Диссертация (1145329), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Очевидно, что момент времени,соответствующий касанию фронта ударной волны и плоской поверхности в точке А, разделяетдве области параметров задачи, в которых УВС имеют качественно различную форму. Такиемоменты называют точками бифуркации.Следующая перестройка решения (бифуркация) происходит в точке С, где регулярноеотражение ударной волны s1 от поверхности переходит в маховское отражение с образованиемтройной точки Т, тангенциального разрыва τ за ней и ножки Маха s3. Во все последующиемоменты времени перестроек решения не происходит: тройная точка перемещается потраектории W, высота h ножки Маха плавно увеличивается, угол места ζ тройной точки такжеизменяется монотонно, таким образом, решение больше не имеет точек бифуркации.!131Пример 3.
Рассмотрим отражение косого скачка уплотнения от стенки. Пусть нас будетинтересовать зависимость интенсивности отраженного скачка от интенсивности приходящего.Эта интенсивность также зависит от числа Маха набегающего потока М. Как известно (см. п.1.7), в зависимости от интенсивности приходящего скачка при заданном М, отражение можетпроисходить регулярным или маховским образом. Если в какой-то момент времени постепенноувеличивать интенсивность приходящего скачка, то интенсивность отраженного разрыва будетплавно увеличиваться. И так будет происходить до тех пор, пока вторичная поляра, выпущеннаяиз точки основной поляры, соответствующей интенсивности приходящего скачка, пересекаетсяс осью ординат.
Интенсивность отраженного разрыва вычисляется по формулам длярегулярного отражения. В какой-то момент времени, когда вторичная поляра только касаетсяоси ординат (J=JR), в соответствии с критерием отсоединения фон Неймана, осуществляетсяпереход к маховскому отражению. Интенсивность отраженного разрыва при этом меняетсяскачком и вычисляется уже по формулам для нерегулярного отражения. Таким образом, призначении параметра задачи - интенсивности падающего скачка J=JR имеет место бифуркациярешения, кроме того, эта точка является особой (касание поляр).Если в начальный момент времени отражение - маховское, и мы уменьшаеминтенсивность J приходящего скачка, то в момент, когда вторичная поляра пересекаетосновную в её вершине, как показали расчеты и эксперименты, происходит переход крегулярному отражению (критерий СМК). Скачка интенсивности отраженного разрыва непроисходит, но методика её вычисления меняется, т.е.
бифуркация решения все же имеется,хотя точка и не является особой.Теория бифуркаций изучает изменение качественной картины поведения динамическойсистемы при изменении параметров, от которых зависит система. В последние годы в теориибифуркаций наблюдается значительный прогресс, связанный с применением идей и методовобщей теории дифференцируемых отображений Уитни.Пример 4. Рассмотренное в п.2.1 образование разрыва в гладком течении идеального газане является единственным примером образования разрыва в решении.
Пусть перед нами стоитдвугорбый верблюд и мы смотрим на него сбоку под нулевым углом зрения. Контур горбовверблюда будет образован геометрическим местом точек максимума поверхности верблюда.Пусть теперь мы начнем обходить верблюда по кругу, т.е. будем изменять параметр задачиугол зрения.
Кривая точек максимумов будет деформироваться, но оставляться гладкой. Такаяфункция будет иметь три экстремума: два из них соответствуют макушкам горбов, а третий!132впадине между ними. Однако, начиная с какого - то угла обзора, функция максимумов перестаетбыть гладкой (рисунок 3.5), в решении появляется разрыв.]]Рисунок 3.5 - Появление особенности в задаче о горбах верблюда (задача о появленииразрыва в функции максимума семейства гладких функций, зависящих от параметра).Таким образом, функция максимума семейства гладких функций сама может бытьнегладкой и содержать разрывы.
Значения параметра (угла обзора в нашей задаче), при которойимеет место негладкость функции максимума, образует кривую, которая также, как в случае сударной волной, называется множеством Максвелла.3.3 Основные понятия теории особенностей УитниДля дальнейшего изложения необходимо привести базовые понятия теории особенностейУитни. Пусть в трехмерном пространстве имеется материальная точка, на которую действуетсила F, создаваемая потенциальным полем V=V(x1, x2). Тогда F = -∇V. Если F≠0, то точканаходится в движении. Если сила F=0, то точка находится в состоянии равновесия и ∇V=0.
Эторавновесие является устойчивым, если ни одно из собственных значений λi матрицыустойчивости ] Vij =∂2 Vне обращается в ноль. Говорят, что в критической точке количество∂xi ∂x jвырожденных (плохих) переменных l=0. В таких точках функция V имеет локальный минимуми он всегда устойчивый (рисунок 3.6-а). Если матрица устойчивости имеет два нулевыхсобственных значения и, соответственно, две вырожденные переменные l=2, то точкеравновесия соответствует локальный максимум и он всегда неустойчивый (рисунок 3.6-б).Наконец, если вырожденных переменных одна (l=1), то положению равновесия соответствуетточки типа "седло" (рисунок 3.6-в).!133]]а)б)]в)Рисунок 3.6 - Устойчивый минимум (а) при количестве "плохих" переменных и параметровl=0, неустойчивый максимум (б) при l=2 и "седло" (в) при l=1.Теорема Морса [ 208] гласит, что в окрестности критической точки любая функция‑подходящей заменой переменных может быть представлена в виде квадратичной формы] V = ∑ λi yi2 , где y - новые переменные.i=1В рассматриваемом нами случае трехмерной поверхности i=2.
Если функция зависит ещеи от нескольких параметров аi, то матрица устойчивости и её собственные значения также будутзависеть от этих параметров, в том числе при некоторых значениях ai собственные значениямогут обращаться в ноль. Тогда все n управляющих параметров можно разбить на l "плохих",при которых собственные значения обращаются в ноль, и k=n-l "хороших".!134Теорема Тома [209] гарантирует, что существует такая гладкая замена переменных, что в‑окрестности критической точки потенциальная функция может быть записана в каноническойформеn] V = CG(l) + ∑ λi yi2 =CG(l) + P(l, k) ,(3.1)i=l+1где CG называют ростком катастрофы или просто ростком, P - возмущение.В трехмерном пространстве могут существовать ростки катастроф типа Аk+1, зависящие отодной переменной x, и типа Dk+1, зависящие от двух переменных x1 и x2 (будем в дальнейшемобозначать их x и y).
Вид возмущения зависит от количества параметров ai, от которых зависитфункция V.Тип ростка катастрофы определяется количеством "хороших" невырожденныхпеременных k из общего числа n переменных и параметров, а их выражение задаетсяформулами Аk+1=± xk+2 + a1xk + … +akx, Dk+1 = x2y ± yk + a1x + a2y+ … akyk-1.В рассмотренной выше задаче об особенностях проецирования поверхности (задача оверблюде) для существования особенностей должна быть хотя бы одна невырожденная"хорошая" переменная или параметр. Тогда в трехмерном пространстве могут существоватьканонические особенности (катастрофы), приведенные в таблице 3.1.За характерный вид катастрофа А2 получила название складка, А3 - сборка, А4 - ласточкинхвост, А5 - бабочка, D4+ — кошелёк (гиперболическая омбилика), D4— - пирамида(эллиптическая омбилика), D5 — параболическая омбилика.
А1 обозначает локальныйэкстремум (устойчивый минимум или неустойчивый максимум, k=0). Как будет показанодальше, перестройки УВС всегда сводятся к катастрофам, приведенным в таблице 3.1.Таблица 3.1 - Канонические элементарные катастрофы ТомаТипкатастрофыК-во "хороших"переменных и параметров kРосток катастрофыВозмущениеА21x3a1xА±32±x4a1x + a2x2А43x5a1x + a2x2 + a3x3А±54±x5a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4D-43x2y - y3a1x + a2y + a3y2D+43x2y + y3a1x + a2y + a3y2D54x2y + y4a1x + a2y + a3x2 + a4y2в предположении, что начальное условие — гладкая функция общего положения, а гамильтониафиксирован. Это означает, что нас интересуют!135только особенности и перестройки, устойчивыотносительно любых достаточно малых возмущений гладких начальных условий, но не фиксир3.4 Допустимыеперестройки ударныхволн и ударно-волновыхванного гамильтониана.Другие особенностии перестройкиможно «убить»структурпроизвольно малывозмущением начального условия.îîОказывается,что в типичныемоменты времениударнаяв волнаположенияимеет осЭкспериментируяс описаннымивыше (рис.2.8п.2.3) общегопараболоидамифункциибенности из конечного списка и подвергается перестройке в отдельные моменты времени.
Для иминимума,Богаевскийпоказал [210], что длятипичныхначальныхфункцийC0 возможныописаниярассмотримтак называемуюмировуюударнуюволну,лежащуюв пространстве-времени образованнуюточками,в которыхкончаютсяили болеенатраектории;рассматриваемыевыперестройкимножестваМаксвеллаиз списка,двеприведенногорисунках 3.7-3.9.Возможныеше ударные волны или мгновенные ударные волны — это в точности сечения мировых ударнынаправления перестроек показаны стрелками.
Возникает вопрос, а все ли эти перестройкиволн изохронами t = const. Число топологически различных перестроек общего положения такжреализуютсяс ударными волнами в физическом пространстве? Оказалось, что нет.оказываетсяконечным.Рисунок 1 иллюстрирует хорошо известный случай d = 1. Мгновенная ударная волна состоииз изолированных точек, а мировая ударная волна — кривая на плоскости, имеющая регулярнытройные и концевые точки. Все эти возможности указаны во второй строке. В типичные моментвремени мгновенная ударная волна может подвергаться перестройкам, изображенным на рис.черными стрелками. А именно, любая тройная точка мировой ударной волны дает пару точемгновенной ударной волны, а концевая точка мировой ударной волны порождает новую точкмгновенной ударной волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
