Диссертация (1145329), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Исследованы критерииперехода от регулярного отражения к нерегулярному: критерий фон Неймана, а также критерийстационарной маховской конфигурации. Построены графики зависимостей особыхинтенсивностей падающего скачка, соответствующих этим двум критериями перехода отрегулярного отражения к нерегулярному. Продемонстрирована область неоднозначностирешения, в которой условиями динамической совместности не запрещается и регулярное, имаховское отражение. Описаны области, в которых переход от одного типа отражения к другомувозможен только скачком, а также области возможного плавного перехода.
Построены графикизависимости величины этого скачкобразного изменения интенсивности отраженного разрыва отинтенсивности падающего скачка. Представлены зависимости интенсивности отраженногоразрыва от интенсивности падающего на стенку скачка для всех типов отражений.Рассмотрена также задача о взаимодействии встречных скачков уплотнения. В некоторомсмысле данная задача является обобщением случая отражения косого скачка от стенки или отплоскости симметрии.
Для случая несимметричного отражения встречных скачков описаныкритерии перехода от регулярного отражения встречных скачков к нерегулярному: критерийфон Неймана, а также критерий стационарной маховской конфигурации. Представленызависимости интенсивности отраженных скачков от интенсивности взаимодействующихвстречных скачков. Представлены качественные картины ударно-волновых структур,возникающих при взаимодействии встречных скачков уплотнения. Рассмотрена задачаконструирования оптимальной УВС.3.1 Геометрическая теория трансформации ударных волнРазработанная В.Н.Усковым теория интерференции газодинамических разрывов отвечаетна вопрос о выполнимости УДС для тех или иных УВС.
Выполнение УДС являетсянеобходимым, но недостаточным условием для существования структурно устойчивой УВС.Задача исследования устойчивости УВС и допустимости их трансформации во времени!127осталась до настоящего времени нерешенной. Очевидно, что некоторые УВС, для которыхудовлетворяются УДС, разрушаются при малом возмущении начальных условий, т.е. являютсяструктурно неустойчивыми.
Имеются области, когда при заданных параметрах существует дваи более решения, отвечающих разным УВС. УДС и ДУДС позволяют составить полныйперечень возможных конфигураций взаимодействующих ГДР, а также исследовать области ихсуществования, но они ничего не могут сказать о структурной устойчивости и возможныхперестройках УВС при изменении параметра (например, интенсивности разрыва J).Данной проблеме были посвящены исследования советских математиков научной школыВ.И.Арнольда.
В его постановочной работе в 1976 г. [ 190] был сформулирован подход к‑изучению ударных волн и волновых фронтов как особенностей гладких отображений.Отображение, например, проецирование L трехмерной интегральной поверхности Е наплоскость B (рисунок 2.1), называемое лагранжевым, может иметь особенности икритические точки (точки, в которых обращается в бесконечность одна из производныхповерхности Е). Критические точки образуют критическое множество на поверхности.Проекция множества критических точек называется каустикой отображения.
Анализ каустиквходит в теорию лагранжевых особенностей [191], которая рассматривается в работах‑Гукенхеймера [192] и Вейнстейна [193], и является теорией подобной обычной теории‑‑особенностей Уитни [194] - Тома [195] - Мозера [196].‑‑‑]L-лагранжево отображение (проецирование поверхности на плоскость), E-многообразиегазодинамических переменных, B-плоскость (база, на которую проецируется многообразие).Рисунок 3.1 - Каустика гладкого отображения.!128В природе реализуются особенности и перестройки, устойчивые относительно любыхдостаточно малых возмущений гладких начальных условий. Другие особенности и перестройкиявляются структурно неустойчивыми и на практике не реализуются.
В.И.Арнольдом данаклассификация особенностей и критических (особых точек, в которых какая-либо изпроизводных обращается в ноль или бесконечность) точек дифференцируемых отображений[197; 1982]. На её основе И.А.Богаевским [198 ;1986] выполнена классификация допустимых‑‑трансформаций ударных волн уравнения Бюргерса. Решения были в середине 90-х годовобобщены В.И.Арнольдом [199; 1996], [200; 1997].‑‑Особенности функций минимума семейств общего положения (рассматриваются в пункте2.5), зависящих от небольшого числа параметров, исследованы Брызгаловой в [201 ; 1977] и‑[202; 1978].
На связь данной задачи с ударными волнами впервые обратили внимание С. Н.‑Гурбатов [ 203; 1984] и А. И. Саичев [204; 1984]. Ю.М.Барышников показал [205 ; 1990], что при‑‑‑любых начальных условиях гомотопические типы дополнений мгновенной ударной волны вмомент перестройки и сразу после нее совпадают, что позволило ему сформулировать теоремуо допустимых перестройках ударных волн, каустик и волновых фронтов.В.И.Арнольд показал, что в типичные моменты времени ударная волна общего положения(обычная ударная волна) имеет особенности из конечного списка [206; 1991], подвергается‑перестройке в отдельные моменты времени (точки бифуркации) и количество видов этихтрансформаций также известно.
И наконец, в статье И.А.Богаевского [207; 2002] на основе‑ранее выполненных советскими и российскими математиками работ дана полнаяклассификация допустимых перестроек разрывов в потенциальных решениях уравненияБюргерса. Перестройки волновых фронтов и ударных волн, приведенные в данной статьеИ.А.Богаевского, исчерпывают все возможные виды интерференции одномерныхнестационарных волн и двухмерных стационарных и нестационарных волн и разрывов.Аналогичным образом может быть введена и классификация трехмерных стационарных инестационарных волн.Значение данного факта трудно переоценить. В классической теории газодинамическихразрывов все решения следуют из законов сохранения.
Решений может быть несколько и дляотбора того решения, которое реализуется физически, необходимо привлекать дополнительныесоображения. Геометрическая теория особенностей не только позволяет это сделать, но иучитывает направление изменения параметра, от которого зависит трансформация волновыхструктур (гистерезис), а также фиксирует механизм, определяющий момент перестройки.!1293.2 О связи теории особенностей Уитни в задачах с параметром и перестроекударных волн и ударно-волновых структурНачнем рассмотрение теории особенностей с нескольких примеров, связанных, так илииначе, с ударными волнами и их перестройками.Пример 1. Пусть на некоторой высоте в атмосфере летит со сверхзвуковой скоростьюлетательный аппарат. Тогда он будет создавать коническую ударную волну (рисунок 3.2).
Еслиподстилающую поверхность считать плоской, то ударная волна будет оставлять на ней след,представляющий собой пересечение конуса и плоскости (показан на рисунке 3.2 желтымцветом).]Рисунок 3.2 - Образование следа (желтая кривая) ударной волны (черные кривые) отсверхзвукового самолета на плоской поверхности (показана зеленым цветом).При заданной скорости и высоте полета этот след будет иметь неизменную форму. Дажеесли изменить высоту полета, то форма не изменится, изменятся лишь размеры следа. Приплавном увеличении скорости угол конуса ударной волны будет уменьшаться также плавно, чтобудет приводить к плавному изменению формы следа, но никаких топологических измененийпроисходить не будет, никаких особенностей на кривой следа появляться не будет.Пусть теперь подстилающая поверхность не плоская, а задана гладкой функцией z=z(x, y).В задаче появляется параметр - путь, который преодолел летательный аппарат.
Путь, дляопределенности, может отсчитываться вдоль одной из координат (x, y). Тогда, очевидно, что взависимости от длины пройденного пути, т.е. по мере перемещения летательного аппарата потраектории, след от фронта ударной волны на неровной поверхности может подвергатьсявесьма причудливым перестройкам, в том числе и с образованием точек самопересечения,петель и "бантиков" (рисунок 3.3, [200]), т.е. на кривой следа могут появляться особенности.Изучением подобных особенностей, их появлению и исчезновению посвящена теорияособенностей гладких отображений, разработанная Уитни и развитая Тома, Пуанкаре иАрнольдом.!130]Рисунок 3.3 - Примеры сложных перестроек следа ударной волны на местности [200].Пример 2. Рассмотрим теперь другой пример.
Пусть на некоторой высоте Н над плоскойповерхностью произошел точечный взрыв (рисунок 3.4). Тогда от центра взрыва О будетраспространяться сферическая ударная волна s1. Поначалу трансформация ударной волны будетпроисходить плавно, радиус волны R увеличивается с течением времени.]Рисунок 3.4 - Сферический взрыв.Так будет до тех пор, пока ударная волна не достигнет точки А на поверхности. Начиная сэтого момента, появляется отраженная ударная волны s2. Таким образом, мы будем иметь инуюкартину течения - регулярное отражение фронта ударной волны от плоской поверхности собразованием в точке В отраженного разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
