Диссертация (1145400), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Для нахождения g1(η,ξ) используем метод Фурье.Разложим с этой целью функцию g1(η,ξ) в интеграл Фурье по переменной η:g1 ( ,  ) 12 g1 ( ,  ) exp( i )d .Здесь g1( ,  ) - преобразование Фурье для функции g1(η,ξ):1g1 ( ,  ) 2 g1 ( , ) exp( i )d .(3.34)Отметим здесь, что интеграл (3.34) сходится, поскольку функция g1 убывает при η → ∞ немедленнее, чем exp[-η(1-0,5γ-1)] и ограничена при малых η.

Умножим теперь (3.30)-(3.32)при n = 1 на (2π)-1/2exp(-iαη) и проинтегрируем по η от -∞ до +∞. В результате получаем: 2 g12  2g1   2 g1(3.35)g111 1 exp   (1  0,51/ 2 ) exp( i )d    02 02   i (1  0,5 1 ) 2(3.36)Обращающееся в нуль при ξ→∞ решение (3.35) имеет вид:g1 ( ,  )  C ( ) exp     2   2  .(3.37)Для определения C(α) продифференцируем (3.37) и воспользуемся условием (3.36):g111 C ( )  2   2  .  02   i (1  0,5 1 ) 2Из последнего равенства найдём C(α) и подставим в (3.37):105g1 ( ,  )  exp     2   2 2 1/ 221 2      i (1  0,5 )2.(3.38)Теперь для искомой функции получаем следующее выражение:1g1 ( ,  ) 21 g1 ( ,  ) exp( i)d   2exp( i ) exp     2   2  d .      i (1  1 / 2 )222(3.39)Отыскание g2(η,ξ) (и, тем более, следующих членов разложения) существенно сложнее,поскольку граничное условие для них будет содержать громоздкое выражение (3.39).3.4.2.

Случай р0 >> 1.Как и в предыдущем случае, используем разложение по параметру р0 и ограничимсяпервым членом разложения: 1  .g ( ,  , p0 )  g 0 ( ,  )  Op 0(3.40)После подстановки разложения (3.40) в (3.27)-(3.28) получаем для g0 уравнения вида (3.30) иследующие граничные условия к ним: g 0 ( ,0)  exp  1  0,5 1 при η > 0 иg 0 0 при η < 0.(3.41) 0Отметим, что граничные условия для членов разложения gn имеют смешанный вид: при η ≥ 0накладываются на саму функцию, а при η ≤ 0 на её производную.

Это вызываетзначительные сложности и ограничивает здесь решение поставленной задачи отысканиемтолько первого приближения g0 . Используя преобразование Фурье получаем: 2 g02  2g 0   2 g 0 .(3.42)Обращающееся в нуль при ξ→∞ решение (3.42) имеет вид:g0 ( ,  )  C ( ) exp     2   2  .Теперь совершаем обратное преобразование Фурье:g 0 ( ,  ) 12 C ( ) exp    2   2  exp( i)d .Функция C(α) должна удовлетворять здесь условиям (3.41):(3.43)1061g 0 ( ,0) 21g 0 ( ,0) 2 C ( ) exp( i)d  exp   (1  0,51) при η ≥ 0 и(3.44) C ( ) 2   2 exp( i)d  0 при η ≤ 0.(3.45)Для определения C(α) воспользуемся приёмом, предложенным в [27].

Как следует из (3.44),функция C(α) должна иметь простой полюс при α = α0 = i(1-0,5γ-1) при замыкании контураинтегрирования в верхней полуплоскости (см. рис. 3.5а).(а)•(б)Рис. 3.5. Контуры интегрирования в комплексной плоскости α: (а) для интеграла в(3.44), (б) - для интеграла в (3.45)С другой стороны, согласно (3.45), функция C( )  2   21/ 2должна быть аналитической внижней полуплоскости, поскольку, при замыкании контура интегрирования в этойполуплоскости, должен получаться нулевой результат интегрирования (см. рис. 3.5б).Такими свойствами обладает функция видаC ( ) C0  i(1  0,5 )   i11/ 2.(3.46)Для нахождения постоянной C0 подставим выражение (3.46) в условие (3.44):C02exp( i )  i(1  0,5 )   i11/ 2d  exp   (1  0,5 1 ) .(3.47)Здесь подынтегральное выражение имеет в верхней полуплоскости полюс первого порядка вточке α = α0 = i(1-0,5γ-1).

В соответствии с теорией вычетов получаемexp( i )  i(1  0,5 )   i11/ 2d  2iexp   (1  0,5 1 )i 1  0,5 1   1/ 2.107Подставляя значение последнего интеграла в (3.47) находим значение C0 :1  0,5C0 1  1/ 22i.Теперь, после подстановки C0 в (3.46) и C(α) в (3.43) получаем1  1 / 2   1/ 2g 0 ( ,  ) 2iexp( i ) exp     2   2   2   2   i(1  1/ 2 ) d .(3.48)3.5.

Определение потоков частиц ie и энергии SeПлотность диффузионного потока быстрых электронов через приэлектродный слойопределяется в рассматриваемых условиях соотношениемie    D00Fzz 0dw  iem (1  r1 )  iT (1  r2 ) .(3.49)Здесь r1 и r2 – кинетические коэффициенты отражения. Используя (3.22) и (3.26) можнопредставить величины rk в виде1grk  1Ak , где Ak    exp   / 2 d , k = 1, 2.   0p00(3.50)Плотность потока энергии быстрых электронов через приэлектродный слой определяется какSe    ED00Fzz 0dw  ie E0  iem Ec 1  r1   iT Ee 1  r2  .(3.51)Здесь E = mv2/2, Ec и Ee – средние значения энергии электронов в потоке эмиссии сэлектрода в плазму и в потоке эмиссии из плазмы на электрод соответственно.

С учётом(3.22) и (3.26) получаем:Eс  kTсB1Bg, Ee  kTe 2 , где Bk    exp   / 2 A1A20d , k = 1, 2. (3.52) 0Таким образом, определение искомых значений потоков ie и Se сводится к нахождениюкоэффициентов Ak и Bk .Основные свойства коэффициентов r1 и r2 приведены в [99]. Коэффициент отраженияr1, как и функция распределения F1(W,z), зависят, вообще говоря, от двух температур Tc и Te ,в то время как коэффициент отражения r2 и функция распределения F2(W,z) зависят толькоот одной температуры Te . Причина этого в том, что граничные условия (3.24) к уравнению(3.23) ставятся по-разному при определении F1 и F2 .108Отметим, что в случае неэмитирующего анода граничное условие для потока энергииSeА аналогично (3.26):SeА  ie E0  iT Ee 1  r2  .За положительное направление SeА здесь принято направление из плазмы на анод.Остановимся здесь на определённых соотношениях "симметрии" между функциямиF1(W,z) и F2(W,z) и между парами величин r1 , r2 и ΔEc , ΔEe.

В результате использованияэтих соотношений для полного решения задачи, т.е. для нахождения функции F(W,z) в (3.22),нет необходимости в раздельном определении двух функций F1 и F2. Достаточно определитьфункцию F1(W,z) путём решения уравнения (3.23) с граничными условиями (3.24) при k = 1.Затем можно получить выражение для F2(W,z), заменив в найденном решении F1(W,z),температуру катода Тс на температуру электронов Те и ток эмиссии катода iem на токравновесной эмиссии электронов из плазмы на отрицательный электрод iT . Вместе с тем,зная F1(W,z) достаточно определить коэффициент отражения r1(Tc,τe) (здесь τe = Те/Тс) исреднюю тепловую энергию Ec (Tc , e ) , а затем, положив τe = 1 и Тс = Те , найтиr2(Te) = r1(Te,1) и Ee (Te )  Ec (Te ,1) .(3.53)Это свойство решений является следствием принципа детального равновесия, которыйдолжен выполняться в случае контакта эмиттера-катода с плазмой, находящейся в состояниитермодинамического равновесия с катодом.

При таком равновесии Тс = Те , арезультирующий ток на контакте плазма-катод равен нулю.3.5.1. Случай р0 << 1Используем разложение (3.29) и граничные условия (3.31). С учётом двух первыхнеисчезающих членов получаем:g  gAk    exp   / 2  p0 1  p02 2 d  p0  p02 ak ,   00гдеak   exp   / 2 g1  ,0d 01222 1/ 2d  i1  1 / 2    i / 2 2Аналогичноg  gBk    exp   / 2  p0 1  p02 2 d  2 p0  p02 bk ,   00где2.(3.54)109bk   2 exp   / 2 g1  ,0d  01i   2   2d1/ 2  i1  1 / 2    i / 2 23. (3.55)Теперь коэффициенты кинетического отражения rk и средние энергии электронов в потокеEk с учётом (3.50), (3.52) равны: rk  p0 ak  O p02 , Ek  2k BTk 1  p0ck  O( p02 ) , k = 1, 2, p0 << 1.(3.56)Здесь ck = 0,5bk - ak .

Значения интегралов в (3.54) и (3.55) зависят от соотношения междупараметрами γ и σ. Рассмотрим два возможных случая.Пусть σ2 ≥ γ(1-1/2γ)2 . Такое соотношение эквивалентно условию  1 nel E0 / k BTk.(3.57)Для электронов катодного пучка (k = 1) условие (3.57) выполнено, если справедливонеравенство nel EeeE0 / k BTaTe  Ta.Ta(3.58)Поскольку для электронов эмиссии из плазмы на катод (k = 2) γ ≤ 1, то соотношение (3.57)для них всегда выполнено. Интегралы в (3.54) и (3.55) вычисляются и дают:ak сk 1 1/ 2  1  0,5 1  11 1 2 WV  2  X2 Y22X 2 Y2 12 1/ 2 0,75   (  1) X 2 1,5  2X 2 2WV  2  , k = 1, 2. 2X 4X 4  (3.59)(3.60)Здесь11X 2   2 4 1  nel 1  211 Y  ., Y2  X2 , V  arctg 2X  , W  arctg XY 2  1   E0 / k BTk1Теперь рассмотрим случай    1  222 .

Такое условие эквивалентно неравенству,противоположному (3.57), и может быть выполнено только для электронов катодного пучка(k = 1). Для этого случаяa1 1 1/ 2  1  0,5 1  1 1  0,5 11 1 W2 .V  2 221  X22X 2 YYY10,5 (3.61)Коэффициент c1 задаётся по-прежнему формулой (3.60), но значения Y и W будут теперьдругими: Y 2  X 2  11 1 Y   .

Характеристики

Список файлов диссертации