Диссертация (1145329), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В процессе решения были использованы два варианта постановкизадачи. Первый вариант – квазистационарная постановка, в которой зависящий от временипараметр (в данном случае, число М на входе в канал) меняется дискретно, при этом в качественачальных условий используется решение на предыдущем шаге. Такая техника имитируетбесконечно медленное, постепенное изменение числа Маха. Второй вариант – это полностьюнестационарная постановка задачи, в которой вводится переменная времени, и изменениепараметров происходит монотонно.
Эта техника имитирует достаточно быстрое изменениечисла Маха. Такой вариант позволил определить величину гистерезиса для нестационарногослучая и сравнить её с вариантом бесконечно медленного изменения числа Маха.Расчеты выполнялись на четырех различных структурированных разностных сетках.Самая грубая сетка имела 60 ячеек поперек течения. Остальные - 240, 480 и 960 ячеек.
Сеткасогласована с границами расчетной области. На левой границе задавалось число Маха, на!151твердых границах выставлялись условия непротекания, на правой границе произвольнозадавалось статическое давление.Момент перехода к маховскому отражению контролировался визуально по наличию двухтангенциальных разрывов за ножкой Маха (по изолиниям полного давления Р0 и чисел Маха) и,дополнительно, по изменению кривизны отраженного скачка уплотнения.
Как следует изрешения задачи первого порядка об интерференции скачков при регулярном пересечениискачков отраженный скачок имеет положительную кривизну, а при образовании тройной точкикривизна скачком изменяется на отрицательную [ 223], что хорошо заметно. Такой‑комбинированный подход позволил идентифицировать маховское отражение даже тогда, когдавизуально ножка Маха и тангенциальные разрывы на ней не видны или сильно размыты.Диапазон гистерезиса. По картинам изолиний чисел Маха определены диапазоныгистерезиса. С помощью методики, описанной выше, найдены диапазоны гистерезиса приразличной степени размазывания скачков по разностным ячейкам, соответствующейразностным сеткам, которые применялись в численных расчетах.Результаты сведены втаблицу 3.3. Видно, что численные результаты по мере измельчения сетки в точности сходятся ктеоретическим значениями.Таблица 3.3 - Диапазон гистерезиса.Численный методК-во ячеекАналитическое решение сучетом размазывания скачкаРИ → МИРИ ← МИРИ → МИРИ ← МИ602,62,72,612 – 2,9752,745 - нет2402,72,82,715 – 2,8352,978 – 3,4364802,753,02,753 – 2,7893,092 – 3,229602,83,152,762 – 2,783,12 – 3,1852,773,1492,773,149Теоретическое значениеНа рисунке 3.21 представлены результаты расчетов на самой мелкой сетке при увеличениичисла Маха (рисунок 3.21-а) и при его уменьшении (рисунок 3.21-б).
Для каждого числа Махаприведены решения на плоскости поляр. Хорошо видно, что по мере увеличения числа Маха отМ=2.3 до М=3.2 происходит постепенное уменьшение ножки Маха и переход к регулярномуотражению между числами Маха М=3.125 и М=3.15, что примерно соответствует критериюСМК.!152]Рисунок 3.21 - Трансформация УВС при изменении числа Маха в условиях гистерезиса. А отрицательная кривизна отраженного скачка при МИ, В - положительная кривизнаотраженного скачка при РИ.При уменьшении числа Маха от М=3.2 переход к нерегулярному отражению происходитмежду числами Маха М=2.78 и М=2.76, что соответствует критерию отсоединения фонНеймана. Этот момент идентифицируется по изменению кривизны отраженного скачка.!153Расчеты были повторены для различных чисел Маха и углов клина.
Результаты аналогичные. Таким образом, можно считать доказанным, что при измельчении сетки в рамкахмодели идеального газа численное решение сходится к теоретическим значениям,соответствующим критериям СМК и фон Неймана.Высота ножки Маха и гистерезис. Гистерезис проявляется не только в том, что несовпадают моменты перехода от РИ к МИ и обратно, но и в том, что на высоту ножки Маха приМИ влияет направление изменения числа М. Причина заключается в том, что высота ножкиМаха зависит от условий течения в "виртуальном сопле", образующемся междутангенциальными разрывами за тройными точками (рисунок 3.22) и определяется равенствомрасхода газа через ножку Маха и критическое сечение "виртуального сопла" [ 224]. Равенство‑расходов может установиться при двух различных значениях высоты ножки Маха, поэтомувысота ножки зависит от начальных условий.
Если при МИ число Маха растет и высота ножкиМаха уменьшается, то при заданном М её высота будет больше, чем при движении со сторонырегулярного отражения и уменьшении М.]Рисунок 3.22 - Взаимодействие волн разрежения с областью течения за ножкой Маха.Гистерезис при β>βmax. Если выбрать угол клина β>βmax (рисунки 3.18, 3.19), то всяобласть изменения числа Маха будет разделена значением MR на две подобласти: М<MR, вкоторой возможна только МИ, и М>MR, в которой возможна как МИ, так и РИ. Расчетыпоказывают, что реализуется именно МИ, ножка Маха присутствует всегда, но размеры еёуменьшаются.
Вторичная поляра пересекает основную поляру близко к её вершине, но СМК недостигается ни при каких значениях М. Зависимость высоты ножки Маха от начальных условийсохраняется, т.е. в этом смысле гистерезис существует. Таким образом при β>βmax реализуетсятолько МИ и переходы от МИ к РИ отсутствуют во всем диапазоне изменения числа М.Влияние скорости изменения числа Маха. Известно, что при очень быстром измененииугла клина происходит искривление косого скачка уплотнения, что влияет на моментпереключения от МИ к РИ и обратно [225]. Расчеты, проведенные на различных разностных‑!154сетках, продемонстрировали для каждой из сеток идентичные результаты, как в полностьюнестационарной постановке при умеренной скорости изменения М, когда скачки оставалисьпрямолинейными, так и в квазистационарной. Выявлено, что сама по себе нестационарность невлияет на моменты переходов между регулярным и нерегулярным взаимодействием скачков.3.8 Влияние размытия скачков на ширину зоны гистерезисаВ п.3.7 было показано, что численные результаты в рамках модели идеального газа помере измельчения сетки в точности сходятся к теоретическим значениями.
Представляетинтерес выяснить, каково влияние размытия скачков по разностной сетке на моменты переходаРИ↔МИ. Это, в определенной мере, позволит ответить на вопрос, как сказывается физическаявязкость на диапазон гистерезиса. Размазывание скачка по разностной сетке может бытьинтерпретировано как неопределенность в задании угла наклона скачка уплотнения, тогда точкана основной поляре, соответствующая косому скачку уплотнения, превратится во множествоточек, лежащее на поляре, вторичная поляра будет иметь конечную толщину и её пересечение сосью ординат и основной полярой будет представлять собой не единственную точку, амножество точек.Критерию отсоединения будет соответствовать касание "толстой" поляры оси ординат(рисунок 3.23-а), а критерию СМК - пересечение нижней границы "толстой" поляры свершиной основной поляры (рисунок 3.23-б), соответствующе числу Маха перед косымскачком уплотнения.]]а)б)Рисунок 3.23 - Определение интенсивности JR косого размытого скачка, соответствующейкритерию отсоединения (а), и J0, соответствующей критерию СМК (б).!155Результаты расчетов чисел Маха, соответствующих переходам РИ↔МИ, с учетомразмытия скачков по разностным ячейкам, приведены в таблице 3.2.
Видно, что меньшее издвух значений числа Маха приблизительно соответствует результату численного расчета, атеоретическое значение располагается приблизительно посередине между минимальным имаксимальным числом Маха. Сравнивая рисунки 3.21 и 3.24 с результатами аналитическихрасчетов, приведенных в таблице 3.3, можно сделать следующее заключение. Критериюотсоединения при переходе РО→НО соответствует касание левой границы "толстой" полярыоси ординат (рисунок 3.23 - а), т.е. меньшее из двух чисел Маха, указанных в соответствующемстолбце. Критерию СМК при переходе РО←НО соответствует пересечение с вершинойосновной поляры левой границы "толстой поляры" (рисунок 3.23-б), т.е. к меньшему из чиселМаха, задающих диапазон неопределенности, вызванный размыванием скачка.]Рисунок 3.24 - Гистерезис на грубой сетке с 60 ячейками поперек потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
