Диссертация (1138365), страница 9
Текст из файла (страница 9)
∃ > 0, что [ |1 2 |1+ ] < ∞ для любых1 , 2 ∈ .Предположение 2.8. ∃δ > 0, что [ | |1+ ] < ∞ для любых, ∈ {0,1, … , }.Очевидно, что скорость сходимости будет зависеть от порядка 0аппроксимирующей функции. Так сходимость будет тем медленнее, чем выше0 , поскольку число оцениваемых параметров будет быстро возрастать. Вработе [Das et al., 2003] было показано, что при наложении ограничений сверхунастепеньаппроксимирующегополиномаоценкаявляетсятакжеасимптотически нормальной. Для увеличения скорости сходимости можноограничить набор регрессоров, входящих в систему уравнений нелинейно,позволив остальным входить в регрессионные функции линейно. В такомслучаевыполнениеусловийидентификации(дифференцируемостьрегрессионных функций) касается только нелинейной части.
Скоростьсходимости в свою очередь будет выше, т.к. число оцениваемых параметровбудет меньше.В данной работе асимптотическая нормальность оценокдоказываться не будет, а вопрос расчета стандартных ошибок будет оставлендо практической реализации процедуры. Так стандартные ошибки оценок илифункций от оценок, например, легко могут быть получены бутстрапом.Проблему выбора оптимальных степеней аппроксимирующих функций такжеоставим до реализации на конкретном массиве данных, но введем ограничениена максимальную степень аппроксимирующего полинома. Более подробноеобсуждение асимптотической теории для двухшаговых процедур коррекцииможно прочесть в [Newey, 1997].Пусть = (), 0 = (0 ), ̅̅̅0 = max{|(+0 +)!(+0 )!!< −1/2 }.50Предположение 2.9. 0 ≤ ̅̅̅.0Далее в качестве оценки предрасположенности для уравнения выборабудем использовать̂ = [ | , 0 ] = 0 [0 ′0 ]−1 0 ′.(19)На втором шаге получим остатки эндогенных переменных вприведенной форме, скорректированных на выборочную селективность: = − [ | = 1, , , 0 ](20)Для этого требуется состоятельно оценить [ | = 1, , , 0 ].Для произвольного совместного распределения 0 и c маржинальнойфункцией плотности 0, :[ | = 1, , , 0 ] = [ (, ) + | = 1, , , 0 ] == (, ) + [ | = 1, , , 0 ]∞∞= (, ) + ∫ ∫−∞ −0 (,0 ) 0, (, ) (21)= (, ) + (),где – функция произвольной функциональной формы.Если ̂ является оценкой значения предрасположенности уравненияучастия, полученной на первом шаге, то значения ̂ на этом шаге будутфиксированными, что означает, что (, ) и ̂ являются наборами разныхпеременных.В таком случае, если для произвольных функций (, ) и (̂ ) вкачестве аппроксимирующих полиномов взять соответственно 1 (, )1 и1 (̂ )2 , где 1 (, ) и 1 (̂ ) – полиномиальные аппроксимирующиесерии степени 1 , то искомую функцию можно оценить как = 1 (, ) + 1 (̂ ) + (22)51Так уравнение будет идентифицируемо вплоть до аддитивнойконстанты, т.к.
использование полиномиальных аппроксимаций подходит подусловиенепрерывнойдифференцируемостирегрессионнойикорректирующей ошибки функций и соответственно. Для выполненияусловий теоремы 1 необходимо также наличие хотя бы одной 0 , что̂00 (,0 )0≠ 0.Пусть 1 = (1 (, ), 1 (̂ )), = (1 , 2 ), тогда оценка можетбыть найдена обычным методом наименьших квадратов как̂ = [1 ′1 ]−1 1 ′(23)При некотором достаточно большом 1 , 1 (, )1являетсяаппроксимациейдля (, ),аоценки̂ = (̂1 , ̂2 )являютсясостоятельными при выполнении предположений 2.1, 2.7, 2.8 в силуplim ̂ = plim[1 ′1 ]−1 1 ′ = plim[1 ′1 ]−1 1 ′(1 + )] =→∞→∞→∞(24)= + plim[1 ′1 ]−1 1 ′ ] = →∞Идентификация аддитивных констант в данном уравнении являетсяпредметом отдельного исследования в случае, если ее значение представляетинтерес для исследования.
Так в [Heckman, 1990] описываются примеры,когда идентификации константы важна, в работе [Andrews, Schafgans, 1998]обсуждаются условия, при которых это сделать возможно. Если даннаяконстанта не является предметом интереса, то от необходимости ееидентификации легко избавиться, зафиксировав значение одного изпараметров. Например, присвоив в 1 (̂ ) параметру перед (̂ )0 значение 0.Такжебудемпоступатьидалее.Дляустраненияпроблемыидентифицируемости вплоть до константы, будем полагать что значениепараметра перед членом нулевой степени в аппроксимирующем полиноме длякорректирующей ошибки функцией равен 0.Теперь в качестве оценки остатков эндогенных переменных вприведенной форме будем использовать52̂ = − 1 ̂ .(25)На заключительном шаге оценим каждое уравнение системы вструктурной форме, скорректированное на выборочную селективность иодновременность выбора других эндогенных переменных .
Так, распределен совместно с 0 и − с некоторой функцией плотности 0, , тогда[ | = 1, − , , , 0 ] = [ |, , 0 , − , 0 (, 0 )+0 > 0]∞∞=∫ ∫−∞ −0 (,0 ) 0, (, |− ) = (, − ).(26)Оценим уравнение для как = (− , , ) + (, − ) + .(27)При этом ошибка в такой модели будет независима от (− , , ), есливыполнено предположение 2.1.Если ̂ является оценкой значения предрасположенности уравнениявыбора, полученная на первом шаге, а ̂− – оценка остатков уравнений вприведенной форме, то значения ̂ и ̂− на этом шаге будут фиксированными,а значит (− , , ) и (̂ , ̂− ) являются наборами разных переменных.
В такомслучае, если для произвольных функций (− , , ) и (̂ , ̂− ) в качествеаппроксимирующих полиномов взять соответственно 1 (− , , )1 и1 (̂ , ̂− )2 ,где1 (− , , )и1 (̂ , ̂− )–полиномиальныеаппроксимирующие серии степени 1 , то искомую функцию можно оценитькак = 1 (− , , )1 + 1 (̂ , ̂− )2 + .(28)Так уравнение (28) будет идентифицируемо вплоть до аддитивнойконстанты, т.к.
использование полиномиальных аппроксимаций подходит подусловиенепрерывнойдифференцируемостирегрессионнойикорректирующей ошибки функций и соответственно. Для выполненияусловий теоремы 2 необходимо также выполнение рангового условия для53матрицыпредельныхэффектов инструментов (релевантностиисключенных инструментов), [̂11 (,)набора] = . Тест на проверку данногоусловия предложен в следующем параграфе.Пусть 2 = (1 (− , , ), 1 (̂ , ̂− )), = (1 , 2 ), тогда оценка может быть найдена обычным методом наименьших квадратов как̂ = [2 ′ 2 ]−1 2 ′ .(29)При некоторых достаточно больших 1 , 1 (− , , )1 являетсяаппроксимацией для (− , , ), а оценки ̂ = (̂1 , ̂2 ) являютсясостоятельными при выполнении предположений 2.1, 2.7, 2.8 в силуplim ̂ = plim[2 ′2 ]−1 2 ′ = plim[2 ′ 2 ]−1 2 ′(2 + ) =→∞→∞→∞′= + plim[2 2 ]→∞Обсуждениеполиномов 1выбора−1′2 оптимальной(30)= .степениаппроксимирующихоставим до эмпирического оценивания.
Ограничимсяпостановкой верхнего ограничения на степень.Пустьmax{| = (),(++)!(+)!!1–числонаблюденийс = 1,1 =̅̅̅+ < 1 −1/2 }.Пусть = max∈{1,…,} {( )}, а ̃1 = max{|(−1++ +)!(−1++ )!!+(+)!!!<1 −1/2 }.Предположение 2.10. 1 ≤ min{̅̅̅,̃}.1 1Формулировка и доказательство теоремы также опубликовано в[Ozhegov, 2014].Теорема 3. Если выполнены предположения 2.1-2.10, то оценкипараметров̂1апроксимирующихполиномов1 (− , , )длярегрессионных функций (− , , ) являются состоятельными.54Доказательство.
Непосредственно следует из (17)-(30) ||.2.4.Тестирование релевантности исключенных инструментовВ параграфе 2.1 была определена эконометрическая модель функцииспроса на дифференцированный товар с эндогенными характеристиками (7), ав параграфе 2.2 сформулированы условия, при которых она идентифицируема.Одним из условий (предположение 2.5, релевантность исключенныхинструментов) является полнота ранга матрицы предельных эффектовисключенных инструментов на регрессионные функции в приведенной форме( [(,)] = () или его эмпирический аналог для предложенной впараграфе 2.3 процедуры оценивания, [̂11 (,)] = ).
Этот параграфпосвящен тестированию данного условия. Рассмотрим существующие влитературеподходыктестированиюрелевантностиисключенныхинструментов, далее обобщая их на случай модели (7).Рассмотрим простейшую модель с одним линейным уравнением,требующим идентификации, одной эндогенной переменной 2 и mисключенными инструментальными переменными. = (1 , 2 ), () =1 + 1, = (1 , ), () = 1 + , 1 ≥ 0, = (1 , 2 ), = (1 , 2 ): = + 12 = + 2(1 , 2 ) ⊥ .Достаточным условием идентификации данной модели является 2 ≠ 0.Условие является тестируемым, так статистически тестом Вальда можнопроверить H0 : 21 = 22 = ⋯ = 2 = 0. Тестовая статистика используетоценки параметров и остатков «первого шага» (уравнения для 2 вприведенной форме) и выглядит как55 =̂ ′ ′ ̂ ̂2 2∼ ( , )Крэгг и Дональд [Cragg, Donald, 1993] рассмотрели линейную модель снесколькими эндогенными переменными.
= (1 , 2 ), () = 1 + 2 , =(1 , ), () = 1 + , 1 ≥ 0, ≥ 2 , = (1 , 2 ), = (1 , 2 ), Π2 =(21 , … , 22 ): = + 02 = + , = 1, … , 2(0 , 1 , … , 2 ) ⊥ .Они показали, что тестирование каждого отдельного уравненияэндогенной переменной из 2на наличие значимых исключенныхинструментов не является достаточным условием идентификации. Так,требуется, чтобы не только в каждом уравнении были значимые исключенныеинструменты, но также и чтобы предельные эффекты исключенныхинструментов на эндогенные переменные не были коллинеарны. Такуравнение для будет идентифицируемо, если ранг матрицы Π2′ ′ Π2 равенколичеству эндогенных переменных,2 . Очевидно, что значимостьинструментов теперь является необходимым, но не достаточным условием дляидентификации модели, а значит тестирование оценок параметров первогошага может приводить к ложным выводам. Крэгг и Дональд предложилитестировать ранг оценок матрицы Π2′ ′ Π2 на полноту с использованием тогофакта, что если матрица Π2′ ′ Π2 вырожденная, то ее минимальноесобственное число будет равно 0.
Так в статистическом смысле Крэгг иДональд предложили тестировать H0 : [Π2′ ′ Π2 ] = 2 − 1, оцениваяблизость к нулю минимального собственного число матрицы оценок̂ 2′ ′ Π̂ 2 . Ввиду того,параметров исключенных инструментов первого шага Πчто тестовая статистика (минимальное собственное число матрицы оценок)является одним из решений полиномиального уравнения степени 2 (которая56может быть довольно высокой), то для нее не существует асимптотическилимитирующего распределения. Сток и Його [Stock, Yogo, 2005] при помощиМонте-Карлосимуляцийпосчиталикритическиезначениятестовойстатистики для случая не более двух эндогенных переменных и множестваисключенных инструментов. Робан и Смит также расширили данный тест дляопределения не только полноты матрицы, но и точного ранга матрицы [Robin,Smith, 2000], что позволяет отвечать на вопрос о количестве недостающих дляидентификации инструментов.Критические значения теста Стока и Його используются в наиболеераспространенных статистических пакетах, однако сложность в работе стестом заключается в том, что он не является робастным к нарушениямструктуры ковариационной матрицы ошибок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
