Диссертация (1149153), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

11)Распределение по частоте для 33 D3 → 11 S0 + 2γE(2) перехода представлено на Рис 12.Рис. 12: Функция распределения по частоте для двухфотонного перехода(1s3d)3 D→ (1s)2;1 S0 + 2γ(E2) в гелиеподобном уране (Z = 92). Обозначения те же, что и наРис. 11. Δ3 обозначает разницу энергий Δ3 = E(33 D3 ) − E(11 S0 ). Полная вероятность переходаW2γ (33 D3 − 11 S0 ) = 3.3299 × 104 s−1 для обеих калибровок ("длины" и "скорости").3Из Рис.

12 видно, что ССПО-1 запрещает двум эквивалентным фотонам излучённымв некотором атомном переходе иметь полный угловой момент J = 3. Как было отмечено выше, это не соответствует оригинальной формулировке теоремы Ландау-Янга. Этатеорема разрешает данное значение полного углового момента для двухфотонных распадов в которых частица дематериализуется в процессе излучения, что делает возможнымприменение системы отсчёта связанной с центром инерции системы двух фотонов.Прежде чем перейти к доказательству ССПО-2 для системы трёх эквивалентных фотонов полезно провести аналогию со Спин-Статистическими Правилами для эквивалентныхэлектронов в атомах.

Значения полного электронного момента Je разрешаются соответствующими ССПО в рамках jj схемы (связи (в этом случае ССПО основываются на статистике Ферми-Дирака). Пусть ψnje le me (~r) одноэлектронная дираковская волновая функция вкоординатном пространстве (спинорные индексы опустим), где n главное квантовое число,79je , meполный угловой момент электрона и его проекция, le орбитальный угловой момент,который определяет чётность состояния P = (−1)le , ~r - вектор координат.

Тогда двухэлектронная атомная волновая функция (16-компонентный спинор) с полным электроннымугловым моментом Je и его проекцией Me может быть представлена следующим образом(le1 le2 )(~r1 , ~r2 )1 n2 Je MeψnX=Nme1 me2CjJee Mmee11 j e2 m e2hψn1 je1 le1 me1 (~r1 )ψn2 je2 le2 me2 (~r2 ) −(5.9)iψn1 je1 le1 me1 (~r2 )ψn2 je2 le2 me2 (~r1 ) ,где N нормировочный множитель. Статистика Ферми-Дирака учтена в (5.9) через антисимметризацию волновой функции. Чётность двухэлектронной волновой функции определяется как P = (−1)le1 +le2 .

Для эквивалентных электронов (т.е. для электронов из однойнезаполненной оболочки) n1 = n2 = n, je1 = je2 = je , le1 = le2 = le . Тогда, поступая аналогичным образом как и в случае с волновой функцией системы двух фотонов, находим(le le )ψnnJ(~r , ~r ) = N 1 − (−1)2je +Jee Me 1 2Xm e1 m e2eCjJeejMe me1 me2ψnje le me1 (~r1 )ψnje le me2 (~r2 ).(5.10)Чётность этой функции всегда +1 как и для (5.8). Из выражения (5.10) следует, что ССПОразрешают для двух эквивалентных электронов только чётные значения Je , также как этобыло в случае фотонов.

Такая аналогия возникает благодаря тому что второй член в квадратных скобках выражения (5.10) имеет дополнительный множитель (−1) по сравнению с(5.8), но je принимает полуцелые значения в отличие от j .В случае когда число эквивалентных электронов больше чем 2 полный угловой моментсистемы Je может быть определён иным образом. Для этого необходимо выписать всенаборы проекций me1 , . . . meNe которые не запрещены принципом Паули.

Тогда для каждогонабора доожна быть определена полная проекция Me и все значения Me должны бытьраспределены между возможными значениями Je . Эта длительная процедура (напримердля je = 7/2 и Ne = 4 будем иметь 70 различных наборов) лишь незначительно можетбыть упрощена применением теории групп. Результаты таких расчётов приведены в [83]и представлены в таблице 7.Строго говоря, все значения в этой таблице следуют из принципа Паули.

Однако, еслииспользовать ССПО-1, ССПО-2 и т.д. для определения разрешённых значений Je будетвидно, что эти правила работают только до je = 7/2, Ne = 4. Они нарушаются при Je = 5для je = 7/2, Ne = 4. Таким образом применение ССПО-3 для эквивалентных электронов80Таблица 7: Разрешённые значения полного углового момента Je для системы Neэквивалентных электронов с угловым моментом je в рамках jj-схемы сложения. Результатыприведены только, для чётного числа Ne для проведения аналогии с системой эквивалентныхфотонов. Числа в скобках показывают, сколько раз определенный полный момент Jeвстречается среди разрешённых значений.je1/23/25/27/2Ne222, 42, 64Je00, 20, 2, 40, 2, 4, 60, 2(2), 4(2), 5, 6, 8ограничено значением je = 5/2 для каждого отдельного электрона. Это обстоятельствоследует сравнивать с ограничением на мультипольность фотонов j = 1 в ССПО-2 и ССПО3.5.2Спин-Статистические Правила Отбора для системы трёх эквивалентных фотоновВ случае числа фотонов Nγ > 2 ССПО могут быть сформулированы только для дипольных фотонов.

Рассмотрим конкретный пример и только затем перейдём к общемудоказательству. Прежде всего необходимо получить полностью релятивистское выражение для вероятности трёхфотонного перехода в одно- и двухэлектронных МЗИ удобноедля проведения численных расчётов. Ниже будем использовать релятивистские единицы~ = c = 1.S -матричныйэлемент для процесса i → f + 3γ (i и f означают соответственно начальноеи конечное состояние водородоподобного иона) выглядит как [66], [28], [24](3)Sf i= (−ie)3Z∗(~k ~e )∗(~k ~e )∗(~k ~e )d4 x3 d4 x2 d4 x1 ψ f (x3 )γµ3 Aµ3 3 3 (x3 )S(x3 , x2 )γµ2 Aµ2 2 2 (x2 )S(x2 , x1 )γµ1 Aµ1 1 1 (x1 )ψi (x1(5.11)),Амплитуда процесса U связана с S -матрицей соотношениемSf i = −2πiδ(Ei − Ef − ω3 − ω2 − ω1 )Uf i .(5.12)81Дифференциальная вероятность перехода определяется следующим образом3γdWi→fdω3 dω2 dω1 (3) = 2πδ(Ei − Ef − ω3 − ω2 − ω1 ) Uf i .(5.13)Принимая во внимание все возможные перестановки фотонов и интегрируя выражение(5.13) по ω3 , находимZdWi→f (ω1 , ω2 )ω3 ω2 ω1 Xd~ν1 d~ν2 d~ν3 ×=dω1 dω2(2π)5~e3 ,~e2 ,~e1 ~∗~∗~∗~∗~∗~∗~Aα~Aα~Aα~Aα~Aα~AX αX~e3 ,~k3 f n0~e2 ,~k2 n0 n~e1 ,~k1 ni~e3 ,~k3 f n0~e1 ,~k1 n0 n~e2 ,~k2 ni++ 0(En0 − Ef − ω3 )(En − Ef − ω3 − ω2 )(En0 − Ef − ω3 )(En − Ef − ω3 − ω1 )n nn0 n ~∗~∗~∗~∗~∗~∗α~Aα~Aα~Aα~Aα~Aα~A~~~~~~XX~e1 ,k1 f n0~e3 ,k3 n0 n~e2 ,k2 ni~e1 ,k1 f n0~e2 ,k2 n0 n~e3 ,k3 ni++(En0 − Ef − ω1 )(En − Ef − ω1 − ω3 )(En0 − Ef − ω1 )(En − Ef − ω1 − ω2 )n0 nn0 n 2 ~∗~∗~∗~∗~∗~∗α~Aα~Aα~Aα~Aα~Aα~A~~~~~~XX~e2 ,k2 f m~e1 ,k1 n0 n~e3 ,k3 ni ~e2 ,k2 f n0~e3 ,k3 n0 n~e1 ,k1 ni+ ,(En0 − Ef − ω2 )(En − Ef − ω2 − ω3 )(En0 − Ef − ω2 )(En − Ef − ω2 − ω1 ) n0 nn0 n(5.14)где ω3 = Ei − Ef − ω2 − ω1 .

Полная вероятность перехода определяется следующим образомWi→f =X113! 2jei + 1 m ,meiZZefdWi→f (ω1 , ω2 )dω1 dω2 .dω1 dω2(5.15)Используя разложение плоских волн по сферическим гармоникам в выражении (5.14),суммируя по поляризациям и интегрируя по направлениям вылета фотонов находим (λ1 )(λ2 )(λ )QQX Qjγ 3 mγ ω3ωjmωmjγγγγ11 1 ni2 2 n0 n332f n0 0(En0 − Ef − ω3 )(En − Ef − ω3 − ω2 )n n (λ1 )(λ3 )(λ2 )QQQXjγ1 mγ1 ω1jγ3 mγ3 ω3jγ2 mγ2 ω2f n0n0 nni(En0 − Ef − ω1 )(En − Ef − ω1 − ω3 ) (λ2 )(λ3 )(λ1 )QQQXjγ mγ ω2jγ mγ ω3jγ mγ ω1n0 n2n0 n2f n033n0 n11(En0 − Ef − ω2 )(En − Ef − ω2 − ω3 )XXω3 ω2 ω1 XdWi→f (ω1 , ω2 )(5.16)=dω1 dω2(2π)5λ3 λ2 λ1 jγ3 jγ2 jγ1 mγ3 mγ2 mγ1 (λ2 )(λ1 )(λ3 )X Qjγ3 mγ3 ω3 f n0 Qjγ1 mγ1 ω1 n0 n Qjγ2 mγ2 ω2 ni++(En0 − Ef − ω3 )(En − Ef − ω3 − ω1 )0n n+f n0(λ )22 ω2 n0 nQjγ 2 mγ(λ )Qjγ 3 mγ33 ω3 ni+(En0 − Ef − ω1 )(En − Ef − ω1 − ω2 ) 2(λ2 )(λ1 )(λ3 )QQQXjγ2 mγ2 ω2jγ1 mγ1 ω1jγ3 mγ3 ω3f n0n0 nni + ,(En0 − Ef − ω2 )(En − Ef − ω2 − ω1 )n0 nn0 nni(λ )1X Qjγ1 mγ1 ω182где матричные элементы для интегралов в числителе записывается следующим образом[6], [84]jγjeβ  jeα= (−1)jeα −meα ×nα jeα leα meα ,nβ jeβ leβ meβ−meα mγ meβ1/2jjγjeβ  (λ,jγ )4π1/2  eα(−i)jγ +λ−1 (−1)jeα −1/2[(2jeα + 1)(2jeβ + 1)]  M nα leα nβ leβ (ω).2jγ + 11/2 0 −1/2(λ)Qjγ mγ ω(5.17)Здесь jγ , mγ полный угловой момент фотона и его проекция, λ характеризует тип фотона: λ = 1 соответствует электрическому и λ = 0 соответствует магнитному фотонам.Индексы nα , jeα , leα , meα представляют набор соответствующих дираковских квантовых чи(λ,j )γсел.

Радиальные интегралы M nα leαnβ leβ определяются следующим образом(1,jγ )M nα lα nβ lβ"=jγjγ + 11/2 h(κα −κβ ) Ij+γ +1+ (jγ +1)Ij−γ +1i−jγ + 1jγ#1/2 hi+−(κα − κβ ) Ijγ −1 − jγ Ijγ −1 (5.18)hi−G (2jγ + 1)Jjγ + (κα − κβ ) Ij+γ +1 − Ij+γ −1 − jγ Ij−γ −1 + (jγ + 1) Ij−γ +1 ,(0,jγ )M nα l α nβ l β =Ij±γ2jγ + 1[jγ (jγ + 1)]1/2(κα + κβ ) Ij+γ ,Z∞(gα fβ ± fα gβ ) jjγ (ωr) dr,=(5.19)(5.20)0Z∞Jjγ =(gα gβ + fα fβ ) jjγ (ωr) dr,(5.21)0gαи fα большая и малая компоненты радиальной Дираковской волновой функции [84],κугловое квантовое число, ω частота фотона, jjγ - сферичская функция Бесселя, G ка-либровочный параметр электромагнитного потенциала. В наших расчётах применяютсядве различных формы электромагнитного потенциала соответствующие значениям G = 0и G=qjγ +1jγ[23].

Дальнейшие вычисления могут быть упрощены суммированием по всемпроекциям. С этой целью введём определение радиальной части для заданной комбинации83фотонных мультиполейSj n0 j n(i, j, k) =(λj ,jγ )(λ ,jγ )(λ ,jγi )(ωi )M n0 ,n j (ωj )M n,ik k (ωk )M f,ni 0X Xlen0 ,len n,n0En0 jen0 len0− Enf jef lef − ωk − ωj×Enjen len − Enf jef lef − ωkl0(5.22)leiΔjen0 ,jen πfen (i) πnlen0 (j) πn (k),гдеπkl (t) = 1 if lk + l + jγ + λt = oddt(5.23), 0 if lk + l + jγ + λt = eventΔjen ,jen0 (i, j, k) =4π [jef , jen0 , jen , jei ]hi1/2jγi , jγj , jγk1/2 jef1/2jen jen0  jen0 jγj1/2 0 −1/20 −1/2jjjγkei  en× Θ(i, j, k)1/2 0 −1/2j γi(5.24)и1/2Θ(i, j, k) = [jen0 , jen ] jef(−1)mei +mef +1 men0 ,men−mefXj γimγijen0   jen0j γjmen0−men0 mγjj γk jen×−men mγkjen menjei .mei(5.25)Здесь индексы i, j, k означают порядковый номер фотона, каждый из которых может принимать значения 1, 2, 3.

Характеристики

Список файлов диссертации