Диссертация (1144795), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Полная свободная энергияжидкости Us [13] прямо пропорциональна количеству молекул в поверхностном слое и, следовательно, прямо пропорциональна площади А свободнойповерхности жидкости эквивалентная сумме энергии трех граничных фаз(жидкость − подложка, жидкость – пара и подложка – пар);U S   ls Als   sv Asv   lv Alv ,(3.51)где γ и А – представляет поверхностное натяжение и площадь поверх-ности на фазовой границе; γlv – поверхностное натяжение на границе жидкость-пар; γsl – поверхностное натяжение на границе твердая подложкажидкость и γsv – поверхностное натяжение на границе твердая подложка-пар.Дифференцируя это выражение по времени и учитывая равенство площадей поверхности на границе подложка – пар и подложка – жидкость приходим к скорости изменения поверхностной потенциальной энергии капли со135временем:dU SdAdA   sl   sv  C   lv S .(3.52)dtdtdtДля однородной, твердой и гладкой твердой поверхности подложки поверхностные натяжения могут быть связаны через уравнение Янга: lv cosc   sv   sl ,(3.53)θс – равновесный КУ капли с подложкой, который в общем не равендинамическому КУ θ.Из (3.47) следует:dACdR 2 R ,dtdtПоэтомуdASdRdH ( ). 2 H ( ) 2 RdtdtdtdU SdRd  2 R lv 1 ( ) R2 ( )  ,dtdtdt 1  cos1  cos.1 ( )  2 cos(c ), 2 ( ) sin sin 2 (3.54)(3.55)Потенциальная энергия капли жидкости.

В качестве потенциальнойэнергии капли жидкости считаем энергию капли в поле тяжести, отсчитываемая, например, от уровня поверхности стекла. Ее изменение ΔUg происходитза счет изменения массы капли Δm при испарении, которая зависит от двухпеременных, полной массы капли и изменения положения центра масс каплиΔz, что описывается уравнением:U g  g  m  m  z  z   mz   g  mz  mz  zm  ,(3.56)где g – гравитационная постоянная, z – положение центра масс капли.В оценке этой величины пренебрегли эффектами плавучести в силусущественного различия в плотности между каплей и окружающей средой.Поделив в (3.56) обе части уравнения на Δt и переходя к пределу при Δt →0получим:dm  dz.  g m  z(3.57)dtdt  dtПолагая что скорость потери массы каплей при испарении нам известdU gна, а также определяя массу капли вначале испарения m0, ее начальный ради-136ус R0, g – ускорение свободного падения (9.81 м/с2), ρ – плотность жидкостии положение центра масс z для сферической капли получим:4  1  cos 1Rm  V   R3 ( ), z   ( ),  ( ) ,34 2  cos  sin 2dmdV  R 2  d ( )dR R3(),dtdt3 dtdt dz  ( ) dR R d  ( ).dt4 dt 4 dt(3.58)(3.59)Скорость изменения потенциальной энергии Ug со временем:dU gdt gR3 12dRd  43 ( ) dt  R 4 ( )  5 ( )  dt  ,3 ( )   ( )  ( ), 4 ( )   ( )3 1  cos sin 4 2,(3.60) 6  3cos  4cos   . ( )   ( )25 2  cos 2 sin 2 Энергия, теряемая каплей при испарении.

Потери энергии из каплив результате конвективного переноса сопровождается уменьшением энтальпии в рассматриваемом объеме [13; 157]. В нашем случае, энергия, теряемаякаплей при испарении в окружающее пространство за счет потери массы Δmопределяется энтальпией и кинетической энергией молекул пара, теряемойпри испарении:v2 U evap  m  H T0    ,(3.61)2где H(T0) – энтальпия капли при равновесной температуре T0 и v ско-рость испарения.

Считаем скорость малой величиной v2 ≈ 0, заменяем энтальпию в соответствии с ее определением:PU evap  m u T0    ,(3.62)где Р – давление внутри капли и u(T0) – ее внутренняя энергия. В общем случае h и u являются функциями как давления, так и температуры, однако, для несжимаемой жидкости, зависимостью от давления можно прене-137бречь.В таком случай разность давлений будет равномерным по всей капле иопределяется формулой:2 lv sin( ) P0 .(3.63)RПодставив уравнение (3.63) в (3.62) и поделив обе части полученногоPуравнения на Δt и переходя к пределу при Δt →0 получим уравнение скорости изменения энергии при испарении в зависимости от времени:2  ( ) P0  dm  u (T0 )  lv 6 , 6 ( )  sin( ).(3.64)dt R  dtПолная внутренняя энергия капли жидкости. По аналогии с предыdU evapдущим рассмотрением полная внутренняя энергия капли определяется каксумма компонент энергии взаимодействия и кинетической энергии движенияее молекул [45; 40].

В принципе полная внутренняя кинетическая энергиякапли может быть оценена путем интегрирования профиля скорости движения молекул по объему капли, как это делается в других моделях ОЭБ [198;367].Анализ порядка величины полной внутренней энергии в этих работах,показал, что энергией взаимодействия молекул можно пренебречь, что характерно для большинства примеров гидродинамики испаряющихся капель.В нашем случае мы пренебрегаем энергией взаимодействия молекул, оставляя только энергию движения молекул. Поэтому изменение полной внутренней энергии капли в случае, когда температура системы остается постоянной,определяем, как:U sys   m  m  u (T0 )  m  u (T0 )   m  u (T0 ) .(3.65)Поделив в (3.65) обе части уравнения на Δt и переходя к пределу при Δt→0 получим:dU sysdm.(3.66)dtdtДиссипация механической энергии капли жидкости, связанная с u (T0 )работой вязких сил.

Потери энергии Wv, связанные с работой вязких сил (Fv)138при моделировании процессов испарения в коллоидных растворах рассматривались в работах [247; 256]. Показано [277], что для медленного процессаиспарения гидродинамические потери за счет вязких сил преобладают надмолекулярными силами и выражение для вязкой силы в трехфазовой областиу КЛ можно записать как:1Fv (t ) 3R dRили F (t )  6 ln  ,  dR dtdt1ln  1(3.67)2 Rгде μ – вязкость раствора и δ = Lδ/L – безразмерный параметр, предvставляет собой отношение малого смещения вблизи КЛ за счет вязкой диссипации в области трехфазной границы к макроскопическому сокращениюдлины. Lδ ‒ длина сокращения изменяющаяся от 1 до 5 мкм. L пропорционален горизонтальной шкале расстояний для жидкой капли, таким образом L =R (радиус капли).

Типичные значения величины ln(δ–1) лежат между 10 и 20[349; 380]. Умножая обе части (3.67) на скорость движения фронта КЛ (dR/dt)и учитывая, что (dR/dt)Fv(t) = dWv/dt получим: 2dWvR  dR (3.68) 6 ln  1 ,dt  dt Работа, совершаемая каплей жидкости, при изменении объема кап-ли. В рамках установленной задачи работа при сжатии должна совершитьсяпротив атмосферного давления, поскольку капля уменьшает свой объем. Длямалого изменения объема капли ΔV =V0 – V, против постоянного атмосферного давления, выражение для изменения работы при сжатии капли можнопредставить в виде:Wb  P0V0 ln(1  V V0 )  Pa V  Pa V ,(3.69)где Pa – атмосферное давление, V0 – начальный объем капли, при медленном сжатии капли давление внутри капли считаем равным атмосферномуP0 ≈ Pa.Переходя от изменения объема ΔV = Δm/ρ к массе, получаем:dWb P0 dm,(3.70)dt dtОбщее уравнение баланса энергии.

Объединяя уравнения (3.55),139(3.60), (3.64), (3.66), (3.684) и (3.70) в одно общее дифференциальное уравнение, описывающее изменение формы капли на однородной, гладкой, твердойповерхности подложки:2 R   dR  a1 ( )  4bR 23 ( )  a7 ( ) 6 ( )   R   dR cR    dt  dta d R 2  a2 ( )  bR 2 (4 ( )  5 ( ))  8 ( ) 6 ( )   R  0 .3 dt(3.71)    lv , a  2 , b   g  12, c  6 ln  1 ,   P0 6 .7 ( )   ( )  2  3cos  cos 3sin  ,321  cos  ( ) .8sin 4 Уравнение (3.71) связывает скорость перемещения КЛ и динамическоеизменение КУ.

Оно является нелинейным дифференциальным уравнением сначальным условием R(t = 0) = R0, θ(t = 0) = θ0 и может быть решеночисленно. Предполагаем, что зависимость КУ от времени и его производнаяпо времени известны и могут быть оценены для заданной геометрии капли изэкспериментальных данных.Во время испарения малых капель на твердой поверхности положениеКЛ капли претерпевает два этапа: стадия прикрепления (pinning) этап с фиксированным положением КЛ 0 < t < tD, так и на стадии открепления(depinning) с подвижной КЛ – tD < t < tE, где tE – время высыхания капли. Когда КЛ закреплена, при испарении уменьшается объем жидкости при постоянном радиусе, что приводит к уменьшению КУ (pinning).

Когда он достигает определенного угла смачивания, КЛ начинает двигаться, пока КУ остаетсяпрактически постоянным (depinning). Поведение КЛ в каждой стадии влияетна гидродинамический поток внутри капли [367]. Поток испарения с поверхности капли в воздух контролируется скоростью, с которой тонкий слой паров над поверхностью диффундирует в атмосферу [367]. Можно сказать, чтодиффузия пара в атмосферном воздухе медленная и его можно рассматриватькак квазиустойчивом состоянии.При условии медленного испарения, что подтверждается эксперимен-140тально [191], можно применить условие равновесия так, чтобы в любое времядля капли присутствовало механическое равновесие против перепада давления на границе поверхности раздела жидкость-воздух.

При малых θ (начальный КУ θ0 в экспериментах Дигана был от 0.1 до 0.3 радиан) [20; 225; 306;318; 338; 339], КУ θ(t) уменьшается линейно со временем (Рисунок 3.11) напротяжении процесса высыхания на стадии прикрепления: (t )  0 1  t tF  ,  ( )  0 1    ,   t tF ,(3.72)где θ0 – начальный КУ, ε – относительное время и tF – общее время высыхания капли, в течение которого капля сохраняет сферическую форму.В случае малых капель выполняется линейная зависимость уравнения (3.72).Рисунок 3.11 ‒ Схема (общая для все рассмотренных жидкостей) динамикиизменения контактного угла и радиуса капли жидкости.

R – радиус капли и θ0– начальный контактный уголЧисленное решения уравнения (3.71) позволило определить изменениерадиуса капли R(t) и скорость, с которой КЛ капли перемещается по поверхности твердой подложки. Соотношения δ было принято в качестве постоянного значения 0.005 в соответствии с данными, используемыми Gu и Li [47].Общее уравнение баланса энергии позволило оценить длительностьстадии прикрепления tD.

Характеристики

Список файлов диссертации