Диссертация (1145329), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Шаг выбирается, исходя издостижения наиболее быстрой сходимости.Если рассматривать УВС в качестве динамической системы, состояние которой имеетотображение на плоскость ударных поляр, то "машинное" время в такой системе будетвыступать в качестве параметра. С подобным мы уже сталкивались, рассматривая поведениединамической системы, описываемой уравнением (3.2) осциллятора Ван дер Поля, в котороместь быстрая переменная и медленно меняющийся параметр.
В зависимости от величиныпараметра векторное поле, в котором действует система, будет приводить её либо кустойчивому аттрактору (рис.3.10-а), либо к предельному циклу (рис.3.10-б).Если в систему ввести дополнительный малый параметр ε так, что описывающую еёсистему уравнений можно записать в виде] x! = y − f (x), y! = ε (a − x) ,(3.3)!144где а-медленно меняющийся параметр, ε - малый параметр, то при определенном сочетании а иε возможно затягивание потери устойчивости и перескока с верхней устойчивой ветвипредельного цикла на нижний (рис.3.13). При этом движение на фазовой плоскости некотороевремя продолжается не по нормальному предельному циклу (рис.3.13-а), а по неустойчивойветви цикла и переключается на нижнюю ветвь уже с этой неустойчивой ветви (рис.3.13-б) нарасстоянии порядка е-1/ε от критической точки исходного цикла.
Такое поведение в теорииособенностей гладких отображений называется "уткой".!а)б)в)Рисунок 3.13 - Вырождение нормального предельного цикла (а) в цикл с "уткой" (б) иобласть существования решений с "утками" (в).Если ε зафиксировать, а параметр а плавно изменять, то "утка" будет перемещаться кправой ветви цикла (показано красной стрелкой на рис.3.13-б). В какой-то момент параметр астанет таким, что предельный цикл с "уткой" погибнет и система или вернется к нормальномупредельному циклу, или перейдет к устойчивому аттрактору.
Таким образом, на плоскости а-εсуществует область, в которой могут существовать предельные циклы с "утками". В нашемслучае при расчете течения методом установления роль медленного параметра а играет"машинное" время, а роль ε - невязка решения. Если сочетание а и ε таково, что мы попадаем вобласть решения с "утками" (рис.3.13-в), то возникают предельные циклы с "утками", чтосубъективно воспринимается, как смещение усредненного состояния системы по медленномупараметру, т.е.
по интенсивности падающего на стенку скачка. Иными словами мы как - бысдвигаем описывающую скачок ударную поляру влево к оси ординат и она "фиктивно"пересекается с осью. Отсюда и парадоксальные результаты. Эксперименты с различнымипостановками численного расчета показали, что при использовании полностью нестационарнойпостановки задачи с достаточно мелким шагом по времени такие артефакты не возникают.!1453.6 Область неоднозначности решения при отражении косого скачка от стенкиДля рассмотренного в п.1.7 и 3.5 отражения косого скачка от стенки в условияхнеоднозначности и гистерезиса расчетным путем построены границы области неоднозначности[220], образованные линиями JR(М), J0(М) (рисунок 3.14-3.19).!Рисунок 3.14 - Область неоднозначности, ограниченная линиями JR(М), J0(М), в которойвозможно как регулярное, так и маховское отражение скачка от стенки.PРисунок 3.15 - Область неоднозначности, ограниченная линиями JR(М), J0(М), в которойвозможно как регулярное, так и маховское отражение скачка от стенки.!146!Рисунок 3.16 - Область неоднозначности, ограниченная линиями JR(М), J0(М), в которойвозможно как регулярное, так и маховское отражение скачка от стенки.!Рисунок 3.17 - Область неоднозначности, ограниченная линиями JR(М), J0(М), в которойвозможно как регулярное, так и маховское отражение скачка от стенки.!147На графики нанесены значения особых чисел Маха M0R.
Напомним, то при Μ<Μ0R СМКсуществовать не может, соответственно, J0 здесь не определена. С ростом числа Маха областьнеоднозначности решения расширяется.Для практического использования полезнее построение области неоднозначности вкоординатах М-β. Действительно, в полете при разгоне летательного аппарата изменяется числоМаха, а угол клина воздухозаборника остается постоянным. Наоборот, при регулированиивоздухозаборника, меняется угол клина, а число Маха полета, как правило, при этом остаетсяпостоянным. Несложно построить на плоскости М-β параметрические кривые M0(β) длякритерия СМК и MR(β) для критерия отсоединения [ 221].На рисунке 3.18 приведены графики MR(β) и M0(β). Вся плоскость параметров М-β можетбыть разбита на три области: выше кривой Μ0, ниже кривой MR и между ними.
Кривая Μ0соответствует критерию СМК.]М - число Маха набегающего потока, М0 - числа Маха, соответствующие критериюстационарной маховской конфигурации (критерий фон Неймана) перехода между РИ и МИ, МR- числа Маха, соответствующие критерию отсоединения, β - угол разворота потока на скачке(угол клина), γ - показатель адиабаты. Область РИ лежит выше кривой М0.
Область МИ лежитниже кривой МR. Область, в которой условия динамической совместности допускают как РИ,так и МИ, лежит между кривыми М0 и МR.Рисунок 3.18 - Области существования РИ и МИ, γ=1.4.!148Кривая MR соответствует критерию отсоединения фон Неймана. Между кривыми Μ0 и MRвторичная поляра пересекается как с основной полярой, так и с осью ординат, соответственно,условиями динамической совместности допускается как РИ, так и МИ.На рисунке 3.18 видно, что существует предельный минимальный угол клина βmin, прикотором линии Μ0 и ΜR сливаются. Этой точке соответствует особое число Маха M0R.Соответственно, при β < βmin гистерезис существовать не может, ниже линии M0R лежит областьМИ, выше - РИ.
Переход от МИ к РИ при увеличении числа Маха происходит на линии M0R. Нарисунке 3.18 также хорошо видно, что у линии M0 имеется и второй предельный угол βmax.Действительно, при углах клина больше 21°, существует только две области: МИ ниже MR иобласть неоднозначности выше MR.
Никакого гистерезиса, вроде бы, быть не должно, ипереключение от МИ к РИ должно происходить на линии MR. Таким образом, вся плоскостьразбита на три диапазона углов β: 1 - β < βmin, 2 - βmin<β< βmax. 3 - β> βmax. В диапазоне 1 нижелинии M0R реализуется МИ, выше - РИ, в диапазоне 2 ниже MR - МИ, выше M0 - РИ, междуэтими кривыми лежит зона гистерезиса. Диапазон 3 требует более подробного рассмотрения,т.к. решение зависит от того, меняем мы М или β и в каком направлении.Существует также угол β∞, к которому стремится линия M0, при М→∞. Значения особыхчисел Маха M0R и особых углов βmin, βmax, β∞ приведены в таблице 3.2 для γ=1.1 (смесь паровуглеводородного топлива с воздухом), 1.25 (продукты сгорания углеводородного топлива ввоздухе), 1.67 (одноатомный газ, например, водород), 1.4 (воздух).Таблица 3.2 - Особые числа Маха и предельные углы разворота потока.γ1.671.41.251.1M0R2.4472.2032.0781.952βmin, градусов14.515.215.615.7βmax, градусов19.1820.9212223.23β∞, градусов18.717.9611613Видно, что с увеличением показателя адиабаты области гистерезиса значительносужаются (рисунок 3.19).
Течения с γ=2 (рисунок 3.19-б) имеют определенный смысл, о чембудет сказано при рассмотрении в п.3.9 эксперимента методом гидроаналогии.!149]]а)б)Рисунок 3.19 - Области существования РИ и МИ, γ=1.67 (а) и γ=2 (б).3.7 Переход между регулярной и маховской интерференцией - проверка критериевфон Неймана и Стационарной Маховской Конфигурации методом вычислительногоэкспериментаЧисленный метод. Моделирование [222] было выполнено в двухмерной расчетной‑]области, расположенной между двумя клиньями (рисунок 3.20).]d✽ - расстояние между клиньями, β - угол разворота потока на скачке (угол клина), σ - уголнаклона скачка уплотнения.
1 - встречные скачки уплотнения, 2 - тройная точка, 3 - отраженныйскачок уплотнения, 4 - тангенциальный разрыв за тройной точкой, 5 - ножка Маха.Рисунок 3.20 - Схема расчетной области.!150На левой границе полости задается равномерное распределение чисел Маха, в результатена клинья натекает сверхзвуковой поток с заданным числом М. Исследуемая область имеетсужающуюся часть и критическое сечение d✽. Величина d✽ влияет на объемный расход газа,проходящего между двумя клиньями, и на возможность существования ударно-волновыхструктур внутри канала.
При небольших числах Маха на входе в канал образуется отошедшаяударная волна, а течение внутри канала полностью дозвуковое. Характерным геометрическимпараметром, влияющим на ударно-волновую картину течения является угол клина β, которомусоответствует угол поворота потока на косом скачке уплотнения. Использование в расчетахсимметричных клиньев позволило интерпретировать задачу как отражение скачка уплотненияот стенки.Величины β и d✽ были подобраны таким образом, чтобы можно было исследовать как РИ,так и МИ, а также гистерезис.
Поскольку в задачах расчета струйных течений с ударнымиволнами выбор модели турбулентности может оказать существенное влияние на геометриюУВС, численное моделирование было выполнено в рамках модели идеального газа.Дополнительным доводом в пользу использования модели идеального газа служит тотфакт, что переход РИ↔МИ может сопровождаться быстрой скачкообразной перестройкой УВС,т.е. существенно нестационарным процессом. В моделях же турбулентности используетсяосреднение турбулентного потока по времени, поэтому их применение при моделированиибыстро протекающих процессов теоретически не обосновано. С другой стороны, в п.2.2-2.3было показано, что УДС для идеального разрыва и ударной волны с исчезающей вязкостьюодни и те же.Постановка задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
