Диссертация (1145400), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Для полного исключения конвективных членов перейдём вуравнениях модели от переменных Эйлера (t,r) к переменным Лагранжа (t',N). Определимпоследние следующим образом:rt   t (t , r )  t , N  N (t , r )   r nh (t , r )dr  .(5.43)0Здесь N – число тяжёлых частиц (атомов и ионов), содержащихся в цилиндрическом секторерадиусом r, единичной высоты и с азимутальным углом 1 рад.

Отметим, что максимальноезначение лагранжевой переменной NR остаётся постоянным в течение периода разрядноготока:RN R  N (t , R)   rnh (t , r )dr 0Na const .2Здесь Na – полное число атомов и ионов, приходящееся на единицу длины газоразряднойтрубки (см. 5.12)Частныепроизводныевэйлеровыхилагранжевыхпеременныхсвязаны156соотношениями:,. rn hVh rn ht t NrNПолная производная по времени при этом вычисляется какd.  Vhdt tr t (5.44)После перехода к лагранжевым переменным уравнения энергии (5.31)-(5.32) для электронови тяжёлых частиц приобретают следующий вид:a11TeTp a12 h  b11  e E z2  Wthin  Wnonl  QeT t t t  nha21NTe Th r 2 nh p a pe 2 2,rndnrndh erad11hh 12N NN ni rai N N(5.45)TeTTr 2 nh pa pep 2 a22 h  b22 QeT  nhr nh h h .t t t NN ni rai N NДля того, чтобы система уравнений (5.45) стала замкнутой, к ней необходимо добавитьуравнения для напряжённости поля Ez и полного давления р.

Для получения последнегоуравнения воспользуемся очевидным соотношением p = ph + pe = kBnh(Th + αTe): умножимобе его части на r и проинтегрируем от нуля до R. Поскольку полное давление, как этоследует из (5.3)-(5.4), постоянно вдоль радиуса, получаем:p(t ) R2k B rnh (Th  Te )dr .R2(5.46)0После перехода к лагранжевым переменным в (5.7) и (5.46) получаем:2kp(t )  2BRI (t )  2NR (Th  Te )dN ,0NR(5.47) e Eznh0dN .(5.48)В новых переменных радиальная координата r сама является функцией: r  r ( N , t ) . Для еёопределения продифференцируем (5.43) и разделим переменные:dN/nh = rdr .Интегрируя полученное соотношение от нуля до r, получаемNr ( N , t )  22dN nh ( N , t ) .0В соответствии с (5.44), гидродинамическая скорость находится теперь как(5.49)157Vh ( N , t ) dr r ( N , t ).dtt Граничные условия к (5.45) в лагранжевых переменных имеют вид: Te  N d h RnhThNN NR2 Th  N  ,N 0 (e  d e ) RnhTeN2 ,(5.50)N 0N NRji 0Ei  eU0  Ee  ,e(5.51)1/ 4ThN NR t per R    n Th dt   a h N N NR 0 R t per  w SB 1 R  R ln 1 t per w R R2t per0T dt    a nh h N  N  NR(5.52)Штрих у переменной t далее для удобства опускаем.5.5.

Безразмерная форма уравнений модели ИПРЧисленное решение размерных уравнений, содержащих большие (или, наоборот,малые) по порядку величины, вызывает известные технические трудности. Для ихпреодоления, как правило, переходят к безразмерной форме записи исходных уравнениймодели. С этой целью введём следующие характерные значения всех величин:t   t p , N   N R  N a / 2 , r   R , n  2 N  / R 2 , p  nkT  , V      eSp (T  )  0,582  eSp (T  )  1,22W   сkUT   4000K ,(5.53а)hc2 RU (T  ) , , 2 v P3k B (T )8hc   hc  U  (T )   5 exp   1v P(v )   v k BT   3 / 2 ,15 k B ( 40 ) 2 5/ 2kT,B8  me e 4 ln (T  )v , rad  Pv( 40 ) 2k BT 2  e me ln 4 2R,t-1, v  10 6 м , k  1,R158I   I max , E   I /R 2  , a  nk B , d   k B2T  / rai ,rai 8ma kT  ai (T  ) , QT 3 ( ei ) 1 3me nk BT  ,ma  ei(5.53б)8  e 4 ln n.3 2 (40 ) 2 (k BT  )3 / 2 meСделаем теперь подстановку вида f  f б f  вместо всех величин в уравнениях (5.45)(5.52).

Поскольку далее в этом разделе все величины будут безразмерные, верхний индекс«б», введённый для их обозначения, сразу опустим. В результате несложных преобразованийполучаем:a11TeTp a12 h  b11 1 e E z2   3 (Wthin  Wnonl )   4QeT ttt  2 nha21NTe  2Thr 2 nh pa pe 2(d ),rnnrnd2 hh 2125 h  N NNni rai N NTeTp 2Tr 2 nh pa pe a22 h  b22  4QeT   2 nhr nh h h  5,tttNNni rai N N(5.54)(5.55)1p (t )  (Th  Te )dN ,(5.56)01I (t )  e Ez0Nr 2dN nhnhdN ,,Vh 0(5.57)r.t(5.58)Здесь использованы следующие обозначения для безразмерных параметров:1   ( E  )2 t p, 2  4T t p R 2, 3 k BT t W t QT t ,,.254rai N pp(5.59)В (5.54) введено кроме того, обозначение для суммарного коэффициента электроннойтеплопроводности  e   2( r )rad   2( d ) d11 ,где 2( r )  rad /  и  2( d )  d  /  .Приведём теперь безразмерный вид граничных условий:(5.60)159 Te  N  2( d ) d h nhThNN 12 ,N 0 Th  N  (e   2( d ) d e )nh2TeN ,(5.61)  6 ji 0 Ei  U 0  Ee  ,(5.62)N 0N 11/ 4 t per / t pTh Th N 1   7 ndt a hN  N 1  0 t per / t p 80T dt .  a nh h N  N 1(5.63)Здесь использованы обозначения:k N 6  BR8  21/ 44 k BT 2t , 7   Rt per  w SB (T  )3 (1  R / R ) 3 mat  t per R ln1  .w R ,(5.64)С учётом (5.41)-(5.42) и определений характерных значений (5.53), безразмерные величиныплотности тока ионов ji0 на стенку и величины de , dh имеют в (5.62) вид:1/ 2 (T )  T  ji 0  ni  TeTh 0 e 1  e   ia (Th )  Th  ,de 5 ni Te Te  Th  3 Ei  Ea   ,2 4 nh rai Te  2k BTe dh 5 ni Te Te  Th.4 nh rai Th(5.65)Ещё раз отметим, что в (5.54)-(5.65) все величины, не отмеченные символом «*», являютсябезразмерными.

Так, например, в (5.62) безразмерное напряжение определяется как U0б =eU0/kBT* .Численное решение уравнений модели (5.54)-(5.63) проводится разностным методом.Методика построения разностной схемы и её решения для однотемпературной моделиописаны в разделе 4.5 . Построение разностной схемы для двухтемпературной модели, всвязи с её громоздкостью, вынесено в Приложение 3.5.6. Временная зависимость основных параметров ИПР в цезииИсходными данными для построенной модели ИПР в цезии являются параметрыгазоразрядной трубки (внутренний радиус R, толщина стенок ΔR), форма импульса тока I(t)160(в том числе частота следования импульсов ν, продолжительность импульса tp, амплитудаимпульса Imax) и количество щелочного металла, приходящееся на единицу длины трубки(число атомов Na или их масса Mа = maNa).

Кроме указанных величин, которые можно быломенять в процессе моделирования, в модель вошли коэффициент теплопроводности стенокλw и степень черноты εw , значения энергии ионизации атома цезия и энергии возбужденияразличных уровней (см. Приложение 2), а также большое число значений сеченийразнообразных элементарных процессов, о которых шла речь в главах 1– 3. Расчёт начиналсяс некоторого произвольного профиля температуры, на который накладывался импульс тока.Вычисления продолжались до тех пор, пока решение не выходило на периодический режим.На рис. 5.1 приведён пример характерного режима питания, используемого в расчётахимпульсно-периодического разряда. При выборе формы импульса тока учитывались дваобстоятельства: во-первых, форма выбиралась близкой к той, которая использовалась вэкспериментах по исследованию ИПР, что позволило провести сравнение теоретических иэкспериментальных результатов.

С другой стороны, подбиралась форма тока, при которойпараметры плазмы оптимизированы относительно условий излучения столбом разрядавидимого спектра.1,00,8I / Imax0,60,40,20,001020304050t / tpРис. 5.1. Зависимость силы тока от времени в ИПР: tp – продолжительностьимпульса тока, скважность νtp = 1/16 .На рис. 5.2-5.4 приведены форма импульса тока, использованная в расчётах, ирезультаты расчётов временной зависимости основных параметров разряда (полногодавления р, напряжённости продольного электрического поля Еz , температур электроновTe(0,t) и тяжёлых частиц Th(0,t) на оси) в различных режимах горения ИПР.

Хорошо видно,что в широком диапазоне исходных данных эти зависимости имеют сходный характер.161Относительные единицы1,0(а)0,80,63,40,450,20,022102468t / tp101216(б)1,0Относительные единицы143, 4, 50,850,63140,40,20,0210,000,250,50 0,75t / tp1,001,251,50Рис. 5.2. Временная зависимость основных параметров разряда в течение периода тока(а) и при прохождении импульса тока (б): 1 – I(t)/Imax ; 2 – Ez(t)/Emax; 3 – Te(0,t)/Tmax ; 4(пунктир) – Th(0,t)/Tmax; 5 – p(t)/pmax.Значения параметров: R = 2,5 мм, ΔR = 1 мм, Ма = 0,06 мг/см, ν = 1000 Гц, tp = 62,5 мкс.Максимальные значения: Imax = 120 А, Emax = 106 В/см, Tmax = 6620 К, pmax = 809 Торр.162Относительные единицы1,00,8530,640,420,2210,0-0,20,00,20,40,60,81,01,21,41,6t / tpОтносительные единицыРис.

5.3. Временная зависимость параметров разряда: 1 – I(t)/Imax ; 2 – Ez(t)/Emax; 3 –Te(0,t)/Tmax ; 4 (пунктир) – Th(0,t)/Tmax; 5 – давление плазмы p(t)/pmax.Значения исходных параметров: R = 2,5 мм, толщина стенок ΔR = 1,5 мм, Ма = 0,032мг/см, ν = 1100 Гц, tp = 43 мкс. Максимальные значения величин: Imax = 40 А, Emax = 58В/см, Tmax = 5460 К, рmax = 247 Торр.1,050,830,640,420,210,0-0,20,00,20,40,60,81,01,21,41,6t / tpРис.

Характеристики

Список файлов диссертации