Диссертация (1145400), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

С этойцелью для исходной системы дифференциальных уравнений построена чисто неявнаяразностная схема первого порядка точности по временной переменной и второго порядка полагранжевой переменной N. Для построения разностной схемы использовался интегроинтерполяционный метод [124], который состоит в следующем. Введём равномерную сеткуN i ii1Nh 1, Ni = (i-1)h по лагранжевой переменной N с шагом h = 1/Nh и неравномернуюсетку по времени с переменным шагом Δtj = tj+1 – tj , t1 = 0 . Выбор шага по времениопределяется скоростью изменения параметров плазмы и необходимой точностью расчётов.Проинтегрируем уравнения (4.38) по времени и по переменной N по интервалам (tj,tj+1) и(Ni-1/2,Ni+1/2) соответственно.

При интегрировании по переменной N будем использоватьформулу центральных прямоугольников, имеющую второй порядок точности [125], а приинтегрировании по времени – формулой правых прямоугольников, имеющую первыйпорядок точности. Так, например,t j 1tjN i 1 / 2dtN i 1 / 2dNa11j 1  j 1j p 0 h a11i  p 0i  p 0i t127t j 1tjNi 1 / 2dt 2 p 0T T  r n D0 N  D0 N   dN D nTN t j Dj 1j 1j 1j 1  j 1j 1  j 1p0 i 1  p0 i j T1T i 1  T i  2ni Ti ri 1/ 2 ni 1/ 2  D0 i 1/ 2 D0 i 1/ 2hhNi 1 / 2j 12 ri 1/ 2j 1 j 1j 1j 1j 1j 1 j 1p0 i  p0 i 1 j T1T i  T i 1 ni 1/ 2  D0 i 1/ 2 D0 i 1/ 2 .hhj 1Здесь верхний индекс означает номер узла сетки по времени, а нижний – номер узлаj 1j 1координатной сетки: Ti  T (t j 1 , N i ) , D0 i 1/ 2  D0 p0 (t j 1 , N i 1/ 2 ), p(t j 1 ), T (t j 1 , N i 1/ 2 ) .Далее, для упрощения записей, верхний индекс, равный j+1, опустим.

Теперь разностныйаналог первых двух уравнений в (4.38) имеет вид:j j h a11i  p 0i  p0i   h a12i  Ti  Ti   h b1i  p jp  p0 i 1  p0 iT i 1  Ti 2 t j  D ni Ti ri 1 / 2 ni 1/ 2  D0 i 1/ 2 D0T i 1/ 2hhppTT0i0 i 1i 1  ri21/ 2 ni 1/ 2  D0 i 1/ 2 D0T i 1 / 2 ihhj j h a 21i  p0i  p 0i   h a 22i  Ti  Ti   h b2i  p (4.41)jp   t j h E  i E 2  t j h RWrad i T TT  Ti 1  t j T ni ri21/ 2 ni 1/ 2 i 1/ 2 i 1 i  ri21/ 2 ni 1/ 2 i 1/ 2 ihh p0  p0 iT T t j D ni ri21/ 2 ni 1/ 2  Gi 1/ 2 i 1 G T i 1/ 2 i 1 ihh (4.42)p0  p0 i 1T  Ti 1  . ri21/ 2 ni 1/ 2  Gi 1/ 2 i G T i 1/ 2 ihhЗдесь использованы обозначенияG  D0 Ea  Di (2,5T  Eion  Ea ) , GT  D0T Ea  DiT (2,5T  Eion  Ea ) .Для записи разностного аналога граничных условий проинтегрируем первые два уравнения(4.38) по времени по интервалу (tj,tj+1) и по лагранжевой переменной N по интервалам (0,h/2)128и (1-h/2,1).

Тогда, с учётом условий (4.39), получаем:j j0,5h (a11 ) 5 / 4  p0 5 / 4  p0 5 / 4   0,5h (a12 ) 5 / 4  T5 / 4  T 5 / 4   0,5h (b1 ) 5 / 4  p jp  p  p01T  T  t j  D n5 / 4T5 / 4 r3 / 2 2 n3 / 2  D0 3 / 2 0 2 D0T 3 / 2 2 1 hh jj0,5h (a 21 ) 5 / 4  p0 5 / 4  p0 5 / 4   0,5h (a 22 ) 5 / 4  T5 / 4  T 5 / 4  j 0,5h(b2 ) 5 / 4  p  p   0,5ht j E  5 / 4 E 2  0,5ht j RWrad 5 / 4  t j  T n5 / 4 r32/ 2 n3 / 2 3 / 2(4.43)(4.44)p  p01T2  T1T T  t j D n5 / 4 r32/ 2 n3 / 2  G3 / 2 0 2 GT 3 / 2 2 1 hhh jj0,5h (a11 ) N h 3 / 4  p 0 N 3 / 4  p 0 N 3 / 4   0,5h (a12 ) N h 3 / 4  TN h 3 / 4  T N h 3 / 4  hh(4.45)jp  p 0 N 1  p 01TN 1  TN hh t j  D n N h 3 / 4TN h 3 / 4 rN2h 1 / 2 n N h 1 / 2  D0 N 1 / 2 D0T N 1 / 2 hhhhh 0,5h (b1 ) N p 3/4hЗначения параметров в промежуточных точках сетки получаются в (4.45) линейныминтерполированием.

К уравнениям (4.45) необходимо добавить выражения для интегралов в(4.38), записанные с помощью формул Симпсона [125]:p (ni ) N h 1 h   (ni )1   TN h 1 1 T1 1 3 n1 nN h 1 2k  Nh / 2k 1 (ni ) 2 k 1  k  N h / 2 (n )  4  T2 k 1  i 2 kT2 k 1 1 n2 k 1 n2 kk 1k  Nh / 2k  Nh / 2 2 k 1 2k h  1  N h 1IE  2 4 3  n1 n N h 1k 1 n2 k 1k 1 n 2 k i h11  , i  1,2,..., N hr 2 i 1/ 2    2 k 1  nk nk 1    (4.46)Полученные уравнения (4.41)-(4.46) представляют собой нелинейную систему уравненийотносительно значений p(tj+1), E(tj+1), p0(tj+1,Ni), T(tj+1,Ni) во всех точках i =1,2,...,Nh+1радиальной переменной на новом временном слое tj+1 .

Решение разностных уравненийпроводилось итерациями, методом раздельных прогонок [126]. Причём, для уравнениянепрерывности (4.41) использовался обычный вариант, а для уравнения энергии (4.42) –129потоковый вариант метода прогонки [124]. Исходными данными для расчётов являлисьформа импульса тока I(t) и количества буферного газа и паров щелочного металла Na и Nb .Расчёт начинался с некоторого произвольного профиля температуры, на которыйнакладывался импульс тока. Вычисления продолжались до тех пор, пока решение невыходило на периодический режим.4.6.

Исследование ИПР в смеси паров натрия с ксенономВ связи с широким распространением натриевых ламп высокого давления, первыерасчёты ИПР были проведены для смеси паров натрия с ксеноном [А3-А5,А7]. Расчётыпроводились для газоразрядной трубки с внутренним радиусом R = 1,5 мм и толщинойстенок ΔR = 1 мм.

Количество ксенона рассчитывалось по (4.12) и фактически задавалосьзначением давления p (Xe0) при холодном заполнении трубки (температура заполнения Т(0) =293 К). Ниже рассматриваются два режима со значениями p (Xe0) равными 80 Торр и 20 Торрсоответственно. Количество натрия определялось из (4.12) по насыщающему давлению psat унаиболее холодной части стенки трубки с температурой Tcold . Полагалось, что [127] Tcold =TW – 300 K, где TW – температура внутренней поверхности трубки в рабочей зоне горелки.Коэффициенты пропорциональности rαβ в cилах трения в (4.4)-(4.6) определялись изсоотношений: rbi = 2,21πe(αdmab)1/2 [128-129], rai = (mikBT)1/2σres(2,13vT)/0,341 [39],rab  82mab k BT 1/ 2  ab / 3 1/ 2 [2], где αd – поляризуемость атома ксенона [24], mab =mamb/(ma+mb),  ab – эффективное сечение рассеяния (см.

(1.27)). Для расчётовиспользовались значения транспортного сечения σab рассеяния атомов Na-Xe из [130-131], асечения резонансной перезарядки σres ионов Na+ на атомах Na – из [16]. При вычисленииэлектропроводности σe и теплопроводности λ плазмы использовались интерполяционныевыражения [27]  e теплопроводность(приближениеene u ea u ei и    n  ea ei , где uea , λea и uei , λei – подвижность иu ea  u eiea  eiсоответственноЛоренца)ивслучаеполностьюпредельноионизованнойслабоионизованнойплазмы.плазмыТеплопроводностьнейтрального газа на поступательных степенях свободы полагалась равной [122]4n  10 T11n Xe n Na    0,451  0,54  .1,261  1,52nnNa Xe  0,82 При расчёте величины радиационных потерь Wrad из единицы объёма плазмы130учитывалось излучение в наиболее интенсивных линиях (см.

диаграмму Гротриана П.2.4 вПриложении 2), соответствующих следующим переходам в атоме натрия: nP → 3S (n =3,4,5), nS → 3P (n = 4,5,6), nD → 3P (n = 3,4,5), nP → 4S (n = 5,6). При расчёте коэффициентапоглощения профиль всех линий считался лоренцевским. Для линии 3P → 3S учитывалисьдва механизма уширения: атомами, при резонансной передаче возбуждения [28], иштарковский электронами [53].

Для всех остальных линий учитывалось только уширениеэлектронами. Значения полуширин линий заимствовано из [53]. Учитывалось такжеизлучение тормозного и рекомбинационного континуумов. Коэффициент тормозногопоглощения рассчитывался в приближении Крамерса [45]. При вычислении коэффициентапоглощения, соответствующего связанно-свободным (b-f) переходам, учитывались процессыфотоионизации состояний nS, nP, nD (n = 3,4,5), 4F, 5F, 5G. Значения сеченийфотоионизации состояний nS, nP и 3D, 4D заимствованы из [30-32,46,49-50,133-138]. Дляостальных переходов использовались значения сечений в квазиклассическом приближениидля водородоподобных атомов [45].На рис.

4.1 приведены результаты расчётов радиальной оптической толщины τR(λ)(см.формулу (2.28)) для столба плазмы ИПР в момент окончания импульса тока (параметрыразряда соответствуют рис. 4.2-4.4). Хорошо видно, что плазма разряда является оптическипрозрачной во всём диапазоне длин волн, кроме центров некоторых наиболее сильныхлиний.10010R10,10,011E-31E-4400600 , нм80010001200Рис. 4.1. Радиальная оптическая плотность τR плазмы в момент окончания импульсатока.131В связи с этим, при расчёте величины радиационных потерь для наиболее сильных линийиспользовались соотношения (2.49), (2.53) и (2.59) полученные специально для случаятеплообмена излучением в линии. При вычислении Wradв остальном спектреиспользовалось приближении оптически прозрачной плазмы (2.23).

В частности, потериэнергии на излучение в континууме при захвате электрона в k-состояние атома:(k )Wrecphne ni ve rec,k (k ) ne ni    Eion02 ph( ) f M ( )d me rec,k ne niЗдесь f M ( ) 221(k ) 3ni ne  e  x xkBT  Eiong k  iph,k ( xkBT )dx2me k BT me c0 k BTe 3 / 2(4.47) (k ) – функция распределения Максвелла, gk и Eion–exp  kT B eстатистический вес и энергия ионизации атома Na в k-состоянии, ε = xkBT – энергияphрекомбинирующего электрона,  i,phk и  rec,k – сечения фотоионизации и фоторекомбинации,связанные соотношением Милна (см.

(1.76) в главе 1).В работе рассматривался установившийся режим работы лампы, когда импульс токазаданной формы пропускался через плазму дежурного разряда с током 0,1 А. Частотаследования импульсов составляла ν = 800 Гц. Расчёты выполнены для двух режимов ИПР:режима, когда газоразрядная трубка была заполнена преимущественно ксеноном (~ 80% отобщего числа атомов) и режима, когда наполняющий газ состоял главным образом из паровнатрия ( ~ 70% от общего числа атомов). В первом случае количество ксенонасоответствовало давлению p (Xe0) = 80 Торр при холодном заполнении трубки (температуразаполнения Т(0) = 293 К).

Характеристики

Список файлов диссертации