Диссертация (1145329), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Эти две перестройки и исчерпывают все перестройки общего положния; любая другая перестройка может быть «убита» произвольно малым возмущением начальног]]условия. ]. 2tt. 2,,,,. 1. 1..ît.î.,t.,,-,î-----î,,]-.,,.. 2.. 2.].. 2,.,-,]-РИС.−1.- траекторияОсобенностимировыхволнна плоскостии перестройки,волны, ● - ударныеударныхволн,,,○ударных- рождениеударнойволны,. ⦿точка1 -мгновенныхударныхволннапрямой.перестройки(интерференции) ударных волн, ⇧⇩- нереализуемые направления перестройки,.. 2.ˣ - dреализуемыенаправленияРисунок 2 иллюстрирует случай= 2. Мироваяударнаяперестроек,волна — это поверхность с особенност66.66 строке.
Мгновенная ударная ,волна — это кривами; все этиособенностиизображеныво второйРисунок3.7 - Особенноститраекторийударных волн на плоскости координата-время икоторая может иметь тройныеи концевыеточки ударных— те жеволнособенности,перестройкимгновенныхна прямой. которые имеют мировыударные волны в случае размерности d = 1. В. типичные моментывремени других особенносте,нет, но они встречаютсяв отдельныевремени.мгновеннаяударнаяволна мГурбатов и Саичевпоказали,моментычто не всеперестройкимножестваМаксвелласемейства, А именно,жет подвергаться перестройкам,изображеннымнарис.2чернымистрелками.(Стрелкис двум,функций минимумаимеют свой эквивалент в физическом пространстве [211 ]. Допустимые наконечниками.
изображают перестройки, не меняющиеся при изменениинаправлениявремени.,перестройкиисчерпываютобусловлены выпуклостьюограниченияпространствоимпульсовЭти 9 перестроеквсе перестройкиобщегонаположения;любаядругаяфункцииперестройкубиваетсяпроизвольномалымвозмущениемначальногоусловия.Гамильтона H(p,q), определяющее соответствующее уравнениеГамильтона-Якоби (для,Рисунки 3, 4 и 5 иллюстрируют случай d = 3. В этом случаеневозможно нарисовать осГамильтонаэто лежат- p2/2, гдеp - импульс).
В пространстве-временрезультате, были бенностиуравнениямировыхБюргерсаударныхфункцияволн,посколькуонив четырехмерном. 2Мгновеннаяударная волнасобой поверхность,котораяможет иметьусловияособенностсформулированыдве представляеттеоремы, определяющиенеобходимыеи достаточные,происходящие из особенностей мировых ударных волн в рассмотренной выше размерности d =66,. 1реализуемостив временифизическомпространствемножествВ типичныемоментысновадругих перестроекособенностейнет, Максвелла:но они встречаются в отдельны.. 2.моменты времени. А именно, мгновенная ударная волна- может подвергаться перестройкам,п,казанным на рис. 3, 4 и .
5 черными стрелками. Этиисчерпываютвсе перестройк., 26 перестроекобщего положения; любая другая убивается произвольно малым возмущением начального услови‑!136Теорема Богаевского. Локальная ударная волна, рожденная в момент перестройки, вследующий момент стягиваема в некоторой окрестности точки перестройки.Теорема Барышникова. Гомотопический тип дополнения к ударной волне сразу жепосле момента перестройки такой же, как и в момент перестройки.Такие перестройки показаны на рисунках 3.7-3.9 черными стрелками. Рассмотримвозможные перестройки подробнее.
Начнем с самого простого одномерного случая (рисунок3.7). В заголовке таблицы указан тип особенностей, нижний индекс - класс катастрофы изтаблицы 2.1, верхний - количество катастроф, участвующих в перестройке. Как этиособенности образованы показано на фрагментах рисунка в верхнем ряду. В первой строкетаблицы приведены траектории ударных волн в 2-D пространстве "координата - время" иособенности этих траекторий. Во второй строке показаны мгновенные ударные волны (черныеточки - ●) и точка их интерференции (перестройки - ⦿).Видно, что две ударные волны, слившись, могут образовать одну результирующую волну(столбец 2), но одна волна не может распасться на две, ударная волна может зародиться внутригладкого течения (концевая точка ○ в третьем столбце), но не может погибнуть.
Напомним, чтонестационарному движению ударной волны соответствует стационарная ударная волна впространстве с размерностью на единицу больше. Отсюда следует вывод, что в плоском случаевозможно образование висячей ударной волны и тройных конфигураций ударных волн. ВсеПЕРЕСТРОЙКИ УДАРНЫХ ВОЛН В ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИвозможные перестройки для 2-D пространства приведены на рисунке 3.8.!Рисунок 3.8 - Перестройки ударных волн для 2-D пространства.РИС. 2. Особенности мировых ударных волн и перестройки мгновенных ударныхволн на плоскости.!137В 2-D пространстве ударные волны представляют собой линии.
При движении они"заметают" поверхности, показанные в первой строке таблицы на рисунке 3.8. Видно, что приизменении параметра из криволинейных ударных волн могут образовываться УВС с тройнымиПЕРЕСТРОЙКИ УДАРНЫХ ВОЛН В ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИточками5(столбец 2), могут рождаться висячие ударные волны, имеющие концевую точку(столбец 3), тройные точки могут образовываться из регулярного пересечения ударных волн(столбец 4) и при взаимодействии висячего скачка уплотнения с криволинейной ударной волной(столбец 5), также они могут "погибнуть" с образованием криволинейной ударной волны(столбец 5). Никакие иные УВС в 2-D пространстве образовываться не могут. Например,треугольник (столбец 4) при изменении параметра стягивается в тройную УВС, т.е.
исчезает, новозникнуть он из неё не может.Отсюда следует важнейший вывод: при любых изменениях параметров могутобразовываться только УВС, состоящие из точек с двумя приходящими разрывами и двумяисходящими, а также тройных точек. Никакие иные УВС существовать не могут, т.к. при маломвозмущении начальных условий они распадутся на две типичные УВС. На рисунке 3.9РИС. 2. Особенности мировых ударных волн и перестройки мгновенных ударныхволнперестройкина плоскости.приведенытрехмерных ударных волн.6И.
А. БОГАЕВСКИЙ]РИС. 3. Перестройки мгновенных ударных волн в пространстве (начало).Благодарности. Настоящая работа написана после конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2002). Автор благодарен А. А. Давыдову — организаторуэтой конференции за очень полезные обсуждения и некоторые замечания.1.1. Задача оптимального управления.
Рассмотрим следующую классическую задачу оптимального управления со свободной начальной точкой на многообразии X d размерности d ! 3:⎧% t⎪⎪Fx,t [u],Fx,t [u] = ϕ0 (x(0)) +L(u(τ ), x(τ ), τ )dτ,⎪⎨ ϕ(x, t) = minu0(1)ẋ(τ ) = v(u(τ ), x(τ ), τ ),⎪⎪⎪⎩x(t) = x,]Рисунок- Перестройкиударныхволн3-D пространства.где начальное условиеϕ03.9гладко(всюду в этойстатьетермин«гладкость» означает бесконечРИС.
4. Перестройки мгновенных ударных волн в пространстве (продолжение).ную дифференцируемость), u : [0, t] → U — непрерывная траектория в пространстве управляющихпараметров, а функция x : [0, t] → X удовлетворяет заданным дифференциальному уравнению и начальному условию. Решение ϕ рассматриваемой задачи оптимального управления (1) есть функцияот конечной точки x ∈ X и времени t ∈ R.РИС. 4. Перестройки мгновенных ударных!138 волн в пространстве (продолжение).]Рисунок 3.9 (Продолжение) - Перестройки ударных волн 3-D пространства.РИС.
5. Перестройки мгновенных ударных волн в пространстве (окончание).По определению,мироваяударнаяволна S̄ —замыкание множествав которыхкон3.5 ПерестройкаУВСпри переходеотэторегулярногоотраженияточек,косогоскачка отчаются две или более минимальных траекторий:стенки к маховскому и обратно в условиях гистерезисаS = {(x, t) ∈ X × R | ∃ u1 ̸≡ u2 : ϕ(x, t) = Fx,t [u1 ] = Fx,t [u2 ]} .Сечения S̄t∗ = S̄ ∩ {t = t∗ } мировой ударной волны изохронами называются мгновенными ударнымиволнами,исследованиякоторые могут подвергатьсяперестройкам(= переходам,иливкладмета- вИсториякритериев переходамеждуРИ и МИ.бифуркациямНаибольшийморфозам) с течением времени t.изучениефеноменагистерезисаисследованиедвух критериевперехода от РИ к МИ и обратноРассмотримгамильтонианэтойи задачиоптимальногоуправления:{p · v(u,x, t) −[L(u,t)} . отметить их совместнуюt) =внесли сотрудники ИТПМ H(p,[212,x,213], maxаuтакжеБен-Дор214 ].x,Стоит‑‑‑Предположим,что выполненыследующиеусловия: случаи взаимодействия встречных скачков иработу[215], в которойизучалисьасимметричные‑• гамильтониан H : T ∗ X × R → R — гладкая функция;были• изложенывсе основные факты,задача Коши⎧ известные на тот момент.
В этих работах было показано,⎪ ṗ(τ ) = −Hx (p(τ ), x(τ ), τ ),⎪что гистерезис существует как при⎪изменении угла клина, так и при изменении числа Маха.⎨ẋ(τ ) = Hp (p(τ ), x(τ ), τ ),(2)Но и в численных, и физическихмоменты переключения от РИ к МИ и⎪ p(t)экспериментах= p,⎪⎪⎩x(t) = xобратно заметно отличались от теоретическихзначений, предсказываемых критериямидля гамильтоновых уравнений имеет единственное решение на отрезке [0, T ], T > 0, для∗ X и t ∈ исследованияотсоединенияи СМК,были продолжены.[0, T ].любых (p,x) ∈ TпоэтомуВ докторской диссертации Е.И.Васильева [216] гистерезис исследован численным‑методом с выделением разрывов. Показано, что увеличение густоты разностной сеткиприближает численные результаты к результатам, полученным аналитически в соответствии скритериями отсоединения и СМК.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
