Диссертация (1145329), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Однако не было определено, сходится ли решение кпредсказанному теорией или к какому - то другому. Кроме того, в ряде расчетов при помощиконсервативных разностных схем получен парадоксальный результат - переход от РИ к МИпроисходил ниже линии, соответствующей критерию фон Неймана. Но в этой области условиядинамической совместности, полученные из законов сохранения, запрещают существованиеРИ, а условие консервативности разностной схемы подразумевает строгое выполнение законовсохранения.
Стало очевидно, что на результаты численного решения существенно влияетсхемная вязкость и порядок аппроксимации используемой в расчетах разностной схемы.!139В диссертации Д.В.Хотяновского [217] явление гистерезиса было исследовано с помощью‑разностных схем ENO и WENO повышенного класса точности. Полученные результатыдемонстрируют более узкий диапазон гистерезиса, чем предсказывает теория.
И еслипереключение от МИ к РИ располагается близко от кривой, соответствующей критерию СМК,то отличие при переходе от РИ к МИ в соответствии с критерием отсоединения намногобольше.Исследования Д.В.Хотяновского нашли свое развитие в докторской диссертацииА.Н.Кудрявцева [218], в которой численный метод, математическая модель и описание самого‑явления приведены наиболее полно. Исследованы случаи как симметричного, так иасимметричного взаимодействия встречных скачков. Изучено влияние скорости измененияпараметров взаимодействия на ширину зоны гистерезиса.
Экспериментально подтвержден фактналичия гистерезиса в области двузначности решения. Показано, что искривление скачковуплотнения при быстром изменении угла клина приводит к существенному влиянию на ширинуобласти гистерезиса. Вопрос о влиянии скорости изменения числа Маха при фиксированномугле клина не изучался.И наконец, в диссертации Г.В.Шоева [219] исследовано влияние размытия скачков на‑решение задачи об их интерференции.
Для этого использован прямой метод статистическогомоделирования решения кинетического уравнения Больцмана. Показано, что размытие скачковв результате действия схемной или физической вязкости приводит к размыванию ударныхполяр, при этом основная и вторичная поляры заменяются некоторой огибающей. В результатерешение, соответствующее пересечению поляр, смещается в точку, в которой происходитперегиб огибающей.Таким образом, проведенные ранее исследования подтвердили наличие гистерезиса иблизость получаемых в численных расчетах и экспериментах моментов перехода РИ ↔ МИ кпредсказанным теорией значениям.
Выявлено влияние схемной и физической вязкости наширину зоны гистерезиса.Остались открытыми вопросы выбора критерия перехода РИ ↔ МИ и определенияпричин существования гистерезиса. Данная задача эквивалента задаче отбораправильного решения в условиях множественности решений.Принцип Максвелла и принцип максимального промедления. В п.2.1 обсуждалсявопрос о поведении динамической системы в условиях неоднозначности. Было показано (рис.2.4), что переключение с одной ветви решения на другую возможно в соответствии с двумя!140стратегиями: принципом Максвелла и принципа максимального промедления. Напомним, чтоударная волна представляет собой множество Максвелла многообразия критических точек поля,описываемого уравнениями Эйлера.Рассмотрим теперь пример, в котором реализуется принцип максимального промедления.Пусть на плоскости x-y определено поле с силовыми линиями параллельными оси x (рисунок3.10-а).
Пусть s-образная кривая r на рисунке 3.10 задает множество аттракторов, к которымсиловым полем притягиваются точки. Этот процесс показан на рисунке 3.10-а стрелками.]]а)б)Рисунок 3.10 - Иллюстрация реализация принципа максимального промедления на примереосциллятора Ван дер Поля с нулевым (а) и ненулевым (б) сопротивлением.Простейшим примером системы, имеющей подобное поведение, является осциллятор ВанДер Поля, который задается уравнением] x! = y − x 3 + x, y! = −ε x .(3.2).Если параметр ε мал и ε>0, то система быстро движется (релаксирует к аттрактору) понаправлению x вдоль стрелок на рисунке 3.10-а и медленно движется вдоль кривой состоянияравновесия r (рисунок 3.10-б).
Говорят, что x - быстрая переменная, а y - медленная. Если ε=0,то y превращается в постоянный параметр, и поведение системы такое, как на рисунке 3.10-а. Вточках кривой r, где касательные вертикальны (производные обращаются в бесконечность),система совершает быстрые скачки. Тогда трехмерная поверхность будет состоять из двухлистов (1 и 2 на рисунке 2.4-б). Критическое множество в данном случае будет образованодвумя краями (3 и 4 на рисунке 2.4-б), которые проецируются в каустику 6, внутри которойможет быть два решения.
В остальной области 5 реализуются регулярные решения. Поведениесистемы определяется тем, на каком листе поверхности мы находимся, на верхнем или на!141нижнем. Движение по соответствующему листу продолжается вплоть до края 3 на верхнемлисте или края 4 на нижнем, т.е. пока соответствующее положение равновесия существует.Поэтому принцип и назван принципом максимального промедления, т.е. система движется поповерхности, пока есть такая возможность или не встречается особенность в виде края.Как будет показано далее, переход от регулярного отражения скачка от стенки кмаховскому определяется именно принципом максимального промедления, а обратныйпереход от маховского отражения к регулярному происходит в соответствии с принципомМаксвелла.Дадим этим фактам толкование с точки зрения теории допустимых перестроек ударныхволн (см.
п.3.4).Метод отбора правильного решения в условиях множественности решений.Рассмотрим сначала переход МО→РО. Напомним, что в п.3.4 были приведены теоремыБогаевского и Барышникова, запрещающие перестройки, при которых меняется типтопологического дополнения к ударной волне или рождается новая ударная волна,нестягиваемая в окрестности точки, в которой она рождается.
На рис.3.11 показаны решения наударных полярах, для которых J1 последовательно уменьшается в направлении от 3.11-а к г.]]а)]б)]в)г)Рисунок 3.11 - Переход от маховской интерференции (а-в) к регулярной (г) всоответствии с критерием СМК.Можно задать вопрос - почему переход к РО не осуществляется при касании второйполяры оси координат (сразу за рис.3.11-б)? Дело в том, что в этот момент существует вариант,соответствующий плавной трансформация ТК с постепенным изменением высоты и угланаклона ножки Маха. Обе теоремы выполняются.
Перестройка же при касании оси ординатзапрещена, т.к. рождающаяся ударная волна, регулярным образом отражающаяся от стенки,нестягиваема в окрестности этой точки. Следовательно при дальнейшем уменьшенииинтенсивности приходящего скачка сохраняется МО, хотя вторая поляра пересекает осьординат в двух точках (рис.3.11-в).!142На рис.3.11-г вторая поляра пересекает первую в её вершине. В соответствии с критериемСМК в этот момент должен происходить переход МО→РО. Такая перестройка не запрещена,т.к. все волны стягиваемы в точку, топологический тип не меняется. Можно задать вопрос - апочему точка пересечения не может перейти на левую ветвь основной поляры и продолжитьотражаться от стенки маховским образом? Дело в том, что при этом происходит изменениенаправления разворота потока на главном скачке, т.е.
тройная конфигурация меняет тип с ТК-2на ТК-1, следовательно, меняется топологический тип, а это запрещено теоремой Барышникова,хотя все волны и стягиваемы в точку.Таким образом, принцип Максвелла (см. рис.2.7 п.2.2) можно переформулировать длятеории ударных волн следующим образом - если существует два варианта перестроек(трансформаций) УВС: одна запрещенная, а другая разрешенная, то следует выбиратьразрешеннуюп е р е с т р о й к у, с и с т ем а п р и э т ом д ол ж н а п р о й т и ч е р е з"хорошую" (невырожденную) критическую точку, совокупность которых и составляютмножество Максвелла. В рассмотренном случае - это точка пересечения второй поляры спервой в её вершине.Обратимся теперь к переходу РО→МО при увеличении интенсивности приходящегоскачка (рис.3.12).21]Рисунок 3.12 - Переход от регулярной интерференции (точка 1) к маховской ( точка 2) всоответствии с критерием отсоединения фон Немана при Λ=ΛR.В данном случае никаких опережающих событий, как в случае касания второй поляры сосью ординат на рис.3.11-б, не происходит и ничто не мешает осуществиться принципумаксимального промедления.
Система движется от состояния 1 на рис.3.12 к состоянию 2, покавторая поляра не перестанет пересекаться с первой полярой. Возникает вопрос - что мешает!143системе переключиться на МО в момент пересечения второй полярой вершины первой поляры?Это запрещено, т.к. при этом меняется топологический тип - рождается ножка Маха, т.е. новоедополнение к ударной волне. Но разве не то же самое происходит при переходе МО→РО всоответствии с критерием СМК? Нет, не то же самое. Тогда у нас ножка Маха "умерла", а непоявилась. Топологический тип не изменился, просто высота ножки стала равна нулю.Возникает еще один вопрос.
При отсоединении второй поляры от оси ординат топологическийтип УВС также меняется (появляется тройная точка). Главная и отраженная ударные волны нестягиваемы в точке перестройки (интенсивности ударных волн меняются скачком). Почемутогда такая перестройка не запрещена? Дело в том, что отсутствует альтернативнаяразрешенная трансформация или перестройка. При достижении в соответствии с принципоммаксимального промедления предельной точки на гиперповерхности пространствагазодинамических переменных система теряет устойчивость и скачком в направлении "быстройпеременной" (в данном случае - это время t) переходит в новое состояние.
В нашем случае это переход к маховскому отражению.О вычислительном парадоксе. Как отмечалось выше при обзоре проблемы гистерезиса,иногда в численных расчетах получаются парадоксальные результаты. Даже при условииприменения консервативных разностных схем, для которых требуется строгое выполнениезаконов сохранения, бывают случаи, когда численные результаты предсказывают РО, а условиядинамической совместности РО запрещают.Такие расчеты выполняются обычно методомустановления, т.е. в систему вводится фиктивное "машинное" время. Расчеты ведутсяитерационно с переменным шагом по "машинному" времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
