Диссертация (1149153), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Фейнмановский график на Рис. 8а называется приводимым, так как он можетбыть разделён на две части разрезанием только одной внутренней электронной линии.Графики на Рис. 9a и 10a по этой причине называются неприводимыми, так как не могутбыть разделены на две части разрезанием одной электронной линии. В [60] было показано,что радиационные поправки к энергии (ΔEA ) соответствующие неприводимым графикам,могут быть получены через соотношенияbb |Ai ,hA0 |S|Ai= 2πiδ(EA0 − EA )hA0 |U(4.5)61(4.6)b |Ai ,ΔEA = hA|Uгде hA0 |Ub |Ai матричный элемент амплитуды.
Из рисунка 8 видно, что каждый из разрезовI, II представляет вклад поправки на собственную энергию электрона к однофотоннойамплитуде и не даёт вклад в двухфотонную ширину Γ2γn . Радиационные поправки к вероятности к однофотонного перехода, вычисленные как мнимая часть соответствующихрадиационых поправок к энергетическому уровню рассматривались в работах [29, 74]. Вэтой главе будем рассматривать только вклады непосредственно связанные с двухфотонной шириной, которым соответствуют фейнмановские диаграммы на рисунках 9 и 10.Рис. 8: Фейнмановский график для диаграммы "петля за петлёй" (lal).
Обозначения те же чтои на Рис. 7. График показывает, что Рис. 8 (a) даёт вклад только в поправку на собственнуюэнергию электрона к амплитуде однофотонного процесса и не даёт вклад в двухфотоннуюширину Γ2γn .IIInn(a)nn’ n’nI(b)Выражения для четвёртого порядка S -матричных элементов, которые соответствуютдиаграммам "петля в петле" (англ. "loop inside loop сокр. "lil") (Рис. 9) и "скрещенныепетли" (англ. "crossed loops сокр. "cl") (Рис. 10) записываются следующим образомhA|Sb(4)lil |Ai = e4Zd4 x1 d4 x2 d4 x3 d4 x4 ψ A (x1 )γµ1 S(x1 x2 )γµ2 S(x2 x3 )γµ3 S(x3 x4 )γµ4 ψA (x4 ) ×(4.7)Dµ1 µ4 (x1 x4 )Dµ2 µ3 (x2 x3 ) ,hA|Sb(4)cl |Ai = e4Zd4 x1 d4 x2 d4 x3 d4 x4 ψ A (x1 )γµ1 S(x1 x2 )γµ2 S(x2 x3 )γµ3 S(x3 x4 )γµ4 ψA (x4 ) ×Dµ1 µ3 (x1 x3 )Dµ2 µ4 (x2 x4 ).(4.8)62Рис.
9: Фейнмановский график для диаграммы "петля в петле" (lil). Обозначения те же что ина Рис. 8. График на Рис. 9 (с) показывает, что только разрез II даёт вклад в двухфотоннуюширину Γ2γn .IIIIIInn(a)nn’ n’nI(b)nn’n’II(c)n63Рис. 10: Фейнмановский график для диаграммы "скрещенные петли" (cl). Обозначения те жечто и на Рис.
8. График на Рис. 10 (с) показывает, что только разрез II даёт вклад вдвухфотонную ширину Γ2γn .IIIIIInn(a)nn’ n’nI(b)nn’n’II(c)n64Здесь Dµν (x1 x2 ) обозначает фотонный пропагатор в фейнмановской калибровкеδµνDµν (x1 x2 ) =2πir12Z∞eiω(t1 −t2 )+i|ω|r12 dω .(4.9)−∞Подставляя выражения (2.12) и (4.9) для электронного и фотонного пропагаторов в (4.7),(4.8) и интегрируя по времени и частоте с учётом (4.5), (4.6) находим(4)lilUA=e4X δµ1 µ4nmkr14δµ2 µ3 lilI(r14 r23 ),r23 nmkAAnmklilInmkA(r14 r23 )=12πi(4.10)+∞+∞2 ZZdω1dω3 ×−∞(4.11)−∞ei|ω1 |r14 ei|ω3 |r23,(EA − ω1 − En (1 − i0))(EA − ω1 − ω3 − Ek (1 − i0))(EA − ω1 − Em (1 − i0))(4)clUA=e4X δµnmk1 µ3r13δµ2 µ4 clI(r13 r24 )r24 nmkAclInmkA(r13 r24 )=12πi(4.12),Anmk+∞+∞2 ZZdω1dω3 ×−∞(4.13)−∞ei|ω1 |r13 ei|ω3 |r24.(EA − ω1 − En (1 − i0))(EA − ω1 − ω3 − Ek (1 − i0))(EA − ω3 − Em (1 − i0))Как уже упоминалось выше, радиационные поправки к вероятности однофотонного излучения связаны с полюсами крайних энергетических знаменателей в выражениях (4.11),(4.13), в то время как двухфотонная ширина обусловлена полюсами центрального энергетического знаменателя.
Для дальнейших вычислений представим интегралы содержащиеei|ω|rследующим образом:ReZ∞−∞ei|ω|rπ=−EA − Es (1 − i0) − ω21+Es|Es |βAs1+sin (βAs r) ,|βAs |(4.14)65где βAs = EA − Es . Выполняя интегрирование по ω3 при помощи выражения (4.14) находим,что двухфотонные вклады выражений (4.11), (4.13) сводятся кlil.2γInmkA(r14 , r23 )e4=2π βZAksin(ω1 r23 )ei(βAk −ω1 )r14Ekdω11+,|Ek |(EA + ω1 − En (1 − i0))(EA − ω1 − Em (1 − i0))(4.15) βZAksin(ω1 r23 )ei(βAk −ω1 )r14Ekdω11+,|Ek |(EA + ω1 − En (1 − i0))(EA − ω1 − Em (1 − i0))(4.16)0cl.2γInmkA(r13 , r24 )e4=2π0где EA > En(m) > Ek . Собирая все вклады вместе, учитывая определение (4.2) и вводяфейнмановские инфинитезимальные параметры i0 → iε в знаменателях получаемΓ2γA Xelim Re =2π ε→0nkmE >EβAkZ4A1+n(m)>Ek0Ek|Ek | (1−~α2 α~ 4 ) sin(ωr24 )r24nmkA(1−~α1 α~ 3 ) sin((βAk −ω)r13 ))r13Akmn((Ek − En )(1 − iε) + ω)(EA − ω − Em (1 − iε))(1−~α2 α~ 3 ) sin(ωr23 )r23(1−~α1 α~ 4 ) sin((βAk −ω)r14 ))r14(+4.17)AmnAnkkm dω .(EA − ω − En (1 − iε))(EA − ω − Em (1 − iε))Матричный элемент в (4.17) (F (12))abcd должен пониматься как (F (12))a(1)b(2)c(1)d(2) где 1, 2порядковые номера переменных и α~ i матрицы Дирака, действующие на соответствующиеволновые функции ψ(i).
Первый член в квадратных скобках выражения (4.17) соответствует вкладу фейнмановской диаграммы "петля в петле" , а второй член соответствуетдиаграмме "скрещенные петли".Для того чтобы представить выражение (4.17) как сумму парциальных ширин длядвухфотонных переходов A → k + 2γ используем равенство [60]βAkXZ21−α~ 1α~2sin(βAk r12 ). = −πr12kAAkkAd~ν (~eα~ ) e−iβnA (~ν~r)~e(4.18)ТогдаΓ2γA =XEA >En(m) >EkΓ2γAk ,(4.19)66βAk4Γ2γAk = e lim ReZ ω(βAk − ω)24 π 3Z0~∗~ )e−ik~rX X (~e α~0(~e 0 ∗ α~ )e−ik ~rknnA+E−ω−E(1−iε)An0 n~e~e0 ~0~(~e 0 ∗ α~ )e−ik ~r(~e ∗ α~ )e−ik~rknnA×+(Ek − En )(1 − iε) + ω∗ ∗∗ ∗ ∗−i~k~r0∗−i~k0 ~r0∗−i~k0 ~r∗−i~k~r(~e α~ )e(~e α~ )e(~e α~ )e(~e α~ )eXkmmAkmmA+ dω .E−ω−E(1−iε)(E−E)(1−iε)+ωAmkmm ε→0d~ν d~ν(4.20)Важно отметить, что в выражении (4.20) не появляется квадрат модуля. Это фактпозволяет обойти сингулярности возникающие при интегрировании по ω в (4.17) когдаn(m) = A, k ,методом предложенным в работах [39]- [40].
Согласно [39]- [40] процедурарегуляризации выполняется с применением равенстваlim ReZ1dωε→01a − ω + iε2=1.a(a − 1)(4.21)0Равенство (4.21) выполняется при следующих условиях:1) необходимо сохранить инфинитезимальные параметры iε в обоих энергетических знаменателях выражения (4.17) и приравнять их друг другу.2) в выражении (4.21) сначала проводится интегрирование по частоте ω и только затемберётся предел ε → 0. Доказательство необходимости этих условий представлено в §4.2.Перейдём к нерелятивистскому пределу выражения (4.17). После интегрирования понаправлениям вылета фотонов и суммированию по поляризациям получаем окончательноевыражение для двухфотонной шириныβAkΓ2γAk4= e lim ReZε→003(~r)kn (~r)nA(~r)kn (~r)nAω 3 (βAk − ω) X+×24 π 3EA − ω − En (1 − iε) (Ek − En ) (1 − iε) + ωn∗∗∗∗X(~r)km (~r)mA(~r)km (~r)mA+dω ,EA − ω − Em (1 − iε) (Ek − Em ) (1 − iε) + ωm(4.22)где (..)ab - матричный элемент со Шредингеровскими волновыми функциями ψa∗ , ψb .
Выражение (4.22) записано в форме "длины". Полюсной вклад в (4.22) понимается в смыслеравенства (4.21). Следуя работам [39]- [40] были проведены численные расчёты ширин Γ2γAkдля значений индексов A, k пробегающих набор nl состояний: для A n(m) = 2, ..5, l = 0, 1, 2, 3,и для k n(m) = 1, ..4, l = 0, 1, 2. Результаты представлены в Таблице. Важным выводом является то, что ширины Γ2γAk не могут рассматриваться как вероятности "чистого" двухфотонного перехода и представляют собой радиационную поправку к полной ши-67рине уровня. Кроме того величины Γ2γAk в некоторых случаях становятся отрицательными(смотри Таблицу 5), что не позволяет рассматривать их как вероятности переходов.
Вычисления в Таблице выполнялись тремя различными методами: 1) прямым суммированиемспектра водорода в выражении (4.22) с применением точных аналитических выраженийматричных элементов в форме "длины" 2) прямым суммированием спектра водородас применением точных аналитических выражений матричных элементов в форме "скорости" 3) с использованием нерелятивистской кулоновской функции Грина. Результатыполученные различными способами, совпадают с точностью от 3 до 6 знаков.4.2Двухфотонная ширина в формализме адиабатической Sматрицы Гелл-Манна-Лоу-СьючераВ параграфе §4.1 выражения (4.5), (4.6) для сдвига энергии были применены длявычисления двухфотонной ширины Γ2γA состояния A, как мнимой части полного сдвигаэнергии ΔEA .
Как было отмечено ранее, применимость выражений (4.5). (4.6) для радиационных поправок, описываемых неприводимыми фейнмановскими диаграммами быладоказана в [60]. Это доказательство основано на теории адиабатической S -матрицы ГеллМанна и Лоу [75] доработанной Сьючером [76].В предыдущем параграфе было показано, что мнимая часть неприводимых фейнмановских диаграмм на Рис. 9 и 10 из которых извлекается вклад двухфотонной ширины, содержит сингулярные знаменатели. Эти сингулярности регуляризуются равенством(4.21).
Существует также иной подход для вывода выражения для двухфотонной шириныне основанный на применении выражений (4.5), (4.6). Этот метод предполагает применение формализма адиабатической S -матрицы Гелл-Манна-Лоу-Сьючера и рассматриваетсяв этом параграфе. Выводы представленные в этом параграфе в основном следуют работе [26], но исправляют и уточняют проделанные там выкладки. Исправленные результатыпредставлены в нашей работе [73].Метод адиабатической S -матрицы рассматривался в [26] при расчёте вероятностейодно- и двухфотонных вероятностей переходов при наличии каскадов. Общий подход кописанию однофотонных переходов в [26] в рамках этого формализма не вызывает нареканий, однако описание двухфотонных переходов при наличии каскадов требует пересмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
