Диссертация (1145377), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Êàê ìû ïîìíèì, íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ êîíâåðòàöèÿ èíôîðìàöèè, ïåðåíîñèìîéñèãíàëüíûì ïîëåì, â äîëãîæèâóùóþ êîãåðåíòíîñòü íèæíèõ ñîñòîÿíèé σ̂12 , òàêèì îáðàçîì, âîçáóæäåíèå ñîñòîÿíèÿ |3⟩ ÿâëÿåòñÿ íåæåëàòåëüíûì ýôôåêòîì, ïðèâîäÿùèìê ïîòåðÿì. Îäíàêî, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, ýòîò êàíàë ïîòåðü âîçìîæíî óìåíüøèòüïóòåì âûáîðà ïîäõîäÿùåãî óïðàâëÿþùåãî ïîëÿ.
Åñëè, ñ îäíîé ñòîðîíû, èíòåíñèâíîñòü óïðàâëÿþùåãî ïîëÿ âûáðàòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé, òàê ÷òî îñöèëëÿöèè Ðàáèíà ïåðåõîäå |2⟩ → |3⟩ áóäóò áîëåå ýôôåêòèâíû, ÷åì ïðîöåññû ñïîíòàííîãî ðàñïàäà(Ω ≫ γ ) è, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîäîáðàòü äëèòåëüíîñòü èìïóëüñîâ ìàëîé íàñòîëüêî,÷òîáû àòîìû, ïîä äåéñòâèåì Ðàáè-îñöèëëÿöèé íå èìåëè âðåìåíè, ÷òîáû âåðíóòüñÿâ ñîñòîÿíèå |3⟩, òîãäà ðîëü òðåòüåãî ÷ëåíà â óðàâíåíèè (7.33) îêàæåòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé. Ìû èññëåäóåì ýòîò âîïðîñ â äåòàëÿõ, îáñóæäàÿ îïòèìèçàöèþ ïðîöåññàïàìÿòè.Êðîìå òîãî, îñòàâàÿñü â ðàìêàõ íàøèõ ïðèáëèæåíèé, ìû ïðåíåáðåãàåì ýôôåêòàìè, ñâÿçàííûìè ñ çàïàçäûâàíèåì ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè èìïóëüñà ÷åðåç àòîìíóþñðåäó. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ðàññìàòðèâàÿ äîñòàòî÷íî äëèòåëüíûé èìïóëüñ, òàêîé ÷òîåãî ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïðîòÿæåííîñòü cT ìíîãî áîëüøå äëèíû àòîìíîé ÿ÷åéêè L,cT ≫ L, ìû ìîæåì ïðåíåáðå÷ü âðåìåííûìè èíòåðâàëàìè, â òå÷åíèè êîòîðûõ ôðîíòû èìïóëüñîâ ïðîáåãàþò ïî ñðåäå.
Ôîðìàëüíî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè â óðàâíåíèè (7.21) ïîëàãàåòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé. Äëÿ ïðîñòîòû äàëåå ìûáóäåì ïîëàãàòü, ÷òî èìïóëüñ óïðàâëÿþùåãî ïîëÿ èìååò ïðÿìîóãîëüíûé ïðîôèëü âîâðåìåíè, ò.å. â óðàâíåíèÿõ áóäåì ñ÷èòàòü ÷àñòîòó Ðàáè ïîñòîÿííîé íà èíòåðâàëå186Ãëàâà 7äåéñòâèÿ óïðàâëÿþùåãî ïîëÿ (Ω(t) = const ïðè 0 < t < T ). Âàðèàíòû óïðàâëåíèÿïðîôèëåì óïðàâëÿþùåãî ïîëÿ äëÿ óâåëè÷åíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ïàìÿòè ìîæíî íàéòèâ ðàáîòàõ [167170]. Çäåñü ìû ïîêàæåì, ÷òî çíà÷èòåëüíî áîëåå ïðîñòîé â ðåàëèçàöèèìåòîä îïòèìèçàöèè ïðîòîêîëà ïàìÿòè ïðèâîäèò ê áëèçêèì ðåçóëüòàòàì äëÿ ýôôåêòèâíîñòè ïðîòîêîëà.7.1.1 Îáùèå ðåøåíèÿÄëÿ òîãî ÷òîáû ðåøèòü óðàâíåíèÿ (7.27)-(7.29), ïåðåïèøåì èõ, ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïî âðåìåíè t, êîòîðîå ââîäèòñÿ èíòåãðàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì:∫fs =∞dt f (t)e−st .(7.34)0Òîãäà â ñèñòåìå (7.27)-(7.29) âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ ïðåâðàùàþòñÿ â àëãåáðàè÷åñêèå, à â ïåðâîì óðàâíåíèè ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ çàìåíÿåòñÿ íà îáû÷íóþ:√dâs (z; ⃗q) = −g N ĉs (z; ⃗q)dz(7.35)√−ĉ(z, 0; ⃗q) + (s + i∆)ĉs (z; ⃗q) = g N âs (z; ⃗q) + Ωb̂s (z; ⃗q),(7.36)−b̂(z, 0; ⃗q) + sb̂s (z; ⃗q) = −Ωĉs (z; ⃗q).(7.37)Îòñþäà íåòðóäíî ïîëó÷èòü çàìêíóòîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ àìïëèòóäûïîëÿ âs (z; ⃗q):√dâs (z; ⃗q)= −Γs âs (z; ⃗q) − g N α̂s (z; ⃗q).dz(7.38)Çäåñü êîýôôèöèåíò Γs îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ àìïëèòóäû âs (z; ⃗q) âäîëü îñèz è çàïèñûâàåòñÿ â âèäåg2NΓs =2(νµ+s + iµΩ̃ s − iν Ω̃),(7.39)Øèðîêîïîëîñíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâàÿ êâàíòîâàÿ ïàìÿòü187ãäå ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:√Ω̃ = Ω 1 + r2 ,µ = 1 + r,ν = 1 − r.(7.40)Ïàðàìåòð r îïðåäåëÿåò áåçðàçìåðíóþ ÷àñòîòíóþ îòñòðîéêó r = ∆/(2Ω).Íåîäíîðîäíûé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7.38) îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè äëÿ ñðåäû:α̂s (z; ⃗q) =[]1Ωb̂(0,z;⃗q)+sĉ(0,z;⃗q).s(s + i∆) + Ω2(7.41)Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.38) èìååò âèä√ ∫′− g N dz ′ α̂s (z ′ ; ⃗q)e−Γs (z−z ) .z−Γs zâs (z; ⃗q) = âs (0; ⃗q)e(7.42)0Òîãäà, ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (7.36)-(7.37), ìîæíî ïîëó÷èòü√sĉs (z; ⃗q) = g Nâs (z; ⃗q) + α̂s (z; ⃗q),s(s + i∆) + Ω2]1[b̂s (z; ⃗q) =b̂(0, z; ⃗q) − Ωĉs (z; ⃗q) .s(7.43)(7.44)Òåïåðü ìîæíî ïðèìåíèòü ê ðåøåíèÿì (7.42)-(7.44) îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, è íàéòè èñêîìûå îïåðàòîðû.
Ïîñêîëüêó äàëüíåéøèé àíàëèç óäîáíî ïðîâîäèòü âáåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, ìû çàïèøåì ðåøåíèÿ, ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿt̃ = Ωt,z̃ =2g 2 Nz.Ω(7.45)Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ââåäåííîãî îáåçðàçìåðèâàíèÿ ìû îáñóäèì ïîçäíåå.Òîãäà, îáùèå ðåøåíèÿ ïðè ïðîèçâîëüíûõ íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ ìîæ-188Ãëàâà 7íî çàïèñàòü â âèäå:∫â(t̃, z̃; ⃗q) =b̂(t̃, z̃; ⃗q) =ĉ(t̃, z̃; ⃗q) =t̃dt̃′ âin (t̃ − t̃′ ; ⃗q)Gaa (t̃′ , z̃)0∫ z̃1dz̃ ′ b̂(0, z̃ − z̃ ′ ; ⃗q)Gba (t̃, z̃ ′ )−2p 0∫ z̃1−dz̃ ′ ĉ(0, z̃ − z̃ ′ ; ⃗q)Gca (t̃, z̃ ′ ),2p 0∫ t̃−pdt̃′ âin (t̃ − t̃′ ; ⃗q)Gab (t′ , z)0∫ z̃1+dz̃ ′ b̂(0, z̃ − z̃ ′ ; ⃗q)Gbb (t̃, z̃ ′ )2 0∫1 z̃ ′+dz̃ ĉ(0, z̃ − z̃ ′ ; ⃗q)Gcb (t̃, z̃ ′ ),2 0∫ t̃pdt̃′ âin (t̃ − t̃′ ; ⃗q)Gac (t̃′ , z̃)0∫1 z̃ ′dz̃ b̂(0, z̃ − z̃ ′ ; ⃗q)Gbc (t̃, z̃ ′ )+2 0∫1 z̃ ′dz̃ ĉ(0, z̃ − z̃ ′ ; ⃗q)Gcc (t̃, z̃ ′ ),+2 0(7.46)(7.47)(7.48)ãäå ÿäðà Gik (t̃, z̃) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé áèëèíåéíûå êîìáèíàöèè ôóíêöèé f (t̃, z̃; r), f0 (t̃, z̃; r)è f1 (t̃, z̃; r), êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, çàâèñÿò îò íóëåâîé è ïåðâîé ôóíêöèè Áåññåëÿïåðâîãî ðàäà Jn :(√) √(√)−i1 + r2 + r t̃ (1 + r)z̃J1(1 + r)t̃z̃ Θ(t̃),f (t̃, z̃; r) = δ(t̃) − e4t̃(√) √(√)−i1 + r2 + r t̃ 4(1 + r)t̃f1 (t̃, z̃; r) = eJ1(1 + r)t̃z̃ Θ(t̃),z̃)(√(√)1 + r2 + r t̃−iJ0f0 (t̃, z̃; r) = e(1 + r)t̃z̃ Θ(t̃).(7.49)(7.50)(7.51)ßäðà â âûðàæåíèè (7.46) èìåþò âèäGaa (t̃, z̃) = [f (r) ∗ f ∗ (−r)] (t̃, z̃),(7.52)Gba (t̃, z̃) = [f0 (r) ∗ f0∗ (−r)](t̃, z̃),(7.53)Gca (t̃, z̃) =1+r1−r[f0 (r) ∗ f ∗ (−r)](t̃, z̃) +[f (r) ∗ f0∗ (−r)](t̃, z̃).22(7.54)Øèðîêîïîëîñíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâàÿ êâàíòîâàÿ ïàìÿòü189Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè îáîçíà÷åíèå äëÿ ñâåðòêè äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ôóíêöèé X(t̃, z̃; r)è Y (t̃, z̃; r):∫∗[X(r) ∗ Y (−r)](t̃, z̃) =t̃dt̃′ X(t̃ − t̃′ , z̃; r)Y ∗ (t̃′ , z̃; −r).(7.55)0Ýôôåêòèâíûé êîýôôèöèåíò âçàèìîäåéñòâèÿ p â ôîðìóëàõ (7.46)-(7.48) ðàâåí√g Np=.Ω(7.56) âûðàæåíèÿõ (7.49)-(7.51) Θ(t̃) -ýòî ôóíêöèÿ ïðîïóñêàíèÿ: Θ(t̃) = 1 ïðè 0 < t̃ < T̃è íóëþ ñíàðóæè ýòîãî èíòåðâàëà, T̃ - âðåìÿ âçàèìîäåéñòâèÿ (T̃ = T̃ W äëÿ ïðîöåññàçàïèñè è T̃ = T̃ R ïðè ñ÷èòûâàíèè).Âûïèøåì îñòàëüíûå ÿäðà â âûðàæåíèÿõ (7.47) è (7.48)Gab (t̃, z̃) = [f0 (r) ∗ f0∗ (−r)](t̃, z̃),(7.57)Gbb (t̃, z̃) = 2 δ(z̃)F1 (t̃) + [f1 (r) ∗ f1∗ (−r)](t̃, z̃),(7.58)Gcb (t̃, z̃) = 2 δ(z̃)F2 (t̃) ++1+r[f1 (r) ∗ f0∗ (−r)](t̃, z̃)21−r[f0 (r) ∗ f1∗ (−r)](t̃, z̃),2(7.59)è1+r[f0 (r) ∗ f ∗ (−r)](t̃, z̃)21−r+[f (r) ∗ f0∗ (−r)](t̃, z̃),21+rGbc (t̃, z̃) = 2 δ(z̃)F2 (t̃) −[f1 (r) ∗ f0∗ (−r)](t̃, z̃)21−r∗−[f0 (r) ∗ f1 (−r)](t̃, z̃)],2(1 + r)2Gcc (t̃, z̃) = 2 δ(z̃)F3 (t̃) −[f1 (r) ∗ f ∗ (−r)](t̃, z̃)4(1 − r)2[f (r) ∗ f1∗ (−r)](t̃, z̃)−41 − r2−[f0 (r) ∗ f0∗ (−r)](t̃, z̃).2Gac (t̃, z̃) =(7.60)(7.61)(7.62)190Ãëàâà 7 ýòèõ ôîðìóëàõ ââåäåíû ôóíêöèîíàëüíûå âðåìåííûå çàâèñèìîñòè Fi (t̃), (i = 1, 2, 3):[ (√)1 + r2 t̃F1 (t̃) = cos(√ir+√sin1 + r221+r(√)1sinF2 (t̃) = √1 + r2 t̃1 + r2[ (√)F3 (t̃) = cos1 + r2 t̃(√ir√sin−1 + r21 + r2)]t̃e−irt̃ ,(7.63)e−irt̃ ,(7.64))]t̃e−irt̃ .(7.65)Âåðíåìñÿ ê ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó ââåäåííûõ â ýòîì ðàçäåëå áåçðàçìåðíûõ êîîðäèíàòû è âðåìåíè (ñì.
îïðåäåëåíèÿ (7.45)). Íàø àíàëèç îòíîñèòñÿ ê âðåìåííîé øêàëå,íà êîòîðîé ñïîíòàííûé ðàñïàä âåðõíåãî óðîâíÿ ïðåíåáðåæèìî ìàë, òàê ÷òî ýôôåêòèâíàÿ ñêîðîñòü ýâîëþöèè ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòîòîé Ðàáè Ω. Òîãäà, âåëè÷èíàΩ−1 - ýòî åñòåñòâåííàÿ åäèíèöà âðåìåíè äëÿ íàøåé ñèñòåìû. Åñëè òåïåðü â îïðåäåëåíèè îïòè÷åñêîé òîëùèíû ñðåäû çàìåíèòü êîíñòàíòó ðåëàêñàöèè âåðõíåãî óðîâíÿγ íà ýôôåêòèâíóþ ñêîðîñòü ðàñïàäà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñðåäû (ðàâíóþ ÷àñòîòåÐàáè), òî ìû ïîëó÷èì ýôôåêòèâíóþ îïòè÷åñêóþ òîëùèíó 2g 2 N z/Ω, ñîâïàäàþùóþñ ââåäåííûì çäåñü îïðåäåëåíèåì áåçðàçìåðíîé êîîðäèíàòû z̃ .Êàê ìû âèäèì, îáùèé âèä ðåøåíèÿ ãðîìîçäîê è òðóäåí â èíòåðïðåòàöèè. Îäíàêî äëÿ çàäà÷ ïàìÿòè íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ëèøü ÷àñòíûé ñëó÷àé, îïðåäåëÿåìûéìîäåëüíîé ïîñòàíîâêîé çàäà÷è, îïèñàííîé âûøå.7.1.2 Ðåøåíèÿ äëÿ ïðîöåññîâ çàïèñè è ñ÷èòûâàíèÿ ñèãíàëàÄàëüíåéøèé àíàëèç òðåáóåò îò íàñ êîíêðåòèçàöèè ïàðàìåòðîâ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìû áóäåì îöåíèâàòü êà÷åñòâî ïàìÿòè.
Äåòàëüíî âîïðîñ î ìåðàõ îöåíêè êâàíòîâîé ïàìÿòè áóäåò ðàññìîòðåí íèæå (ñì. ðàçäåë 7.6), çäåñü æå ìû ñêàæåì, ÷òîíàøåé áëèæàéøåé öåëüþ áóäåò îöåíêà ýôôåêòèâíîñòè ïðîòîêîëà ïàìÿòè, ò.å. îòíîøåíèÿ ïîëíîãî ÷èñëà ôîòîíîâ â âîññòàíîâëåííîì ïîñëå ñ÷èòûâàíèÿ èìïóëüñå êØèðîêîïîëîñíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâàÿ êâàíòîâàÿ ïàìÿòü191ïîëíîìó ÷èñëó âõîäíûõ ôîòîíîâ â ñèãíàëüíîì ïîëå. Òàêóþ îöåíêó ìîæíî ïðîâåñòè íà ïîëóêëàññè÷åñêîì ÿçûêå.  ñàìîì äåëå, âû÷èñëåíèå ÷èñåë ôîòîíîâ àäðåñóåòíàñ ê íîðìàëüíî óïîðÿäî÷åííûì ñðåäíèì îò îïåðàòîðîâ, ïðè ýòîì âñå ïîäñèñòåìû,íàõîäÿùèåñÿ â âàêóóìíûõ ñîñòîÿíèÿõ, íå ïîâëèÿþò íà îòâåò, èõ âêëàäû îêàæóòñÿðàâíûìè íóëþ. Íàïðèìåð, ãëÿäÿ íà âûðàæåíèå (7.46), ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî åñëèïåðåä íà÷àëîì çàïèñè êîãåðåíòíîñòè b(0, z; ⃗q) è c(0, z; ⃗q) áûëè â âàêóóìíîì ñîñòîÿíèè (ïîñêîëüêó âñå àòîìû íàõîäèëèñü â ñîñòîÿíèè |1⟩), òî âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûåíå âíåñóò âêëàä â âû÷èñëåíèå ýôôåêòèâíîñòè.
Òàêîå ðàññóæäåíèå ïîçâîëÿåò íàìïåðåéòè ê ïîëóêëàññè÷åñêèì ïåðåìåííûì ïðè ðàñ÷åòå ýôôåêòèâíîñòè, ò.å. óáðàòü"øëÿïêè"íàä îïåðàòîðàìè è çàìåíèòü îïåðàòîðû âàêóóìíûõ ïîäñèñòåì íóëÿìè.Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî àíàëèç êàê ýôôåêòèâíîñòè, òàê è äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê êâàíòîâîé ïàìÿòè âîçìîæåí è íà êâàíòîâîì ÿçûêå, ÷òî áóäåò ïðîäåìîíñòðèðîâàíî â ðàçäåëå 7.4.Èñïîëüçóÿ îáùèå ðåøåíèÿ (7.46)-(7.48) è ïîëàãàÿ b(0, z; ⃗q) = c(0, z; ⃗q) = 0 íà ñòàäèè çàïèñè ñèãíàëà è ain (t; ⃗q) = c(0, z; ⃗q) = 0 íà ñòàäèè åãî ñ÷èòûâàíèÿ, ìîæåìçàïèñàòü ïîëóêëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ äëÿ àìïëèòóäû ïîëÿ aW (t, z; ⃗q) è àòîìíîé êîãåðåíòíîñòè bW (t, z; ⃗q) â ïðîöåññå çàïèñè:∫T̃ WWa (t̃, z̃; ⃗q) =0∫b (t̃, z̃; ⃗q) = −pWdt̃′ ain (t̃′ , ⃗q)Gaa (t̃ − t̃′ , z̃),T̃ Wdt̃′ ain (t̃′ , ⃗q)Gab (t̃ − t̃′ , z̃),(7.66)(7.67)0ãäå ïðîñòðàíñòâåííûå è âðåìåííûå ïåðåìåííûå îáåçðàçìåðåíû ñîãëàñíî (7.45). ðåçóëüòàòå çàïèñè ïîëÿ íà ñðåäó ôîðìèðóþòñÿ äâå êîãåðåíòíîñòè - bW (t, z; ⃗q) ècW (t, z; ⃗q).
Ïåðâàÿ èç íèõ ñâÿçûâàåò äâà íèæíèõ óðîâíÿ è ÿâëÿåòñÿ äîëãîæèâóùåé,èìåííî îíà - ãëàâíûé, æåëàòåëüíûé ðåçóëüòàò ïðîöåññà çàïèñè. Ìû ïîëàãàåì, ÷òîîíà ñîõðàíÿåòñÿ íåèçìåííîé ñ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ çàïèñè âïëîòü äî íà÷àëà ñ÷èòûâàíèÿ, òàê ÷òî bR (0, z; ⃗q) = bW (T W , z; ⃗q). Êîãåðåíòíîñòü cW (t, z; ⃗q) ñâÿçûâàåò íèæíèé è192Ãëàâà 7âåðõíèé óðîâíè ñèñòåìû, à çíà÷èò ïîñëå îêîí÷àíèÿ ñòàäèè çàïèñè îíà ðåëàêñèðóåò(÷òî ïðèâåäåò ê íåèçáåæíûì ïîòåðÿì, êîòîðûå íåîáõîäèìî ìèíèìèçèðîâàòü).  ðåçóëüòàòå ê ìîìåíòó ñ÷èòûâàíèÿ ýòà êîãåðåíòíîñòü îêàæåòñÿ â âàêóóìíîì ñîñòîÿíèè,è ìû ìîæåì ïîëîæèòü cR (0, z; ⃗q) = 0 . Ïîëåâîé îñöèëëÿòîð ñèãíàëüíîãî ïîëÿ ïåðåä íà÷àëîì ñ÷èòûâàíèÿ òàêæå íàõîäèòñÿ â âàêóóìíîì ñîñòîÿíèè (íà âõîäå â ñðåäóïðèñóòñòâóåò òîëüêî óïðàâëÿþùåå ïîëå), ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
