν 0Z −i~k0 ~r∗−i~k~r (~e0 ∗ α~)e(~eα~)eX1snn3sdω ω(ω0 − ω)E−E+ω+iηn3sn 2~~0(~e ∗ α~ )e−ik~r(~e0 ∗ α~ )e−ik ~r1snn3s + .En − E1s − ω + iη(4.35)Резонансные члены при n = 2p в выражении (4.35) выглядят следующим образомΓ2γ,res.13s−2p−1s2ZZ 0∗e4 X0−i~k0 ~r∗−i~k~r~ )e(~e α~ )e= lim 4 3dνdνdω ω(ω0 − ω) (~e αη→0 2 π1s2p2p3s0ee21× E2p − E3s + ω + iη (4.36)71и2ZZ 0∗e4 X−i~k0 ~r∗−i~k~r0(~e(~eα~)eα~)edνdνdωω(ω−ω)043η→0 2 π1s2p2p3se e021 .×E2p − E1s − ω + iη Γ2γ,res.23s−2p−1s = lim(4.37)Параметр η в выражениях (4.36) и (4.37) один и тот же.

Предельный переход η → 0 вадиабатической теории выполняется только после всех интегрирований. Это оправдываетпредположения сделанные в предыдущем параграфе. РавенствоZ1limε→0211 =π+dω + O(ε2 )a − ω + iεεa(a − 1)(4.38)0введённое в работе [39], применённое к (4.37) приводит к положительному вкладу + πη в товремя как для (4.37) оно даёт − πη . Таким образом, эти сингулярные члены сокращают другдруга в (4.35) после применения равенства (4.38). Учитывая выражение (4.21) выпишемцепочку равенств для двух резонансных членов в выражении (4.35)Z1limη→022Z1111π1 =π+dω + lim dω 0− + 0 0+ O(η 2 ) =η→0a − ω + iηa − ω − iηηa(a − 1) ηa (a − 1)0(4.39)0lim ReZ1dωη→01a − ω + iη2+ lim ReZ1η→00dω1a0 − ω + iη2.0Подставляя (4.39) в (4.35) окончательно приходим к выражению4Γ2γ3s,1s = e lim ReZω0 ω(ω0 − ω)24 π 3Z0~ 00∗~ )e−ik ~rX X  (~e α~(~e ∗ α~ )e−ik~r1snn3s+E−E+ω+iηn3s0 n~e~e0 ~~ 0(~e ∗ α~ )e−ik~r(~e 0 ∗ α~ )e−ik ~r1snn3s×+En − E1s − ω + iη∗ ∗∗ ∗ ~ 0~~ 0~ (~e ∗ α~ )e−ik~r(~e 0 ∗ α~ )e−ik ~r(~e ∗ α~ )e−ik~r(~e 0 ∗ α~ )e−ik ~rX1smm3sm3s1sm+ dω .E−E+ω+iηE−E−ω+iηm3sm1sm η→0d~ν d~ν(4.40)Как видно это выражение для двухфотонной ширины Γ2γ3s,1s полученное в рамках теорииадиабатической S -матрицы полностью совпадает с (4.20) для A = 3s, k = 1s.Подход представленный в этом параграфе может быть применён и для вычисления2γвероятности перехода W3s,1sчерез S -матрицу, однако, в этом случае сингулярные члены ввыражении (4.40) не сократят друг друга.

Каждый электронный пропагатор, входящий72Таблица 6: Значения величин Γ2γAk для атома водорода. Символ (∗) - обозначает значения,посчитанные также ранее в работах [39]- [40].n0Состоянияnln0 l12342sn0 s8.2293558.229352 ∗---3sn0 s2.0830862.082853 ∗0.064531--3dn0 s1.0427081.042896 ∗0.000776--4sn0 s0.6997170.698897 ∗0.0168430.002925-4s4pn0 dn0 p-0.0156239.69 × 10−60.002503-4dn0 s0.5984060.598798 ∗−0.0073190.000030-4d4fn0 dnp--0.0016850.000044-0.0317545sn0 s0.2881170.287110 ∗0.0817410.0007040.0002985sn0 d--−0.0000281.82 × 10−6в амплитуду двухфотонного распада содержит инфинитезимальный параметр ε, пределыпо которым должны браться независимо. Таким образом сингулярности остаются в каскадных членах в выражении для вероятности двухфотонного перехода и должны бытьрегуляризованы введением ширин в энергетический знаменатель (см.

Главу 2). Численные расчёты двухфотонных ширин в атоме водорода представлены в таблице 6. Как ужеупоминалось в параграфе 4.1 эти величины, соответствующие переходам с каскадами,не могут рассматриваться как вклад "чистого" излучения в вероятность двухфотонногораспада и представляют собой радиационную поправку к однофотонной ширине и могутпринимать в некоторых случаях отрицательные значения, что подтверждается расчётами.73Глава 5.

Спин-Статистические Правила Отбора для многофотонных переходов в атомах5.1Обобщение теоремы Ландау-Янга на двухфотонные переходыв атомахТеорема Ландау-Янга [35], [36] наравне с конденсатом Бозе-Эйнштейна - одно из наиболее ярких подтверждений статистики Бозе-Эйнштейна для частиц с целочисленнымспином. Эта теорема запрещает двум фотонам находиться в квантовомеханическом состоянии с полным моментом равным единице.Одним из примеров в физике высоких энергий является невозможность двухфотонногораспада Z 0 бозона (нейтральная частица со спином 1). Ещё одним проявлением теоремыЛандау-Янга является запрет на двухфотонный аннигиляционный распад ортопозитрония(также частица со спином 1).

Однако оба этих процесса прежде всего запрещены закономсохранения зарядовой чётности. Так как позитроний представляет истинно нейтральнуючастицу (совпадает сама с обой при зарядовом сопряжении), он имеет опредёлённую зарядовую чётность [66], связанную со значением полного спина S : парапозитроний (S = 0)зарядово положительный, ортопизитроний (S = 1) зарядово отрицательный.

Так как зарядовая чётность системы Nγ фотонов эквивалентна (−1)Nγ [28], парапозитроний не можетраспадаться на чётное число фотонов. Z 0 как зарядово отрицательная частица также неможет распадаться на чётное число фотонов.Похожая ситуация возникает и в атомной физике. Расчёты двухфотонных распадов вгелиеподобных ионах, показывают, что переходы из синглета 21 S0 ≡ (1s2s)1 S0 и триплета23 S1 ≡ (1s2s)3 S1в основное 11 S0 ≡ (1s)2 1 S0 состояние имеют существенное различие функ-ций распределения излучаемых фотонов по частоте [78], [79]. Вероятность двухфотонногораспада из триплёта обращается в ноль, когда частоты излучённых фотонов равны (см.Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации