Диссертация (1144795), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

,(3.13)r r 0Подходящее приближение для потока испарения предложено ДиганомC (r ,0)  C0 ,[223] в форме  r 2 J ( r )  J 0 f ( )  1     R ,(3.14)где λ = (π − 2θ0)/(2π − 2θ0) и θ0 − начальный КУ. В случае малых капельи малых контактных углов, то есть λ = 1/2, Попов [325] определил поток ис-115парения для сферического сегмента следующим образомJ (r ) 2 D  ns  n   R2  r 21   h r  ,2(3.15)где D − коэффициент диффузии, который может зависит от температуры как [35]1.84 T (3.16)D  0.219  10  .273Вообще, выражение (3.15) не является подходящим для испарения ка-пельки с большим углом контакта. Для этого случая испарения приравниваеминтеграл выражения (3.14) к интегралу уравнения (3.15) по границе капли,следующим образом:R rJ 0 f ( )011 r R2 R1   h r  dr   r202 D  ns  n   R2  r 21   h r  dr .2(3.17)Чтобы решить для f (λ), параметр, J0, как предполагается, равен константе в правой части равенства и тогда2 D  ns  n . RПодставляем J0 в уравнение (3.17), получаемJ0 (3.18)f ( )  2(1   ) .(3.19)Приближение для потока испарения для произвольного угла контакта,полученного таким образом, может быть написано, как:4 D  ns  n 2 2J (r )  (1   )1 r R1   h r  .(3.20) RОпределим разность концентраций пара на границе и вне капли ns  n  сучетом относительной влажности φ, которая определена как от-ношение фактического давления водяного пара к давлению насыщенных паров при той же температуре Psat.

Используя закон для идеального газа разность концентраций  ns  n  может быть выражена как функция давлениянасыщенных паров и относительной влажности116(1   ) Psat M v,(3.21)RuTгде Mv − молярная масса воды, Ru − универсальная газовая константа, и ns  n  T − температура.Чтобы получить выражение для локального потока испарения J (r), мыиспользуем локальную площадь поверхности капли1   h r  и делим на2плотность воды ρ.D(1   ) M v Psat21   h r  ,(3.22) RRuTТаким образом, в данном разделе рассмотрено уравнение концентрацииJ (r ) для раствора при наличии диффузионных и конвективных потоков в транспортной области. Для упрощения численных расчетов был рассмотрен одномерный малый объем внутри профиля капли раствора.

В результате это уравнение было преобразовано в одномерное. Это позволило получить выражение (3.22) для локального потока испарения J (r) с поверхности капли и связать ее с исходными параметрами для капли. Данная зависимость очень важна для расчета динамики формы капли и определения профиля концентрациикак в транспортной области, так и в области осаждения.При условии медленного испарения можно применить условие равновесия так, чтобы в любое время для капли присутствовало механическое равновесие против перепада давления на границе поверхности раздела жидкость-воздух.

Форма капли таким образом определяется:∆p = −2Sσ,(3.23)где ∆p = ∆p(t) является перепадом давления, S = S(t) – средняя кривизнаповерхности капли. Известно, что для геометрии круглой капли, которуюрешает уравнение (3.23) для сферического сегмента с краевым углом θ определяет:R p(t ).2 Высота профиля h(r,t) в этом случае естьsin  (t ) (3.24)117R2R2  r 22h( r , t )  r  R cot  (t )  (t ) .(3.25)2Rsin 2  (t )Если поток испарения не изменяется со временем, что подтверждаетсяэкспериментально [191], то при малых θ (начальный контактный угол θ0 вэкспериментах Дигана был от 0.1 до 0.3 радиан) [225], краевой угол θ(t)уменьшается линейно со временем на протяжении почти всего процесса высыхания:t tfгде θ0 – начальный краевой угол, и (t )   0 1  ,(3.26)tf – полное время высыхания капли,которое зависит от определенных форм профиля испарения.

В дальнейшеммы ограничим наше обсуждение рассмотрением только малых капель, чтобыгарантировать линейную зависимость уравнения (3.26).Потеря растворителя из-за испарения приводит к появлению в каплеrпотока со скоростью v (r,z,t) с горизонтальной компонентой u(r,z,t), где zпредставляет координату вдоль вертикального направления (Рисунок 3.3). Вкачестве v используем усредненную по вертикали скорость1v(r , t ) h( r , t )h ( r ,t )u (r , z , t )dz .(3.27)0Тогда закон сохранения массы для растворителя запишем в виде:  (hv) J (r )1   h   h t  0 ,2(3.28)где ρ – плотность растворителя.

Для тонких круглых капель v(r,t) вдольрадиального направления |∇h| «1, и решая уравнение (3.28) получимr1 Jv(r , t )      h t rdr .rh 0  (3.29)Для испарения, при котором из уравнения (3.40) J(r) = J0 = const, можнопоказать, что:1181 rv(r , t ) 4t ft1  tf1(3.30).HθRРисунок 3.3 – Схема испарения капли. Геометрия профиля и основные динамические характеристикиОбщее время высыхания капли tf получается следующим образом:tf R R2 J0 2 h(r ,0)rdr 00 R4J0.(3.31)Чтобы упростить математические формулировки, мы выбираем R в качестве единицы длины, tf как единицу времени, и R/tf как единицу скорости.Таким образом, в этой модели динамика, испаряющейся капли характеризуется двумя безразмерными функциями:01  r  1  t  ,2r1  t 1 .(3.32)4Объемную концентрацию C(r,t) в транспортной области получим, исh( r , t ) 2v(r , t ) пользуя определенный профиль высоты и поле скоростей (3.32).

Для радиальной координаты r и времени t мы определяем r0(r,t), как начальное положение, таким образом, что начало частиц раствора в момент времени ноль отr0 достигает r во время t. r0 может быть получено интегрированием поля скоростей (3.32):r0(r,t) = r(1 − t)1/4.(3.33)Мы затем определяем m(r,t) как количество раствора, проходящего r отноля времени до времени t (Рисунок 3.4).

Тогда m(r,t) равно общей суммераствора между r и r0(r,t) при t = 0:119 r2r4 12m(r , t )  2  C0h(r ,0)r dr    C00  1  (1  t ) t .24 r 0 ( r ,t )r(3.34)Рисунок 3.4 – Схема области транспорта частиц при дегидратации капли раствора. Частицы растворенных веществ движутся от точки r0 в направлении rза время t (r0 как функция r и t дана в уравнении 3.70), m(r,t) равна полноймассе раствора между r0 и r (заштрихованная область) от нуля времениМы рассматриваем кольцевую область между r и r +∆r.

При ноле времени общая масса раствора в этом регионе:m0 = 2πr∆rh(r,0)·C0.Тогда, ко времени t, получаем:mt = 2πr∆rh(r,t)·C(r,t).(3.35)(3.36)Изменение массы раствора от времени t в этом регионе должно бытьравным общей массе, перемещающейся от r0 до r, за вычетом массы, перемещающейся из r + ∆r:∆m = m(r,t) − m(r + ∆r,t).(3.37)Сохранение массы раствора требует m0 + ∆m = mt, таким образом h(r ,0) m(r , t )  m(r  r , t (1  t ) 1 2  r 2C (r , t )  lim  C0.  C02r 0 h( r , t )2 r rh(r , t )1r(3.38)Профиль концентрации (3.38) имеет “просачивающееся решение” в томсмысле, что общая масса раствора в транспортной области не сохраняется.Это может быть продемонстрировано в идеальном процессе испарения капли, таким образом, что все частицы раствора, в конечном счете, переносятсяк КЛ без ограничения по объемной концентрации, то есть, в пределе Cmax→∞.120Общая суммарная массы раствора за время t в капле равна:1M (t )   2 Chrdr(3.39)0Таким образом, уровень изменения полной массы раствора равен:11dM (t )  2  Chr  dr  2   vChr  dr  2 Chrdttr00r 0.(3.40)r 1Транспортный процесс, таким образом, ограничен некоторым конечным порогом Cmax так, что движущаяся граница сформирована, и осадок растет от КЛ к центру капли.Если рассматривать гидродинамику и транспортную динамику растворенного вещества испаряющихся тонких капель с той же самой концентрацией Cmax, но с учетом диффузии, то профиль испарения не будет являться постоянной J0.

Из уравнения (3.14) при λ = ½ получим:J(r) ≈ (1 − r2)−1/2,(3.41)где мы все еще используем безразмерное представление: r → r/R и t →t/tf с 0 ≤ r ≤ 1 и 0 ≤ t ≤ 1. Профиль высоты принимает ту же самую форму какс однородным испарением (3.71), хотя полное время высыхания tf определеноотносительно управляемого диффузией потока испарения как:Rtf   2 h(r ,0)rdr0R02 J (r )rdr.(3.42)Замещение уравнений (3.41) и (3.32) при условии локального сохранения массы растворителя для профиля кали и поля скоростей позволяет получить другое выражение для скорости v(r,t):01  r  1  t  ,21 211v(r , t )  (1  t ) 1  1  r 2 1  r 2  .(3.43)4rПрофиль высоты и поля скорости (3.43), таким образом, полностьюh( r , t ) 2определяют гидродинамику.

Характеристики

Список файлов диссертации