Диссертация (1145400), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Вывод соотношения (4.12) приведён в разделе 3.1главы 3.Число атомов буферного газа и паров щелочного металла, приходящееся на единицудлины трубки, можно оценить, зная давление Pb(0) и температуру T(0) буферного газа прихолодном заполнении и насыщающее давление Psat паров щелочного металла у холодногоконца трубки:N b  R2Pb (0)k BT( 0)R,rdr.kT(r)B00N a  2Psat Здесь T0(r) – профиль температуры в дежурном разряде перед импульсом.(4.12)1204.3. Квазидиффузионная форма газодинамических уравнений4.3.1. Исключение абсолютных скоростей компонент плазмыИсходная математическая модель включает в себя уравнения (4.1)-(4.8) и граничныеусловия к ним (4.9)-(4.11).

В указанном виде система уравнений не может быть решена нетолько аналитически, но и численно. Это связано с особенностями уравнений гипозвуковойгазодинамики и проявляется в том, что уравнения движения (4.4)-(4.6) являются линейнозависимыми относительно скоростей отдельных компонент плазмы. Вследствие этого найтискорости компонент из уравнений движения нельзя. Для преодоления указанной трудностипреобразуем исходные уравнения к уравнениям квазидиффузионного типа.

С этой цельювведём величины средней скорости V и относительных скоростей компонент W поформулам :nV  niVi  naVa  nbVb ,(4.13)W  V  V ,  = a, b, i .(4.14)Здесь n = ni + na + nb – концентрация тяжёлых частиц. Подобный выбор средней скоростиобусловлен тем, что при любом другом определении V в правой части уравненийнепрерывности (4.1)-(4.2) появятся источниковые члены, описывающие рождение ионов иэлектронов вследствие ионизации атомов щелочного металла. Вычисление этих членов, вусловиях близких к ЛТР, крайне затруднительно, что и объясняет определение (4.13).

Есливвести для сокращения записи новые обозначения для внутренней энергии единицы объёмаплазмыU pl 3p  ni Eion  na E a2(4.15)иn0  ni  na , n0W0  niWi  naWa ,(4.16)для общей концентрации атомов и ионов щелочного металла и их средней диффузионнойскорости, тогда уравнения исходной модели запишутся в следующем виде:n0 1 1 (rn 0V )  (rn 0W0 ) ,tr rr r(4.17)n 1 (rnV )  0 ,t r r(4.18)ria na ni (Wa  Wi )  rab na nb (Wa  Wb )  pa /r ,(4.19)rib nb ni (Wb  Wi )  rab na nb (Wb  Wa )  pb /r ,(4.20)121naWa  niWi  nbWb  0 ,(4.21)p / r  0 ,(4.22)1   5U pl r (U pl  p)V  Ea n0W0   k BT  Ei  Ea niWi   tr r  2 E 2  Wrad 1 r Tr r r(4.23)Уравнение (4.18) получено сложением уравнений (4.1) и (4.2), а (4.21) является следствиемопределений (4.13), (4.14) и (4.16).

Подчеркнём здесь, что теперь из уравнений моделиисключены абсолютные скорости компонент. Причём уравнения (4.19)-(4.21) могут бытьразрешены относительно скоростей Wα . В результате в уравнениях модели останется толькосредняя гидродинамическая скорость V .4.3.2. Переход к уравнениям относительно параметров p0, p и TПеред проведением дальнейших преобразований отметим следующее. Исходнаясистема уравнений модели содержит большое число параметров плазмы. Однако, не все онинезависимы: равновесное состояние смеси двух сортов идеальных газов (в нашем случаеинертного и щелочного) однозначно определяется в условиях ИПР всего тремя параметрами.В качестве таких независимых параметров удобно выбрать величины p0 , p , T . Здесь p0 = pa+ pi – суммарное давление атомов и ионов щелочного металла, p = pa + pe + pi + pb - полноедавление в плазме.

Все остальные параметры можно выразить через эти три. В частности,для концентраций, с учётом соотношения Саха (1.21) имеем:n0  n0 ( p 0 , T ) p0, ni  ni ( p 0 , T ) k BTp011K (T )  K 2 (T )  K (T )k BT42n a  n a ( p 0 , T )  n 0 ( p 0 , T )  ni ( p 0 , T ) , n  n ( p 0 , p , T ) nb  nb ( p 0 , p , T )  n ( p 0 , p , T )  n 0 ( p 0 , T )p ni ( p 0 , T )k BT(4.24)Здесь K(T) – константа ионизационного равновесия (1.23).

Теперь производные отпараметров плазмы по переменным r и t выражаются через производные от независимыхпараметров по этим переменным по формулам : p 0 p  T tt p 0 t p t T p0 T rr p0 r T(4.25)122Во втором соотношении (4.25) учтено, что полное давление p, как это следует из (4.22),постоянно по радиусу.Рассмотрим теперь отдельно систему из трёх уравнений (4.19)-(4.21) для определенияскоростей W . После применения правил дифференцирования (4.25) к уравнениям (4.19)(4.20) и, с учётом (4.21), получим вместо (4.19)-(4.21) линейную относительно W системууравнений, правая часть которой линейна относительно производных p0 /r и T/r . Этопозволяет представить её решение в виде:n W   Dp 0T DTrr,   a , b , i ,0(4.26)Подставляя выражения (4.26) в (4.19)-(4.21) и приравнивая коэффициенты при одинаковыхпроизводных получаем значения D и DT :Da DaT2n a2n211 , Di  i  31 , D0  21 , Db   D0nnn   12 ,DiT  32 ,D0T  22 ,DbT D0T(4.27)Здесь введены обозначения:ni n an 5 Ei  E a k BT2k B ,  (n0  na )( ria rib ni  ria rab na  rib rab nb ) ,11  ria n0  rib (ni  nb )  rab ni ,12  ria na  rib (ni  nb )  2rab na , 21  ria n02  rib na nb  rab ni nb , 22  ria n0  rib nb  2rab nb , 31  ria n0  rib na  rab (na  nb ) ,  32  12   22 .Теперь в уравнениях (4.17), (4.18) и (4.23) относительные скорости W исключаются.Среднюю скорость V также можно исключить, используя для этого уравнение (4.18):1 1 dnrV  r rn dt(4.28)Здесь d/dt = /t + V/r – полная производная по времени.

Выражая полные производные отn0 , n и Upl через полные производные от независимых параметров по формулам,аналогичным (4.25), получаем систему дифференциальных уравнений относительнонезависимых параметров p0 , p и T :123dp 0dTdp k B T    p0T   a12 b1 D0Tr  D0dtdtdtr r  rr  dpdTdp1 Ta 21 0  a 22 b2 E 2  U rad rdtdtdtr rr1   5 p0 r  D0 E a  Di ( k B T  Ei  E a )r r  2 r a111    T T T 5r  D0 E a  Di ( k B T  Ei  E a )r r  2 r p / r  0(4.29)Здесь использованы обозначения:n , b1  0 , nU pl  p 3Eani  Ei  E a U pl  p  ,a 21 b2 ,k B T n0  n a  k B Tnk B T nk B T2dE a5 p ni na k B  5 Ei  E a  Ei  E a U pl  p   na a 22 .2 T n0  n a  2k B T  k BTnk BT dTa11  1 ni n0n( n0  n a ),a12 n0 ni na k B  5 Ei  E a n(n0  na )  2k BT(4.30)4.3.3.

Переход в уравнениях ИПР к лагранжевым переменнымДалее, чтобы избавиться от полных производных d/dt, неявно содержащих скорость V,перейдём к лагранжевым переменным t, N по формулам :rt   t (t , r )  t , N  N (t , r )   r n(t , r )dr  .(4.31)0Здесь N – число тяжёлых частиц (атомов и ионов), содержащихся в цилиндрическом секторерадиусом r, единичной длины, соответствующем единичному телесному углу. Частныепроизводные в эйлеровых и лагранжевых переменных связаны соотношениями: t   N rnVt t  t N t t N t   N rnr t  r N rNТеперь полная производная по времени вычисляется какd V rnV Vrndt tr t NN t (4.32)После перехода к лагранжевым переменным исходная система уравнений приобретает124квазидиффузионный вид:p0Tp  2  p0T  a12 b1 nk BTr n D0 D0T ,t t t N  NN pTp 2 Ta21 0  a22 b2  e E 2  Wrad  nr nt t t NN  2 5 p nr n D0 Ea  Di ( k BT  Ei  Ea )  0  N  2 N a11nI (t )  2E (t )NR e0p (t ) 2R2NR 2  T T T 5r n D0 Ea  Di ( 2 k BT  Ei  Ea )  N  dNnk BT (1 0N(4.33),ni)dN .nЗдесь N R  N (t , R)  ( N a  N b ) / 2 .

Отметим также, что в лагранжевых переменныхвеличинаr = r(t,N) представляет собой радиус цилиндрической поверхности, внутрикоторой в момент времени t находится 2N частиц (атомов и ионов), причёмdN n(t , N )0Nr  22, V r.t (4.34)Система уравнений (4.33) должна быть дополнена граничными условиями (4.9)-(4.11),которые в лагранжевых переменных имеют вид: p0  N 2N 0pT   ,  D0 0  D0T0 ,NN  N  NR1/ 4 T  N 2 , TN 0N NR t per R    n T dt   a N N NR0R  t per  w SB 1  R    R ln 1 t per w R R2t per0T dt   a nN  N  NRШтрих у переменной t далее для краткости записей опускаем.(4.35)1254.4.

Безразмерная форма уравнений математической модели ИПРДля проведения численных расчётов необходимо перейти к безразмерной формеуравнений в исходной модели ИПР. Для этого введём безразмерные величины по формуламf б = f / f , где f = t, N, r,T, n, p,, , I, E,Urad , D , DT , r , a12 , a22 .(4.36)В качестве характерных значений указанных величин выберем следующие:t   t p , N   N R  ( N a  N b ) / 2 , r   R , n   2 N  / R 2 , T   4000 K ,p   n  kT  ,     eSp (T  )  0,582  eSp (T  )  1,22k T ln 4 2(4 0 ) 2  e215 k B (40 ) 2k BT 48  me e ln me5/ 2 3/ 2B,,-18hc 2   hc  W   сk U  (T  )v  1 ,expv PR(r ) 4   k B T   I   I max , E   I  /R 2  , v  10 6 м , k  D 1n  rab,DT kBrab(4.37)1, a  nk B ,R, rab mab kT   ei (T  )После подстановки (4.36)-(4.37) в исходную модель (4.33)-(4.35) получаем безразмернуюформу квазидиффузионных уравнений, в которых отсутствуют скорости компонент плазмы:a11a21p0pTp  2 T  a12 b1  D nTr n D0 0  D0TtttN  NN p0Tp 2 T a22 b2  EE 2   RWrad   T nr ntttNN  2 5 p0   Dnr n  D0 Ea  Di  T  Ei  Ea N  2 N   Dn1np (t )   T (1  i )dN ,n0Nr2 dN  n(t , N )0, V(4.38)  2  T T T5r n  D0 Ea  Di  T  Ei  Ea N  2 N 1I (t )  E (t )  0dNn,r.tЗдесь и далее все величины являются безразмерными и для сокращения записи верхний126индекс «б» опускается.

Здесь введены безразмерные параметры  D ,  E ,  R , T , 1 и 2 ,которые выражаются через характерные значения размерных величин по формулам:D  4t  k BT n  R 2 rabt   ( E  ) 2, E p, R 1/ 4 tpT 1  2 t per R  T 4 w SB, 2  2t U p, T  4t nk B R 2t p t per R ln 1  .w R (4.39)Граничные условия (4.35) теперь принимают следующую безразмерную форму: p0  N  T  N 2N 0pT   ,  D0 0  D0T0 ,NN  N 11/ 42 , TN 1N 0 t perT   1     ndt  N  N 1  02t per0T dt  nN  N 1(4.40)4.5. Разностный аналог исходной системы уравненийРешение полученных уравнений (4.38)–(4.40) проводится разностным методом.

Характеристики

Список файлов диссертации