Диссертация (1149153), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Разложим эту волновую функцию поволновым функциям, соответствующим другой схеме сложения моментов ΦωJM (j2 j3 [J 0 ]j1 ).Последняя волновая функция не симметризована относительно перестановки фотонов 2, 3.Такое разложение имеет видΦωJM (j1 j2 [J 0 ]j3 ) =X(j2 j3 [J 00 ]j1 J|j1 j2 [J 0 ]j3 J) ΦωJM (j2 j3 [J 00 ]j1 ),(5.34)J 00где (j2 j3 [J 00 ]j1 J|j1 j2 [J 0 ]j3 J) коэффициенты Рака, связанные с 6j -символом соотношением(j2 j3 [J 00 ]j1 J|j1 j2 [J 0 ]j3 J) = (−1)j1 +j2 +j3p+J(2J 0 + 1)(2J 00 + 1)j1j3j2J0 J00 J.(5.35)Суммирование в (5.34) проходит по всем значениям J 00 разрешённым векторной схемойсложения двух угловых моментов j2 , j3 .

Чтобы восстановить симметрию волновой функции относительно переменных 2, 3, согласно ССПО-1, необходимо оставить только чётныезначения J 00 в этом разложении. Для этого заменим волновую функцию (5.34) линейнойкомбинациейΦωJM (j1 j2 j3 ) =X(j1 j2 [J 0 ]j3 J}j1 j2 j3 J) ΦωJM (j1 j2 [J 0 ]j3 ),(5.36)J0где (j1 j2 [J 0 ]j3 J}j1 j2 j3 J) - гениалогический коэффициент, определяемый из условия необходимости обращения в ноль всех членов с нечётным значением J 00 в разложенииΦωJM (j1 j2 j3 ) =XJ0(j1 j2 [J 0 ]j3 J}j1 j2 j3 J)XJ 00(j2 j3 [J 00 ]j1 J|j1 j2 [J 0 ]j3 J) ΦωJM (j2 j3 [J 00 ]j1 ).(5.37)89Так как наличие нечётных значений J 00 в волновой функции (5.34) противоречит требованиям симметрии относительно перестановки 2, 3, отсутствие этих членов полностью восстанавливает нужную симметрию.

Легко проверить, что любая функция трёх переменных1, 2, 3,симметричная относительно переменных 1, 2 и 2, 3, будет также симметрична относи-тельно 1, 3. Таким образом, отсутствие нечётных значений J 00 в разложении (5.37) делаетволновую функцию ΦωJM (j1 j2 j3 ) полностью симметричной относительно перестановки всехфотонов.Условие отсутствия нечётных значений J 00 в разложении(5.37) сводится к системе уравненийX(j1 j2 [J 0 ]j3 J}j1 j2 j3 J) (j2 j3 [J 00 ]j1 J|j1 j2 [J 0 ]j3 J) = 0(5.38)J0для всех возможных нечётных значений J 00 . Суммирование в (5.38) проходит по всем возможным чётным значениям J 0 для системы двух фотонов. Полагая теперь j1 = j2 = j3 = jперепишем эту систему следующим образомX(jj[J 0 ]jJ}jjjJ) (jj[J 00 ]jJ|jj[J 0 ]jJ) = 0.(5.39)J0Для удобства введём краткое обозначение для генеалогических коэффициентов(jj[J 0 ]jJ}jjjJ) ≡ CJj 0 J .(5.40)Принимая во внимание (5.35), уравнение (5.39) сводится кX√CJj 0 J 2J 0 + 1J0jjjJJJ0= 0.(5.41)00 Положим для дипольных фотонов j = 1 и согласно ССПО-1 имеем возможные значенияJ 0 = 0, 2, J 00 = 1.Это приводит к уравнению на генеалогические коэффициентыC01 J111J0√ 11+ C2 J 51112J1= 0.(5.42)В этом случае имеем 1 уравнение для двух коэффициентов C01 J и C21 J .

Вообще говоряусловие нормировки для (5.36) будет давать ещё одно уравнение, но оно не является необ-90ходимым для наших целей. Первый 6j -символ в выражении (5.42) равен1101J1= (−1)J p13(2J + 1)δJ1 .(5.43)Согласно правилам сложения углового момента, возможные значения углового момента Jсистемы трёх дипольных фотонов J = 1, 2, 3. Если положить J = 1, выражение (5.42) будетвсегда иметь решение с не равными нулю коэффициентами C01 1 , C21 1 . Однако, полагая J = 2приходим к равенству√ 11C2 2 511221= 0.(5.44)Так как 6j -символ в (5.44) не равен нулю, следует, что C21 2 = 0.

Это означает, что дляJ =2в волновой функции (5.37) значение J 0 = 2 для двухфотонной подсистемы должноотсутствовать. Это противоречит ССПО-1 и следовательно наличие значения J = 2 дляполного углового момента системы трех фотонов, не согласуется с ССПО-1 для системыдвух фотонов. Таким образом, значение J = 2 запрещено для системы трех эквивалентныхдипольных фотонов. Остаётся рассмотреть случай J = 3. Для J = 3 выражение (5.42)принимает вид1√1C2 3 511231= 0.(5.45)Однако,112131=0(5.46)и коэффициенты C21 3 отличны от нуля, но произвольны.

Это не противоречит ССПО-1и значение J = 3 для полного углового момента системы трёх эквивалентных дипольныхфотонов допускается. Таким образом ССПО-2 доказаны.915.3Спин-Статистические Правила Отбора для системы четырёхэквивалентных фотоновОсобую важность имеет проверка ССПО для 4-фотонных переходов и особенно длявысших значений J , так как фермионный аналог для ССПО нарушается, как было показано в §5.1, для 4-электронных систем при Je = 5. Поступая таким же образом, как ив случае доказательства ССПО-2, рассмотрим две схемы связи для построения волновойфункции системы 4-х фотонов.

Первая схема соответствует волновой функцииΦωJM (j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]JM ) ,(5.47)где первая пара моментов складывается в промежуточный момент J12 , затем вторая параj3 j4в промежуточный момент J34 и окончательно два промежуточных момента J12 и J34складываются в полный угловой момент системы 4-х фотонов J с проекцией M . Будемполагать, что волновая функция (5.47) симметрична относительно перестановки переменных 1, 2 и 3, 4. Тогда согласно ССПО-1 моменты J12 и J34 могут принимать только чётныезначения.

Другая схема сложения может быть представлена волновой функциейΦωJM (j1 j3 [J13 ]j2 j4 [J24 ]JM ) .(5.48)В этой волновой функции мы не предполагаем симметричность отсносительно перестановки переменных 1, 3 и 2, 4. Разложим волновую функцию (5.47) по функциям (5.48):ΦωJM (j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]JM ) =X(j1 j3 [J13 ]j2 j4 [J24 ]J|j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]J) ΦωJM (j1 j3 [J13 ]j2 j4 [J24 ]JM(5.49)),J13 J24где (j1 j3 [J13 ]j2 j4 [J24 ]J|j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]J) коэффициенты Фано, связанные с 9j -символами соотношением(j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]J|j1 j3 [J13 ]j2 j4 [J24 ]J) =jj2 J12 1p(2J12 + 1)(2J34 + 1)(2J13 + 1)(2J24 + 1) j3.jJ434J13 J24 J (5.50)В (5.49) в разложении по J13 , J24 разрешены все значения угловых моментов J13 J24 .

Чтобы симметризовать волновую функцию уравнения(5.49) по отношению к перестановке92переменных 1, 3 и по отношению к перестановке 2, 4, мы должны заменить её линейнойкомбинациейΦωJM (j1 j2 j3 j4 ) =X(j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]J}j1 j2 j3 j4 J) ΦωJM (j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]JM ) =(5.51)J12 J34XX(j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]J}j1 j2 j3 j4 J) (j1 j3 [J13 ]j2 j4 [J24 ]J}j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]J) ×J12 J34 J12 J34ΦωJM (j1 j3 [J13 ]j3 j4 [J24 ]JM ) ,где (j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]J}j1 j2 j3 j4 J) генеалогические коэффициенты для системы четырёх частиц(бозонов). Для симметризации волновой функции уравнения (5.51) по отношению к перестановке переменных 1, 3 и по отношению к перестановке 2, 4 необходимо потребовать,чтобы члены с нечётными значениями J13 , J24 отсутствовали при суммировании по J13 , J24в уравнении (5.51).

Это требование приводит к системе уравнений для генеалогическихкоэффициентов:X(j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]J}j1 j2 j3 j4 J) (j1 j3 [J13 ]j2 j4 [J24 ]J|j1 j2 [J12 ]j3 j4 [J34 ]J) = 0,(5.52)J13 J24где J13 , J24 принимают только нечётные значения, а суммирование распространяется начётные значения J13 , J24 . Когда эти уравнения выполняются, мы можем рассматриватьволновую функцию (5.51), как симметричную относительно перестановок переменных 1, 3(друг с другом) и переменных 2, 4 (друг с другом). Примем следующее утверждение: еслилюбая функция 4 переменных симметрична по отношению к перестановкам пар (1, 2), (3, 4),(1, 3)и (2, 4), то она полностью симметрична. В самом деле, зафиксируем например пере-менную 4 и рассмотрим перестановки в группе переменных 1, 2, 3. Если функция симметрична относительно перестановки 1, 2 и перестановки 1, 3 она будет симметричным такжепо отношению к перестановке 2, 3, как это следует из симметризации функций трёх переменных.

Так, мы можем доказать симметрию по отношению к любой паре переменных.Таким образом, волновая функция четырёх фотонов, построенных, как описано выше,будет полностью симметрична, то есть будет подчиняться статистике Бозе-Эйнштейна.Полагая для эквивалентных фотонов j1 = j2 = j3 = j4 = j и используя сокращённыеобозначения для генеалогических коэффициентов(jj[J12 ]jj[J34 ]J}jjjjJ) ≡ GjJ12 , J34 , J(5.53)93находимjXpGjJ , J , J (2J12 + 1)(2J34 + 1)j12 34J12 ,J34J13jjJ24J12 J34  = 0.J (5.54)Переходя к дипольным фотонам (j = 1) распространим суммирование в (5.54) по значениямJ12 = 0, 20, 2и J34 = 0, 2.

В левой части выражения (5.54) необходимо положить J13 = 1, J24 =или J13 = 0, 2, J24 = 1 или J13 = J24 = 1. Все эти случаи должны быть исключены изсуммирования по J13 , J24 в (5.51). Уравнение (5.54) теперь имеет вид1Xp1GJ12 , J34 , J (2J12 + 1)(2J34 + 1)1J12 ,J34J1311J24J12 J34  = 0.J (5.55)Для фиксированного значения J есть 5 уравнений для 4 коэффициентов G10, 0, J , G12, 0, J ,G10, 2, Jи G12, 2, J . Однако, два из этих уравнений для случая J13 = 1, J24 = 0, 2 совпадают сдругими двумя уравнениями при J13 = 0, 2, J24 = 1 из-за инвариантности 9j -символа в (5.54)при перестановке двух первых строк.

Тогда система уравнений выглядит так1G10, 0, J 111G10, 0, J 111G10, 0, J 111101121111010  + G0, 2, J 11J1010  + G0, 2, J 11J0110  + G0, 2, J 11J11011211110√12  5 + G2, 0, J 11J01√12  5 + G2, 0, J 1J101√12  5 + G2, 0, J 11J11011211121√10  5 + G2, 2, J 11J21√10  5 + G2, 2, J 1J121√10  5 + G2, 2, J 11J11011211122  5 = 0, (5.56)J22  5 = 0, (5.57)J22  5 = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации