Диссертация (1145400), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Ниже выполнен расчётзначений средних тепловых энергий электронов в потоке через границу плазма–электрод ина диэлектрическую стенку с учётом указанных факторов.Поскольку толщина ПС мала в сравнении с характерными размерами электрода, тоструктуру слоя можно считать одномерной. Направим ось Z от поверхности электрода вглубь плазмы (см. рис. 3.4). Теперь ФРЭ f = f (z,v,θ) и вектор напряжённости электрическогополя направлен вдоль оси Z.vZθЭлектродРис. 3.4. Геометрия задачиЗапишем уравнение Больцмана для электронов в сферической системе координат сполярной осью, направленной вдоль Z:ff eE z f sin 2  f( el )( nel )  I ee ( f )  I ea v cos cos( f )  I ea(f)tzm vv  (cos  ) Здесь в правой части пренебрегается столкновениями быстрых электронов друг с другом иучитываются только столкновения быстрых электронов с медленными (тепловыми)электронами плазмы, а кроме того, упругие и неупругие столкновения с нейтральнымиатомами.

Отметим, что интеграл столкновений в этих условиях линеен относительно100неизвестной ФРЭ. Это позволит ниже использовать для решения кинетического уравненияметод Фурье. Далее, при рассмотрении приэлектродного слоя, будем считать плазмустационарной.В столкновительной плазме на расстояниях от катода порядка длины свободногопробегаz  leaпучковыеэлектронырелаксируютпонаправлениюимпульса(изотропизуются) и при z  lea их ФРЭ является слабоанизотропной. В этом случаеанизотропия ФРЭ невелика и её можно учесть в виде поправки к основной, симметричнойчасти функции.

Для этой цели наиболее удобно [10,25] использовать два первых членаразложения по полиномам Лежандра:f ( z, v, )  f 0 ( z, v)  f1 ( z, v) cos .Подставим разложение в уравнение Больцмана и произведём усреднение по полномутелесному углу (т.е. выполним интегрирование d / 4) дважды: один раз предварительноумножив на нулевой полином Лежандра P0 = 1, а второй раз умножив на P1 = cosθ . Врезультате получим два уравнения:v f1 eE z f1 2eE z f1( el )( nel ) I ee ( f 0 )  I ea( f 0 )  I ea( f0 )3 z 3m v3m vv(t )Здесь  p  na v ea1f 0 eE z f 0f 1zm vp(t )- время релаксации по импульсу,  ea- транспортное сечение упругого( el )е-а рассеяния. В приближении Фоккера-Планка выражения для интегралов I ee и I eaимеют вид 10,99:If0 1  vT f 0 ( z , v)  f ( z , v) ,2 v  2 ( z , v )  0mvv  v где  E   E(ee) ( z, v) , Т = Те для интеграла е-е столкновений и  E   E(ea ) ( z, v) , Т = Та дляинтеграла упругих е-а столкновений, E(ee )M a / 2mE 2  40 ( ea ); Ма – масса 2  ,  t2nv  e v ea(v ) n a2атомов;  – кулоновский логарифм; E  mv 2 / 2 .Переходя к новым переменным (z' ,w) по формулам z' = z , w = mv2/2 - eφ(z) и исключаяиз уравнений f1 получаем уравнение для основной, сферически симметричной части ФРЭ f0 =f0 (z,w) [99]:101D 2 f0z2( el )( nel ) I ee ( f 0 )  I ea( f 0 )  I ea( f0 ) .(3.22)Здесь w - полная энергия, E = mv2/2 - кинетическая энергия электрона, φ электростатический потенциал в приэлектродном слое.

В работе рассматривается случай,когда основной вклад в концентрацию электронов в ПС вносят тепловые электроны. В этихусловиях можно пренебречь взаимодействием быстрых электронов друг с другом иучитывать только их взаимодействие с медленными, максвеллизованными электронамиплазмы. Этот факт делает уравнение Больцмана линейным относительно неизвестной ФРЭ,что позволяет рассчитывать эффекты, вызывающие отклонение ФРЭ от равновесной,независимо друг от друга. ФРЭ по энергии F(w,z) = (4πv/m)f0(z,w) представим в видеF (w, z )  FM (w)  F1 (w, z)  F2 (w, z) .(3.23)Здесь F1 соответствует вкладу в ФРЭ пучка электронов, эмитированных катодом,находящимся под отрицательным потенциалом, и ускоренных в ленгмюровском слое, F2описывает отклонение ФРЭ от максвелловской FM вследствие ухода электронов плазмы сэнергиями E  E0  e0 (w > 0) на электрод ( 0   (0) ).

После подстановки (3.23) в (3.22)для каждой ФРЭ по энергиям F1 и F2 получаем независимые уравнения [А1,А2]: D0 2 Fkz 22E0  Fk  FkkTB   ww 2  nel Fk , k = 1, 2 .(3.24)В (3.24) учтено, что дисперсия по энергии в каждой группе электронов невелика и, поэтому,все коэффициенты, зависящие от энергии, считаются постоянными: D0 = l0v0/3 ,(t )l0  1/ na ea(v0 ) ,v0=1/    1/  Eee  1/  Eea(2E0/me)1/2,,T     Te /  Eee  Ta /  Eea ,tot nel  na v0 nel(v0 ) .

Здесь v0 и D0 соответственно скорость и коэффициент диффузииtotбыстрых электронов, νnel - частота неупругих е-а столкновений,  nel- полное сечениенеупругих е-а столкновений,  Eee и  Eea - времена релаксации быстрых электронов поэнергии при е-е и е-а столкновениях, вычисленные при v = v0 .Граничные условия для (3.24) на электроде (или диэлектрической стенке) имеют вид[99]:Fk D0z D Fk 0 zz 0 ikwk BTk 2wexp   k BTk w Fk ( w,0)v0 , w  0 , 4 E0(3.25) 0 , w  0 , k  1, 2 .z 0Здесь ik  iem  jem / e , Tk  Tc при k = 1 ( jem - ток эмиссии с катода, Tc - температура102катода) и Tk = Te , ik  iT  0,25ne ve exp(  E0 / kTe ) , ve  8k BTe / me 1 / 2 при k = 2.Подчеркнём, что случай k = 1 соответствует контакту эмиттера электронов с плазмой: здесьв правой части (3.25) при w ≥ 0 первое слагаемое описывает поток электронов (в единичноминтервале энергии Е), попадающий с эмиттера в плазму, а второе слагаемое соответствуеттем эмитированным электронам, которые вследствие упругого рассеяния в плазмевозвращаются обратно на эмиттер прежде, чем успевают потерять в плазме заметную долюэнергии ∆Е (в большинстве случаев ∆Е ~ kBTe) и будут "захвачены" задерживающимпотенциальным барьером Ф0 в приэлектродном ленгмюровском слое.

Случай k = 2соответствует контакту плазмы с неэмитирующим электродом, отбирающим из плазмыбыстрые электроны с энергией Е ≥ Е0. Поскольку на больших (по сравнению с длинойсвободного пробега l0) расстояниях от электрода ФРЭ релаксирует к максвелловской, то набесконечности граничным условием будетFk (w, z )  0 при z → ∞ .(3.26)Отметим ещё раз, что первое слагаемое в правой части (3.25) при w ≥ 0 описывает при k = 1эмиссию электронов с поверхности катода в плазму, а при k = 2 эмиссию электронов изравновесной плазмы на электрод.

Второе слагаемое в правой части (3.25) учитывает при k =1 уменьшение тока эмиссии за счёт возврата электронов эмиссии на электрод, а при k = 2уменьшение эмиссии из плазмы за счёт обеднения ФРЭ быстрыми электронами вблизиграницы плазма-электрод.3.4. Решение кинетического уравнения для быстрых электроновПреобразуем уравнения (3.24)-(3.26) к безразмерному виду с помощью соотношенийFk (w, z )  exp   / 2 g ( ,  ) Fk , η = w/kBTk , z = ξLE(kBTk/E0)1/2 , k = 1,2,где Fk  2ik 2E0 m1/ 2/ k BTk 2 , LE = (D0τ*)1/2 , γ = T*/Tk . Тогда получим2g g  g  022  2g ,(3.27) p0 exp   1  1 / 2   p0g ( ,0) ,   0 ,(3.28) 0 ,   0, 02gg ( ,  )  0 , при   .103 nel 3 LE1Здесь  , p0 4 E0 / k B Tk4 l02 kTk E03/ 2.Как видно из (3.27)-(3.28), уравнения для разных групп быстрых электронов имеютодинаковый вид. При этом решение (3.27)-(3.28) определяется тремя параметрами: р0 , γ и σ.Параметр р0 по порядку величины равен отношению второго слагаемого в правой частипервого уравнения (3.24) к его левой части:p0 ~wFk ( w,0)v04 E0D0Fkz.z 0Случай больших р0 >> 1 соответствует ситуации, когда практически все электроны,эмитированные электродом возвращаются на него обратно (k = 1), не успевая потерятьэнергию на упругих столкновениях.

При k = 2 условие р0 >> 1 означает, что обеднение ФРЭнастолько велико, что поток электронов через барьер на электрод отсутствует. Случай малыхр0 << 1 означает, очевидно, ситуацию прямо противоположную предыдущему случаю. Приэтом доля вернувшихся на электрод электронов незначительна (в группе k = 1), и обеднениеФРЭ из-за эмиссии быстрых электронов из плазмы на электрод (в группе k = 2) такженесущественно.В процессе решения нам понадобятся оценки значений параметров γ и σ. Так длягруппы электронов катодного пучка (k =1) Tk = Tc = Ta и получаем  ДляэлектроновT  TaT 1 eTeTaэмиссииизплазмынаэлектрод(k=T  Ta  T 1 e 1.TcTa  Eee2)Tk=Teи 1     1 .  ee E Несмотря на кажущуюся простоту, решение поставленной задачи (3.27)-(3.28) связаносо значительными математическими трудностями.

Это вызвано, прежде всего, сложнымвидом правой части граничного условия (3.28). Поэтому решение далее проводится отдельнодля случаев большого и малого значений параметра р0 , определяющего, как будет виднопозже, величину кинетического коэффициента отражения электронов на границе плазмаэлектрод.3.4.1. Случай р0 << 1.Будем искать решение в виде асимптотического разложения по параметру р0 :g (,  , p0 )  g0 (,  )  p0 g1 (,  )  p02 g2 (,  )  O( p03 ) .(3.29)Подстановка (3.29) в уравнения (3.27)-(3.28) приводит к следующим уравнениям104относительно gn :2 gn22 gn2  2 g n , n = 0,1,2.(3.30)Граничные условия к (3.30) имеют вид:g 0g n0,  0g1g 2  exp   1  1 / 2  ,  0 0 g1 (,0) при η ≥ 0, (3.31) 0 , n = 0,1,2 при η ≤ 0 ;(3.32) 0g n ( ,  )  0 при ξ → 0 , n = 0,1,2.(3.33)Из (3.30)-(3.33) следует, что g0(η,ξ) ≡ 0.

Характеристики

Список файлов диссертации