Диссертация (1145377), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Äàííîå èññëåäîâàíèå ïîòðåáóåò íåêîòîðîãî îòñòóïëåíèÿ. Ïîñêîëüêó ñàìà ïîñòàíîâêà çàäà÷è êâàíòîâîéïàìÿòè èìååò ñóãóáî èìïóëüñíûé õàðàêòåð, ïðåæäå ÷åì ãîâîðèòü î ñîõðàíåíèè èëèØèðîêîïîëîñíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâàÿ êâàíòîâàÿ ïàìÿòü177Ðèñ. 7.1: Òðåõóðîâíåâàÿ àòîìíàÿ ñðåäà âçàèìîäåéñòâóåò ñ óïðàâëÿþùèì ïîëåì Ω èñèãíàëüíûì ïîëåì â.óõóäøåíèè ñæàòèÿ çà ñ÷åò åãî çàïèñè, õðàíåíèÿ è ñ÷èòûâàíèÿ, ìû äîëæíû îöåíèòü,íàñêîëüêî îíî ðàçðóøèòñÿ óæå íà âõîäå ñèñòåìû, ïðè âûðåçàíèè èìïóëüñà èç ñòàöèîíàðíîãî ïîòîêà ñæàòîãî ñâåòà [G16].
Ìû ïðîâåðèì ýòî íà ïðèìåðå äâóõ èñòî÷íèêîâøèðîêîïîëîñíîãî ñæàòîãî ñâåòà, ïðåäñòàâëåííûõ â Ãëàâå 3.Íàêîíåö, ñëåäóþùèé àñïåêò íàøåãî èññëåäîâàíèÿ çäåñü êàñàåòñÿ àíàëèçà ñîáñòâåííûõ ìîä ñõåì ïàìÿòè, âûÿñíåíèÿ èõ ðîëè â îöåíêå ñîõðàíåíèÿ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Îñíîâûâàÿñü íà àíàëèçå ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà ñîáñòâåííûõ ìîä ìû îöåíèìïîòåíöèàëüíûå âîçìîæíîñòè ïðîòîêîëîâ ñ òî÷êè çðåíèÿ õðàíåíèÿ øèðîêîïîëîñíûõñèãíàëîâ.7.1Ìîäåëü øèðîêîïîëîñíîé êâàíòîâîé ïàìÿòèÐàññìîòðèì àíñàìáëü òðåõóðîâíåâûõ àòîìîâ ñ Λ-êîíôèãóðàöèåé ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé (ñì. ðèñ. 7.1), êîòîðûé áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ õðàíåíèÿ âðåìåííûõ è ïðîñòðàíñòâåííûõ ìîä ìíîãîìîäîâîãî êâàíòîâîãî ïîëÿ. Íèæíèå ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè|1⟩ è |2⟩ ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê äîëãîæèâóùèå, ðàñïàäîì ýòèõ óðîâíåé íà èíòåðåñóþùèõ íàñ âðåìåíàõ õðàíåíèÿ èíôîðìàöèè, ìû ïðåíåáðåãàåì.
Êîãåðåíòíîñòü ìåæäóóðîâíÿìè |1⟩ è |2⟩, ñîçäàâàåìàÿ ïðè âçàèìîäåéñòâèè ïîëåé ñ àòîìíîé ñðåäîé, ÿâëÿåòñÿ áàçîâûì "èíñòðóìåíòîì"äëÿ çàïèñè, õðàíåíèÿ è ñ÷èòûâàíèÿ èíôîðìàöèè îïîïåðå÷íîé ïðîñòðàíñòâåííîé ñòðóêòóðå êâàíòîâîãî ïîëÿ.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðå-178Ãëàâà 7ìåíè âñå àòîìû íàõîäÿòñÿ íà óðîâíå |1⟩.Àòîìû âçàèìîäåéñòâóþò ñ äâóìÿ ýëåêòðîìàãíèòíûìè ïîëÿìè: ñèãíàëüíûì ïîëåìEs è óïðàâëÿþùèì ïîëåì Ed , êàæäîå èç êîòîðûõ ñâÿçûâàåò ñîîòâåòñòâóþùåå îñíîâíîå ñîñòîÿíèå àòîìà ñ âîçáóæäåííûì. Ìû ïîëàãàåì, ÷òî ïðÿìîóãîëüíûå èìïóëüñûóïðàâëÿþùåãî è ñèãíàëüíîãî ïîëÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè z .
Óïðàâëÿþùåå ïîëå - ýòî êëàññè÷åñêàÿ, ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà.Êâàíòîâîå ñèãíàëüíîå ïîëå - ýòî êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ñ ïîïåðå÷íûì ðàñïðåäåëåíèåì, îïèñûâàåìàÿ â ðàìêàõ ïàðàêñèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ñòðîãî ãîâîðÿ,â ðàìêàõ êâàíòîâîé ìåõàíèêè ìû íå ìîæåì ãîâîðèòü î âêëþ÷åíèè è âûêëþ÷åíèèñèãíàëüíîãî ïîëÿ, òàê êàê îíî ñóùåñòâóåò âñåãäà, õîòÿ áû â âàêóóìíîì ñîñòîÿíèè.Ïîýòîìó, ãîâîðÿ îá èìïóëüñå ñèãíàëüíîãî ïîëÿ, ìû ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî ýòî òà çàâåäîìî íåâàêóóìíàÿ ÷àñòü ñèãíàëüíîãî ïîëÿ, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ â ñõåìå êàê íîñèòåëüïîïåðå÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ. Çäåñü íåîáõîäèìî òàêæå ïîä÷åðêíóòü, ÷òî íàøàöåëü íå ïðîñòî çàïèñàòü âñå, ÷òî ñîäåðæèò â ñåáå ñèãíàëüíûé èìïóëüñ, íî çàïîìíèòüïîïåðå÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ, êîòîðîå, ðàçóìååòñÿ, íèêàê íå ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî íà âàêóóìíûõ ôëóêòóàöèÿõ ñèãíàëüíîãî ïîëÿ.Äëèòåëüíîñòè èìïóëüñîâ óïðàâëÿþùåãî è ñèãíàëüíîãî ïîëåé T ñîâïàäàþò.
Áóäåìïîëàãàòü, ÷òî èìïóëüñû êàê ñèãíàëüíîãî, òàê è óïðàâëÿþùåãî ïîëåé î÷åíü êîðîòêè - ìíîãî êîðî÷å âðåìåíè æèçíè âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ γ −1 , òàê ÷òî â òå÷åíèè âðåìåíè âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëåé ñ àòîìàìè (íà ýòàïàõ çàïèñè è ñ÷èòûâàíèÿ) ìûìîæåì ïðåíåáðå÷ü ñïîíòàííûì ðàñïàäîì âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Îòìåòèì, ÷òîòàêîå ïðåäïîëîæåíèå íå ñïðàâåäëèâî äëÿ âðåìåíè õðàíåíèÿ èíôîðìàöèè, òàêèì îáðàçîì, åñëè íà êîíåö âðåìåíè çàïèñè çàñåëåííîñòü âåðõíåãî ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿîêàæåòñÿ îòëè÷íîé îò íóëÿ, òî íàì íåîáõîäèìî ó÷åñòü ðàñïàä ýòîé çàñåëåííîñòè (èñîîòâåòñòâóþùèõ êîãåðåíòíîñòåé) çà âðåìÿ õðàíåíèÿ ñèãíàëà.Äðóãîå ïðåäïîëîæåíèå îãðàíè÷èâàåò äëèòåëüíîñòü èìïóëüñîâ ñíèçó: âûáèðàåìØèðîêîïîëîñíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâàÿ êâàíòîâàÿ ïàìÿòü179åå äîñòàòî÷íî áîëüøîé ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé L àòîìíîãî ñëîÿ: T >> L/c (c - ñêîðîñòü ñâåòà). Òàêîå ñîîòíîøåíèå âðåìåí ïîçâîëèò íàì íå ðàññìàòðèâàòü âðåìåíà, íàêîòîðûõ ïîëÿ òîëüêî íà÷èíàþò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âäîëü ñðåäû è ëèøü ÷àñòü ñðåäûâîâëå÷åíà âî âçàèìîäåéñòâèå ñ íèìè.
Òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ è ê âûõîäó èìïóëüñîâèç ñðåäû. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü óïðàâëÿþùåå ïîëå ïîñòîÿííûì íà âðåìåííîì èíòåðâàëå[0, T ], ïîëàãàÿ, ÷òî êàê ñîñòîÿíèå ñèãíàëüíîãî ïîëÿ, òàê è ñîñòîÿíèå ñðåäû, ôàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ íà êîðîòêèõ âðåìåíàõ âõîäà/âûõîäà èìïóëüñà óïðàâëÿþùåãî ïîëÿâ/èç ñðåäû.  ðåçóëüòàòå, óñëîâèå íà ñîîòíîøåíèå âðåìåí ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:L/c ≪ TW,R ≪ γ −1 ,(7.1)ãäå èíäåêñû W è R óêàçûâàþò íà òî, ÷òî äàííîå îãðàíè÷åíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿïðîöåññà çàïèñè èíôîðìàöèè íà ñðåäó (writing) è äëÿ ïðîöåññà åå ïîñëåäóþùåãîñ÷èòûâàíèÿ (readout).Àòîìû áóäåì îïèñûâàòü êàê íåïîäâèæíûå, ïîëîæåíèå êàæäîãî àòîìà â ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì ⃗rj = (⃗ρj , zj ), ãäå z îòâå÷àåò ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòå,âåêòîð ρ⃗ îïèñûâàåò ïîëîæåíèå â ïîïåðå÷íîé ïëîñêîñòè, à èíäåêñ j íóìåðóåò àòîìûâ àíñàìáëå (íà÷àëî êîîðäèíàò ñîâìåñòèì ñ ïåðåäíåé ãðàíèöåé àòîìíîãî ñëîÿ).
Àòîìíûé ñëîé èìååò äëèíó L ïî îñè z è áåñêîíå÷íî ïðîòÿæåí â ïîïåðå÷íîé ïëîñêîñòè. äèïîëüíîì ïðèáëèæåíèè ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ àòîìàìè èìååòâèä:V̂ = −∑dˆj (t)Ê(t, ⃗rj ),jÊ(t, ⃗rj ) = Ês (t, ⃗rj ) + Êd (t, ⃗rj ).(7.2)Çäåñü dˆj (t) - ýòî îïåðàòîð ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëüíîãî ìîìåíòà j-ãî àòîìà, ëîêàëèçîâàííîãî â òî÷êå ⃗rj .
 ïàðàêñèàëüíîì è êâàçèðåçîíàíñíîì ïðèáëèæåíèÿõ ãàìèëüòî-180Ãëàâà 7íèàí ìîæíî ïåðåïèñàòü â ôîðìå:∫∫∫V̂ =[[dz d2 ρ ih̄g â(z, ρ⃗, t)σ̂31 (z, ρ⃗, t) eiks z − i∆t]−↠(z, ρ⃗, t)σ̂13 (z, ρ⃗, t) e−iks z + i∆t[+ih̄ Ω(t)σ̂32 (z, ρ⃗, t) eikd z − i∆t]]∗−ikz+i∆td−Ω (t)σ̂23 (z, ρ⃗, t) e.(7.3)Çäåñü ks è kd - ïðîåêöèè íà îñü z âîëíîâûõ âåêòîðîâ ñèãíàëüíîãî è óïðàâëÿþùåãî ïîëåé, ñîîòâåòñòâåííî, à ρ⃗ = ρ⃗(x, y). Îòñòðîéêè ñèãíàëüíîãî è óïðàâëÿþùåãî ïîëåé îòñîîòâåòñòâóþùèõ àòîìíûõ ïåðåõîäîâ ïðåäïîëàãàþòñÿ ñîâïàäàþùèìè ìåæäó ñîáîéè ðàâíûìè ∆, òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíî óñëîâèå äâóõôîòîííîãî ðåçîíàíñà ìåæäóóðîâíÿìè |1⟩ è |2⟩:∆ = ωs − ω13 = ωd − ω23 .(7.4)Ìîæåì îïðåäåëèòü íîðìèðîâàííóþ àìïëèòóäó ñèãíàëüíîãî ïîëÿ â(z, ρ⃗, t) ñîîòíîøåíèåì√Ês (⃗r, t) = −ih̄ωs −iωs t+iks zeâ(z, ρ⃗, t) + h.c.2ε0 c(7.5)Òîãäà îïåðàòîð â(z, ρ⃗, t) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì óíè÷òîæåíèÿ ôîòîíîâ ñèãíàëüíîãî ïîëÿ è ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïîëÿ â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå ñëåäóþùèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äîëæíû áûòü âûïîëíåíû [134]:[]â(z, ρ⃗, t), ↠(z, ρ⃗′ , t′ ) = δ 2 (⃗ρ − ρ⃗′ )δ(t − t′ ),[]â(z, ρ⃗, t), ↠(z ′ , ρ⃗′ , t) =)(ci ∂− 2 ∆⊥ δ 3 (⃗r − ⃗r′ ).=c 1−ks ∂z 2ks(7.6)(7.7)Àìïëèòóäà â(z, ρ⃗, t) íîðìèðîâàíà òàêèì îáðàçîì, ÷òî âåëè÷èíà ⟨↠(z, ρ⃗, t)â(z, ρ⃗, t)⟩èìååò ñìûñë ñðåäíåãî ÷èñëà ôîòîíîâ â ñåêóíäó â åäèíè÷íîì îáúåìå.
Ñèìâîë ∆⊥ ñî-Øèðîêîïîëîñíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâàÿ êâàíòîâàÿ ïàìÿòü181îòâåòñòâóåò âåêòîðíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó îïåðàòîðó Ëàïëàñà â ïîïåðå÷íîì ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîâ ρ⃗:∆⊥ =∂2∂2+.∂x2 ∂y 2(7.8)Ìû îïðåäåëèëè èíòåíñèâíîñòü óïðàâëÿþùåãî ïîëÿ ñ ïîìîùüþ ÷àñòîòû Ðàáè Ω. Äëÿïðîñòîòû áóäåì ïîëàãàòü ýòó âåëè÷èíó âåùåñòâåííîé Ω = Ω∗ .Êîíñòàíòà ñâÿçè ìåæäó àòîìàìè è ñèãíàëüíûì ïîëåì îïðåäåëÿåòñÿ êàê(g=ωs2ϵ0 h̄c)1/2d31 .(7.9)ãäå d31 - ýòî ýëåìåíò ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëüíîãî ìîìåíòà, îòâå÷àþùèé ïåðåõîäó|1⟩ → |3⟩. Ìû îïðåäåëèëè êîëëåêòèâíûå îïåðàòîðû êîãåðåíòíîñòåé è çàñåëåííîñòåéêàê ñóììó ïî âñåì àòîìàì ñîîòâåòñòâóþùèõ ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ:σ̂ik (⃗r, t) =∑jσ̂ik(t) δ 3 (⃗r − ⃗rj ),(7.10)σ̂iij (t) δ 3 (⃗r − ⃗rj ).(7.11)jN̂i (⃗r, t) =∑jÄëÿ ýòèõ êîëëåêòèâíûõ îïåðàòîðîâ ìîæåò áûòü çàïèñàíî êîììóòàöèîííîå ñîîòíîøåíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì èõ îïðåäåëåíèÿ:[][σ̂ik (⃗r, t), σ̂ki (⃗r′ , t)] = N̂i (⃗r, t) − N̂k (⃗r, t) δ 3 (⃗r − ⃗r′ ),(7.12)Òåïåðü, íà îñíîâå ïîñòðîåííîãî ãàìèëüòîíèàíà (7.3) è êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé (7.7), (7.12), èñïîëüçóÿ õîðîøî èçâåñòíûå ðåöåïòû êâàíòîâîé òåîðèè, ìîæåìçàïèñàòü ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà äëÿ êîëëåêòèâíûõ àòîìíûõ îïåðà-182Ãëàâà 7òîðîâ è àìïëèòóäû ñèãíàëüíîãî ïîëÿ â ïàðàêñèàëüíîì ïðèáëèæåíèè:()∂∂ic+c −∆⊥ â = −cgσ̂13 ,∂t∂z 2ks∂σ̂13 = −i∆σ̂13 + Ωσ̂12 + gâ(N̂1 − N̂3 ),∂t∂σ̂12 = −Ωσ̂13 − gâσ̂32 ,∂t∂σ̂32 = i∆σ̂32 − Ω(N̂3 − N̂2 ) + g↠σ̂12 ,∂t∂N̂1 = −gâσ̂31 − g↠σ̂13 ,∂t∂N̂2 = −Ω (σ̂32 − σ̂23 ) ,∂t∂∂∂N̂3 = − N̂1 − N̂2 .∂t∂t∂t(7.13)(7.14)(7.15)(7.16)(7.17)(7.18)(7.19)Ïðè çàïèñè óðàâíåíèé (7.13)-(A.3) ìû ïåðåøëè ê ìåäëåííî ìåíÿþùèìñÿ â ïðîñòðàíñòâå àòîìíûì êîãåðåíòíîñòÿì, êîòîðûå âîçíèêàþò âñëåäñòâèå çàìåí:σ̂13 → eiks z − i∆t σ̂13 ,σ̂23 → eikd z − i∆t σ̂23 ,(7.20)σ̂12 → e−i(kd − ks )z σ̂12 . ïîñòðîåííîé ñèñòåìå óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà ìû îïóñòèëè ÷ëåíû, ñâÿçàííûå ñîñïîíòàííîé ðåëàêñàöèåé |3⟩ → |1⟩, ïîñêîëüêó, êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, ìû ïîëàãàåì,÷òî ñêîðîñòü ðåëàêñàöèè γ ìàëà íàñòîëüêî, ÷òî åþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü íà âðåìåíàõâçàèìîäåéñòâèÿ êîðîòêèõ èìïóëüñîâ ñ àòîìàìè.
Ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü, èñïîëüçóÿ ïðèáëèæåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûå íèæå.Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèÿì (7.10),(7.11), ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå êîëëåêòèâíûõ àòîìíûõ îïåðàòîðîâ îáëàäàåò îñòðîé íåãëàäêîé ôîðìîé â ñèëó äåëüòà-ëîêàëèçàöèèàòîìîâ. Êàæäûé èç àòîìîâ ðàñïîëîæåí â êàêîé-òî êîíêðåòíîé ïðîñòðàíñòâåííîéòî÷êå ⃗ri , òàêèì îáðàçîì êîëëåêòèâíûå ïåðåìåííûå - ýòî ôóíêöèè îò âåêòîðà ⃗r.
Âäàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî àòîìîâ ìíîãî, è îíè íàõîäÿòñÿ íà äîâîëüíîØèðîêîïîëîñíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâàÿ êâàíòîâàÿ ïàìÿòü183áëèçêèõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà, õîòÿ ýòî ðàññòîÿíèå è ìíîãî áîëüøå äëèíû âîëíû ðàññìàòðèâàåìîãî èçëó÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìèâ êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìíîãî ìåíüøå, ÷åì èíòåðåñóþùèå íàñ ïðîñòðàíñòâåííûåèíòåðâàëû.
Ýòà áûñòðàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ çàâèñèìîñòü, ðàçóìååòñÿ, ïåðåíîñèòñÿ èíà âñå äðóãèå ïàðàìåòðû, ïîëåâûå è àòîìíûå. Óïðîñòèì ôèçè÷åñêóþ ñèòóàöèþ ñ÷èòàÿ, ÷òî àòîìû ïðîñòðàíñòâåííî "ðàçìàçàíû" , òîãäà â ñðåäíåì çàäà÷à ñòàíîâèòñÿïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîé. Ìû ìîæåì ôîðìàëüíî óñðåäíèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé(7.13)-(A.3) ïî ïîëîæåíèÿì àòîìîâ. óðàâíåíèè (7.14) çàìåíèì ðàçíîñòü îïåðàòîðîâ N̂ 1 − N̂ 3 íà ñ-÷èñëî, îòâå÷àþùååñðåäíåé ïëîòíîñòè àòîìîâ N .
Êàê ìû ïîìíèì, â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè àòîìûíàõîäÿòñÿ â ñîñòîÿíèè |1⟩, ÷òî âîçìîæíî îáåñïå÷èòü ïóòåì îïòè÷åñêîé íàêà÷êè. Ñäåëàííàÿ çàìåíà îïðàâäàíà òåì, ÷òî çàñåëåííîñòü ñîñòîÿíèÿ |1⟩ îñòàåòñÿ î÷åíü áëèçêîéê íà÷àëüíîé â òå÷åíèè âñåãî ïðîöåññà ïàìÿòè (çàïèñè, õðàíåíèÿ è ñ÷èòûâàíèÿ èíôîðìàöèè), ïîñêîëüêó ÷èñëî ôîòîíîâ â ñèãíàëüíîì èìïóëüñå ìíîãî ìåíüøå ÷èñëààòîìîâ â ÿ÷åéêå ïàìÿòè. óðàâíåíèè (7.15), ìû ïðåíåáðåãàåì âòîðûì ÷ëåíîì â ïðàâîé ÷àñòè ïî ñðàâíåíèþñ ïåðâûì, ïîñêîëüêó, ñ îäíîé ñòîðîíû, gâ ìíîãî ìåíüøå, ÷åì Ω (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî|Ω|2 ≫ g 2 ⟨↠â⟩).
Êðîìå òîãî, σ̂32 ≪ σ̂13 , òàê êàê çàñåëåííîñòè N2 è N3 ìàëû ïîñðàâíåíèþ ñ N .Òàêèì îáðàçîì ïîñòðîåííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.13)-(A.3) ðàñöåïëÿåòñÿ è ìûìîæåì ìîæåì çàïèñàòü óïðîùåííóþ ñèñòåìó âñåãî èç òðåõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, îïèñûâàþùóþ ýâîëþöèþ ñèãíàëüíîãî ïîëÿ è äâóõ184Ãëàâà 7êîãåðåíòíîñòåé:()1∂∂i2+−▽ â(z, ρ⃗, t) = −g σ̂13 (z, ρ⃗, t),c ∂t ∂z 2ks ⊥∂σ̂13 (z, ρ⃗, t) = −i∆σ̂13 (z, ρ⃗, t) + gN â(z, ρ⃗, t) + Ωσ̂12 (z, ρ⃗, t),∂t∂σ̂12 (z, ρ⃗, t) = −Ωσ̂13 (z, ρ⃗, t).∂t(7.21)(7.22)(7.23)Çäåñü è äàëåå, ïðîèçâåäÿ óñðåäíåíèå ïî ïîëîæåíèÿì àòîìîâ, ìû äëÿ óïðîùåíèÿçàïèñè îïóñòèì ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷êè.Ïåðåíîðìèðóåì êîãåðåíòíîñòè σ̂13 è σ̂12√σ̂12 (z, ρ⃗, t)/ N = b̂(z, ρ⃗, t),√σ̂13 (z, ρ⃗, t)/ N = ĉ(z, ρ⃗, t)(7.24)(7.25)òàê, ÷òîáû îíè óäîâëåòâîðÿëè ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì äëÿ áîçîííûõ îïåðàòîðîâ:[] []b̂(⃗r, t), b̂† (⃗r′ , t) = ĉ(⃗r, t), ĉ† (⃗r′ , t) = δ 3 (⃗r − ⃗r′ ).(7.26)Çäåñü ìû òàêæå ïðèíÿëè âî âíèìàíèå ïðèáëèæåííóþ çàìåíó N̂1 − N̂2,3 → N .Ïåðåõîäÿ ê ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèþ îòíîñèòåëüíî ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò ρ⃗, óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþò âèä√∂â(z, t; ⃗q) = −g N ĉ(z, t; ⃗q),∂z√∂ĉ(z, t; ⃗q) = −i∆ĉ(z, t; ⃗q) + g N â(z, t; ⃗q) + Ωb̂(z, t; ⃗q),∂t∂b̂(z, t; ⃗q) = −Ωĉ(z, t; ⃗q),∂t(7.27)(7.28)(7.29)ãäå ìû ââåëè ïîïåðå÷íûé âîëíîâîé âåêòîð ⃗q è ñäåëàëè ñëåäóþùèå çàìåíû:2â(z, t; ⃗q) → â(z, t; ⃗q)e−iq z/(2ks ) ,(7.30)2b̂(z, t; ⃗q) → b̂(z, t; ⃗q)e−iq z/(2ks ) ,(7.31)2ĉ(z, t; ⃗q) → ĉ(z, t; ⃗q)e−iq z/(2ks ) .(7.32)Øèðîêîïîëîñíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâàÿ êâàíòîâàÿ ïàìÿòü185Ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.27)-(7.29) ïîçâîëÿåò çàïèñàòü óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè äëÿ÷èñëà âîçáóæäåíèé:∂↠â ∂ b̂† b̂ ∂ĉ† ĉ++= 0.∂z∂t∂t(7.33)Ýòî óðàâíåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ïðîöåññ çàïîìèíàíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåâðàùåíèè âõîäíûõ ôîòîíîâ ñëàáîãî êâàíòîâîãî ïîëÿ â âîçáóæäåíèÿ àòîìíûõ êîãåðåíòíîñòåé σ̂13 èσ̂12 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
