Диссертация (1138365), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Набор переменных = (, , 0 ) независим отслучайных переменных (0 , 1 , … , ).Предположение 2.2. Функция плотности 0, (0 , 1 , … , ) непрерывнана ℝ+1 .При идентификации каждого отдельного структурного уравнения = (− , , ) + следуетучитывать,чтоизменениеэндогенныхпеременных левой части − будет приводить к изменению не толькочерез функцию , но также и через ковариацию между − и , а изменениеэкзогенных переменных будет приводить к изменению также черезковариацию между 0 и .
В таком случае, идентификацию необходимопостроить так, чтобы получить вариацию за счет вариации переменных(− , , ) при известном ожидаемом изменении .Если = [|, 0 ] – это значение предрасположенности участия, тоожидаемое значение , условное на (− , , ) и = 1, определяется как[ |− , , , 0 , = 1] = [ |− , 0 (, 0 )+0 ≥ 0] =∞∞∫−∞ ∫−0 (,0 ) 0, (, |− ) = (, − ),гдебудетизвестной42функцией при известном виде совместного распределения ошибок 0, . Припроизвольном распределении 0, функция будет иметь неизвестный вид,но будет функцией известного набора аргументов, (, − ).
Таким образом,идентификация будет построена вокруг предварительной идентификациипредрасположенности участия и ошибок − , а также функции , что далеепозволит идентифицировать регрессионные функции .Процедура идентификации модели (7) разбивается на следующие шаги[Ожегов, 2015].На первом шаге идентифицируем значение предрасположенности =[|0 , 0 ] из уравнения участия:0, 0 ( , 0 ) + 0 ≤ 0 = {(8)1, 0 ( , 0 ) + 0 > 0Длялюбогомаржинального∞[ = 1|, 0 ] = ∫−0 (,0 )распределения0 ,[|, 0 ] =0 () = 0 (, 0 ), если 0 является непрерывной,что и будем предполагать далее.Предположение2.3.Функция0 (, 0 )являетсянепрерывнодифференцируемой с непрерывной функцией распределения почти всюду.Функция 0 при произвольном распределении 0 и функциональнойформе 0 будет функцией с произвольной функциональной формой, но будетзависеть от известного набора переменных, (, 0 ). Условное ожидание =[|, 0 ] идентифицируемо, т.к.
(, , 0 ) наблюдаемы, а (, 0 ) независимыот 0 по предположению 2.1. Таким образом, изменение (, 0 ) будет влиять на только через функцию 0 , что позволяет восстановить = [|, 0 ].На следующем шаге идентифицируем ошибки − за счет измененияпеременных, не влияющих на . Для этого необходимо идентифицироватьуравнения для каждой в приведенной форме, скорректированные навыборочную селективность, получив из них ошибки :43 = − [ |, , 0 , = 1](9)Если имеет совместное маржинальное распределение с 0 с функциейплотности 0 , , то[ |, , 0 , = 1] = [ |0 (, 0 )+0 ≥ 0] =∞∞=∫ ∫−∞ −0 (,0 )(10) 0, (, ) = ()Тогда может быть декомпозирована на регрессионную функцию вприведенной форме и функцию коррекции ошибки в силу независимости(, , 0 ) и [ |, , 0 , = 1] = (, ) + ()(11)Если – это значение предрасположенности, идентифицированное напредыдущемшаге,то,зафиксировавзначения(, ),можноидентифицировать за счет изменения 0 , являющейся аргументом .
Приэтом необходимо, чтобы 0 действительно имела существенное влияние на .Предположение 2.4. Почти наверное0 (,0 )0≠ 0.Далее же, зная , можно идентифицировать , меняя значения (, ),зафиксировав 0 . При этом, идентификация по данному принципу будетвозможна, если восстанавливаемые функции и будут непрерывнодифференцируемы, что и будем предполагать.Предположение 2.5. Функции (, ) и () являются непрерывнодифференцируемыми с непрерывной функцией распределения почти всюду.Докажем идентификацию регрессионных функций в приведеннойформе .
Формулировка и доказательство теоремы также опубликовано в[Ожегов, 2015].Теорема 1. Если выполнены предположения 2.1-2.5, то каждая (, )и () идентифицируема вплоть до аддитивной константы.44Доказательство: Любая наблюдаемо эквивалентная модель дляуравнения(11)имеет[ |, , 0 , = 1] = ̂ (, ) + ̂ ().Рассмотрим1 (, ) + 2 () = 0, где 1 (, ) = (, ) − ̂ (, ), и 2 () = () − ̂ ().Если 0 , и непрерывно дифференцируемы, то 1 и 2 тоже непрерывнодифференцируемы. Продифференцируем 1 + 2 = 0 по переменным (0 , , ):0=0=0=2 () 0 (,0 )01 (,)+2 () 0 (,0 )(12)1 (,)Первое условие и0 (,0 )0≠ 0 дает2 ()= 0, а значит 2 () = () −̂ () – константа, а ̂ () = () + Тогда второе условие даст1 (,)= 0.
Это значит, что 1 (, ) – тожеконстанта, а ̂ (, ) = (, ) + ||.На последнем шаге идентифицируем каждое уравнение структурнойформы,корректируяошибкинавыборочнуюселективностьиодновременность выбора , используя значение предрасположенности иошибки приведенной формы. Если имеет совместное распределение с 0 и− с функцией плотности 0, , то[ |− , , , 0 , = 1] = [ |− , 0 (, 0 )+0 ≥ 0] =∞∞=∫ ∫ 0, (, |− ) = (, − )(13)−∞ −0 (0 ,0 )Тогда может быть декомпозирован на регрессионную функцию вструктурной форме и функцию коррекции ошибки как[ |− , , , 0 , = 1] = (− , , ) + (, − )(14)Если и − – это значение предрасположенности и ошибки уравненийв приведенной форме, идентифицированные на предыдущих шагах, то,45зафиксировав значения (− , , ), можно идентифицировать за счетизменения 0 , являющейся аргументом , а также за счет изменения − ,влияющих на − , если являются непрерывно дифференцируемой.Дополнительным необходимым условием идентификации теперь такжедолжно являться то, что имеют существенное влияние и, соответственно,на в уравнениях приведенной формы.Предположение 2.6.
Почти наверное [(,)] = ().Далее же, зная можно идентифицировать , меняя значения(− , , ), зафиксировав (, 0 ), при условии, что являются непрерывнодифференцируемыми.Предположение 2.7. Функции (− , , ) и (, − ) являютсянепрерывно дифференцируемыми с непрерывной функцией распределенияпочти всюду.Формализуемвсевведенныеусловиярегресcионных функций в структурной форме .дляидентификацииФормулировкаидоказательство теоремы также опубликовано в [Ожегов, 2015].Теорема 2.
Если выполнены предположения 2.1-2.7, то каждаярегрессионная функция идентифицируема вплоть до аддитивнойконстанты.Доказательство. По лемме 1 функции (, ), () идентифицируемы,а значит и − идентифицируемы. Докажем идентификацию регрессионныхфункций . Любая наблюдаемо эквивалентная модель для уравнения (14)имеет[ |− , , , 0 , = 1] = ̂ (− , , ) + ̂ (, − )Рассмотрим3 (− , , ) + 4 (, − ) = 0, где 3 (− , , ) = (− , , ) − ̂ (− , , ),а 4 (, − ) = (, − ) − ̂ (, − ).46Если 0 , , , , являются непрерывно дифференцируемыми, тои3 (− , , )тоже4 (, − )непрерывнодифференцируемы.Продифференцируем 3 + 4 = 0 по переменным ( , − , , 0 ):0=0=0=0=3 (− ,, )+3 (− ,, ) − (,)−3 (− ,, ) − (,)−−3 (− ,, ) − (,)−(15)3 (− ,, )++4 (,− ) 0 (,0 )4 (,− ) 0 (,0 )0Последнее условие и0 (,0 )0≠ 0 дают4 (,,− )= 0.Выполнение рангового условия обеспечивает, что для каждого (,)найдется с≠0 иусловие эквивалентнымЗаменяяполучим, что3 (− ,, )Наконец,−≠ 0 соответственно, что делает второе= 0.= 0 в третьем условии и используя4 (,− )= 0,= 0.3 (− ,, )−−3 (− ,, )3 (− ,, )−− (,)= 0 в первом условии дает3 (− ,, )= 0.Все полученные результаты говорят о том, что 3 (− , , ) = (− , , ) − ̂ (− , , )–константа,азначит̂ (− , , ) = (− , , ) + ||.Первая группа условий требует от регрессионных функций и функцийкоррекции ошибок быть непрерывно дифференцируемыми.
Данное условиепри этом может быть ослаблено в части экзогенных регрессоров , позволяяим быть дискретными и входить в регрессионную функцию аддитивносепарабельно [Das, Newey, Vella, 2003].47Группа условий (0 (,0 )0≠ 0 и [(,)] = ()) накладываеттребования на наличие и релевантность исключенных переменных. Тактребуется хотя бы одна значимая исключенная переменная 0 в уравненииучастия, а также хотя бы один значимый исключенный инструмент длякаждой эндогенной переменной , при этом эффекты исключенныхинструментов на эндогенные переменные в уравнениях приведенной формыне должны быть коллинеарны.
Тестированию данных условий будет посвященпараграф 2.3. Далее же предложим подход к оцениванию эконометрическоймодели функции спроса (7).2.3. Оценивание функции спроса на дифференцированный товар сэндогенными характеристикамиВ данном параграфе предложена процедура оценивания функции спроса(7), удовлетворяющая введенным в теореме 2 условиям, а также доказанасостоятельностьданнойпроцедурыпринекоторыхдополнительныхнеограничительных предположениях.Процедура оценивания основана на аппроксимации серией степенныхфункций, зависящих от исходного набора регрессоров.Так пусть = (1 , … , ) – некоторый вектор переменных размерности = ().Пусть (, ) =(+)!!!– это количество членов полинома степени ,который можно получить из переменных.Пусть Q () = (1 (), … , ()) – вектор из степенных функций,представляющих собой полный набор членов полинома степени ,полученных из , т.е.
() = ∏=1 , ∑=1 ≤ , ∈ {0,1, … , } ∀ = ̅̅̅̅̅1, .Будем называть Q () полиномиальной аппроксимирующей сериейфункций степени .48Рассмотрим теперь процедуру оценивания модели (7). Процедураоценивания пошагово повторяет процедуру идентификации, описанную впредыдущем параграфе. Так для учета выборочной селективности иодновременности структурных уравнений выбора характеристик товаранеобходимо на предварительных шагах оценить предрасположенностьучастия и ошибки в уравнениях приведенной формы.Напервомшагеоценимзначениепредрасположенности = [|, 0 ] уравнения участия0, 0 ( , 0 ) + 0 ≤ 0 = {1, 0 ( , 0 ) + 0 > 0.(16)Так для любой произвольной маржинальной функции плотности 0 ,∞[|, 0 ] = [ = 1|, 0 ] = ∫−0 (,0 )0 () = 0 (, 0 ).0припроизвольном виде распределения 0 и произвольном виде функции 0 будетфункцией с произвольной функциональной формой, однако будет функциейот известного набора переменных, (, 0 ).Используя разложение в ряд Тейлора в окрестности каждой точки( , 0 ), = [ | , 0 ] может быть приближена полиномом 0 =0 (, 0 )0 , где 0 (, 0 ) – полиномиальная аппроксимирующая серия дляфункции 0 (, 0 ) некоторой степени 0 , 0 вектор параметров размерности=(0 +0 )!0 !0 !, 0 = (, 0 ).Оценка 0 параметров аппроксимирующего полинома может бытьполучена обычным методом наименьших квадратов как̂0 = [0 ′0 ]−1 0 ′.(17)Так при фиксированном 0 несложно показать, что оценка ̂0 являетсясостоятельной:plim ̂0 = plim[0 ′0 ]−1 0 ′ = plim[0 ′0 ]−1 0 ′(0 0 + 0 ) =→∞→∞→∞′0 ]−1 0 ′0= 0 + plim[0→∞(18)= 049при выполнении предположения 2.1 о независимости (, 0 ) от распределенияненаблюдаемых переменных, а также при конечности распределенияпеременных и ошибок, что и будем далее предполагать.Предположение 2.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
