Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137443), страница 7

Файл №1137443 Диссертация (О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий) 7 страницаДиссертация (1137443) страница 72019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Äëÿàääèòèâíûõ îïåðàöèé ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûé ñïîñîá ïðîäîëæèòü îïåðàöèþ íà ýëåìåíò âèäàñîñòîèò â ñîïîñòàâëåíèè ýòî-42ìó ýëåìåíòó1(), è ýòî ñäåëàòü ìîæíî, ïîñêîëüêó îáðàòèì â . Äëÿíåàääèòèâíûõ îïåðàöèé, îäíàêî, óòâåðæäåíèå Ïðåäëîæåíèÿ íåòðèâèàëüíî.Доказательство. Èç Òåîðåìû 2.5.5 ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ îïåðàöèÿ èç * â *ïîäíèìàåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì äî îïåðàöèè â Ω* ⊗L òàê, ÷òî å¼ êîìïîçèöèÿ ñ êàíîíè÷åñêèì ìîðôèçìîì òåîðèé Ω* ⊗L → * ðàâíà èñõîäíîéîïåðàöèè. Òàêèì îáðàçîì, áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî * òàêæåÿâëÿåòñÿ òåîðèåé ðàöèîíàëüíîãî òèïà.Ïóñòü îïåðàöèÿ èç ˜* â * . Ìû õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííàÿ îïåðàöèÿ ¯ : ˜* ⊗ Z → * , ò.÷.

å¼ êîìïîçèÿ ñ åñòåñòâåííûìîòîáðàæåíèåì ˜* → ˜* ⊗ Z ðàâíà .Îòîæäåñòâèì êîëüöî * ((P∞ )× ) c êîëüöîì [[1 , . . . , ]] , ãäå =∞1 ((1) ) , îáðàòíûé îáðàç êàíîíè÷åñêîãî ëèíåéíîãî ðàññëîåíèÿ íà Pîòíîñèòåëüíî -îé ïðîåêöèè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç , := ˜* ((P )× ) ôàêòîð-êîëüöî [[1 , . . . , ]] ïî èäåàëó ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ ñòåïåíè íå ìåíåå ( + 1) .Ïî Òåîðåìå 2.5.5 îïåðàöèÿ ¯ îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà ñâîèìè îãðàíè÷åíèÿìèêàê îòîáðàæåíèå èç , ⊗ Z â , äëÿ âñåõ , .Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ êàæäîãî ìíîãî÷ëåíà ∈ , ⊗ Z ñóùåñòâóåò ÷èñëî ∈ Z× , ò.÷.

( ) ∈ , . Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ìóëüòè() = + () , ãäå ∈ 2 [[]] . Ïðåäñòàâèì ìíîãî÷ëåíïëèêàòèâíîé, è â âèäå ñóììû = < + + > , ãäå ñëàãàåìûå ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè ñòåïåíè ìåíüøå , ðàâíîé è áîëüøåé , ñîîòâåòñòâåííî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî < ∈ , è îáîçíà÷èì ÷åðåç íàèáîëüøèé îáùèé çíàìåíàòåëüêîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà . Ïðèìåíèì îïåðàöèþ ê . Ìíîãî÷ëåí (< ) èìååò êîýôôèöèåíòû â êîëüöå , ìíîãî÷ëåí (> ) èìååò ñòåïåíü áîëüøóþ, ÷åì .

 òî æå âðåìÿ ìíîãî÷ëåí ( ) = , à, çíà÷èò,èìååò êîýôôèöèåíòû â êîëüöå áëàãîäàðÿ âûáîðó ÷èñëà . Ñëåäîâàòåëüíîìíîãî÷ëåí ( ) èìååò êîýôôèöèåíòû èç â ñòåïåíÿõ íå áîëåå, ÷åì + 1 .Ïîâòîðÿÿ ýòó ïðîöåäóðó è èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî ∘ = , ïîëó÷àåìòî, ÷òî òðåáîâàëîñü.Ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.7.2 îïåðàöèè Àäàìñà êîììóòèðóþò ñ ëþáû¯ ( )) = ∘ (¯ ) . Ñ äðóãîé ñòîðîíû ìè îïåðàöèÿìè, â ÷àñòíîñòè, (43ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìîé îïåðàöèåé, åñëè ÷èñëî îáðàòèìî â êîëüöå . Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî âûøå, ìû ìîæåì âûðàçèòü çíà÷åíèå îïåðàöèè¯ ) â òåðìèíàõ îïåðàöèè , ÷òî äîêàçûâàåò åäèíñòâåííîñòü îïåðàöèè ¯ .(Áîëåå òîãî, ìîæíî îïðåäåëèòü îïåðàöèþ ¯ ñîãëàñíî ïðîöåäóðå âûøå.Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèÿ ¯ : , → , êîììóòèðóþò ñ îòîáðàæåíèÿìè îãðàíè÷åíèé èç ñïèñêà ìîðôèçìîâ Òåîðåìû 2.5.5.

Îäíàêî, ýòî ñëåäóåòàâòîìàòè÷åñêè èç òîãî, ÷òî è îïåðàöèè Àäàìñà êîììóòèðóþò ñî âñåìè îòîáðàæåíèÿìè îãðàíè÷åíèé.Предложение 2.7.4. Пусть – теория рационального типа, кольцо коэф-фициентов которой является подкольцом в поле рациональных чисел Q .˜ в * ⊗Q может бытьТогда любая поли-операция арности из единственным образом представлена как формальный ряд от внешних произведений операций {ℎ }≥1 , где ℎ : → * ⊗ Q – единственная стабильная мультипликативная операция (т.н. характер Черна).Используя обозначения раздела , мы можем записать[︃]︃∏︁˜ × , * ∘= Q[[ℎ1 , . . . , ℎ , . . .]]⊙ .Q˜Доказательство.

Ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.7.3 åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå [⊗˜ * ⊗ Q] ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.Q, * ⊗ Q] → [,Èç êëàññèôèêàöèè ìóëüòèïëèêàòèâíûõ îïåðàöèé ìåæäó òåîðèÿìè ðàöèîíàëüíîãî òèïà è èçîìðôíîñòè ëþáûõ äâóõ ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ íàä Q -àëãåáðàìè ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ìóëüòèïëèêàòèâíûé èçîìîð∼ ˜˜0 ⊗ Q −ôèçì →⊗ Q , êîòîðûé ñîïîñòàâëÿåò êîìïîíåíòàì õàðàêòåðà ×åðíà ⊗ Q → * ⊗ Q êîìïîíåíòû êëàññè÷åñêîãî õàðàêòåðà ×åðíà 0 ⊗ Q → * ⊗ Q .

Òàêèì îáðàçîì, î÷åâèäíî, ÷òî óòâåðæäåíèå Ïðåäëîæåíèÿ äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äëÿ ñëó÷àÿ = 0 .Íàïîìíèì, ÷òî õàðàêòåð ×åðíà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç êëàññû ×åðíà ïîôîðìóëå(log(1 + )) = ( − 1)!ℎ ,ãäå log(1 + ) = + 12 2 + 13 3 + . . . è = 1 + 2 + 3 + . . . òîòàëüíûé êëàññ×åðíà. Èñïîëüçóÿ ýòî ñîîòíîøåíèå, êëàññû ×åðíà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîìïî-44íåíòû õàðàêòåðà ×åðíà, à, çíà÷èò, ñîãëàñíî Òåîðåìå 2.6.1, è âñå ïîëè-îïåðàöèèâûðàæàþòñÿ êàê ðÿäû îò âíåøíèõ ïðîèçâåäåíèé ℎ .Çàìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ïîëè-îïåðàöèé â -óþ êîìïîíåíòó ãðóïï׿îó ⊗ Q êîíå÷íîìåðíî. Èç Òåîðåìû 2.6.1 ñëåäóåò, ÷òî ýòà ðàçìåðíîñòüðàâíà ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè îò ïåðåìåííûõ ,èìåþùèõ ãðàäóèðîâêó . Î÷åâèäíî, ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè îòïåðåìåííûõ ℎ ãðàäóèðîâêè èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, è, ñëåäîâàòåëüíî,ïîëèíîìèàëüíûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó êîìïîíåíòàìè õàðàêòåðà ×åðíà áûòü íåìîæåò.2.8 Типические формальные групповые законы ýòîì ðàçäåëå ìû ââîäèì ïîíÿòèå -òèïè÷åñêîãî ôîðìàëüíîãî ãðóïïîâîãîçàêîíà, îáîáùàþùåå ïîíÿòèèå -òèïè÷åñêîãî ô.ã.ç, è âû÷èñëÿåì êîëüöî, èõêëàññèôèöèðóþùåå.Äàâíèì íàáëþäåíèå ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ñëîæíîñòü óñòðîéñòâà ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ íàä íåêîòîðûì êîëüöîì çàâèñèò îò íàëè÷èÿ êðó÷åíèÿ â , è îò ñâîéñòâ öåëî÷èñëåííîé äåëèìîñòè ýëåìåíòîâ .

Íàñ áóäóòèíòåðåñîâàòü ô.ã.ç. íàä Z() -àëãåáðàìè, îäíàêî, ïîëåçíî ñíà÷àëà íàïîìíèòü îáóñòðîéñòâå ô.ã.ç. â ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå íàä Q -àëãåáðàìè.Определение 2.8.1. Логарифмом формального группового закона íàä êîëü-öîì áåç êðó÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ðÿä log () ∈ + 2 · ( ⊗ Q)[[]] , ò.÷. (log (), log ()) = log () + log ().Предложение 2.8.2 (ñì., íàïð, [20, Ëåììà 4.1.29]). Логарифм ф.г.з. над коль-цом без кручения существует и единственнен.Следствие 2.8.3. Всякий формальный групповой закон над Q -алгеброй стро-го изоморфен аддитивному формальному групповому закону.Òàêèì îáðàçîì, çàäàòü ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íàä íåêîòîðîé Q àëãåáðîé ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî è çàäàòü ðÿä âèäà + 2 · [[]] , ÿâëÿþùèéñÿëîãàðèôìîì ô.ã.ç.45Êàê ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ È. Ïàíèíà è À.

Ñìèðíîâà (ñì. ðàçäåë ), ñòðîãî èçîìîðôíûå ôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû çàäàþò ìóëüòèïëèêàòèâíî èçîìîðôíûå òåîðèè. Èñïîëüçóÿ ýòîò ôàêò, ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñëåäñòâèå2.8.3 êàê òî, ÷òî äëÿ êàæäîé Q -àëãåáðû ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îðèåíòèðóåìàÿ òåîðèÿ êîãîìîëîãèé * ⊗ (âïðî÷åì, îðèåíòàöèÿ íà íåé ìîæåòáûòü çàäàíà ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè).Äàëåå îáîçíà÷àåò ôèêñèðîâàííîå ïðîñòîå ÷èñëî.Êîíñòðóêòèâíîå îïèñàíèå (àíàëîãè÷íîå ñëó÷àþ ñ Q -àëãåáðàìè, ðàññìîòðåííîìó âûøå) âñåõ ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ íàä ïðîèçâîëüíûì êîëüöîì ÿâëÿåòñÿ, ïî âñåé âèäèìîñòè, ñëèøêîì ñëîæíîé çàäà÷åé. Îäíàêî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ó ô.ã.ç.

íàä Z() -àëãåáðàìè ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ êàíîíè÷åñêàÿôîðìà, íàéäåííàÿ Ï. Êàðòüå, óïðîùàþùàÿ èõ êëàññèôèêàöèþ.Ïóñòü ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íàä Z() -àëãåáðîé , ïóñòü∑︀ ïðîñòîå ÷èñëî, ̸= . Îáîçíà÷èì ÷åðåç () = 1 1≤≤ , ãäå îáîçíà÷àåò ïðèìèòèâíûé êîðåíü -îé ñòåïåíè èç åäèíèöû. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ,÷òî ∈ [[]] .Определение 2.8.4 ([11, 4]). Ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íàä Z() -àëãåáðîé íàçûâàåòñÿ -типическим, åñëè = 0 äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ̸= .Предложение 2.8.5 ([11, Òåîðåìà 4]). Формальный групповой закон надZ() -алгеброй без кручения является -типическим, если и только еслиего логарифм имеет видlog () = +∞∑︁=1 ,где ∈ .Определение 2.8.6.

Àëãåáðà íàä Z() , êëàññèôèöèðóþùàÿ -òèïè÷åñêèåôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû, íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé Áðàóíà-Ïåòåðñîíà .Îáîçíà÷èì ÷åðåç óíèâåðñàëüíûé -òèïè÷åñêèé ô.ã.ç.46Предложение 2.8.7 ([6, Òåîðåìà 6.3]). Алгебра Брауна-Петерсона являетсяZ -градуированной полиномиальной алгеброй над Z() . Обозначим коэффициенты логарифма универсального -типического ф.г.з.:log () = +∞∑︁ ,=1где ∈ ⊗ Q .Образующие , ∈ N , алгебры могут быть выбраны так, чтоdeg = 1 − и коэффициенты логарифма выражаются через них по следующим формулам:( − ) = +−1∑︁ −(ñîîòíîøåíèÿ Àðàêè)=1При этом [] · =∑︀≥0 , где 0 = .Определение 2.8.8. Òåîðèÿ ðàöèîíàëüíîãî òèïà, îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìàëüíûìãðóïïîâûì çàêîíîìîì íàä êîëüöîì , íàçûâàåòñÿ òåîðèåé ÁðàóíàÏåòåðñîíà è îáîçíà÷àåòñÿ * .Предложение 2.8.9 ([11]).

Всякий формальный групповой закон над Z() -алгеброй канонически строго изоморфен -типическому формальному групповому закону.Äàëåå íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü -òèïè÷åñêèå ôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû ñïåöèàëüíîãî âèäà.Определение 2.8.10. Ïóñòü êîëüöî, ∈ , êîëüöî ïîëíî îòíî-ñèòåëüíî èäåàëà () , ò.å. äëÿ ëþáûõ ∈ , ∈ N îïðåäåëåíû ýëåìåíòû∑︀∞=1 .Ýëåìåíò êîëüöà íàçûâàåòñÿ -градуируемым относительно , åñ∑︀∞ëè îí ïðåäñòàâèì â âèäå≡1 mod ( −1) .Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü â îñíîâíîì ñëó÷àè, â êîòîðûõ = [[]] , =[[1 , .

. . , ]] , à òàêæå èõ ôàêòîð-êîëüöà. Êàê ïðàâèëî, â ýòèõ ñëó÷àÿõ èç êîíòåêñòà ÿñíî, îòíîñèòåëüíî êàêîãî ýëåìåíòà èä¼ò ðå÷ü, ïîýòîìó ìû áóäåìïèñàòü, ÷òî íåêîòîðûå ðÿäû -ãðàäóèðóåìû, îïóñêàÿ ñëîâà "îòíîñèòåëüíîïåðåìåííîé".47Определение 2.8.11. Ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí (, ) íàä Z() -àëãåáðîé íàçîâ¼ì -типическим, åñëè îí -òèïè÷åñêèé è [] · ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìûì îòíîñèòåëüíî è .Предложение 2.8.12. Существует градуированная Z() -алгебра {} ,классифицирующая -типические формальные групповые законы.

Обозначим через {} универсальный формальный групповой закон над {} .Отображение → {} может быть отождествлено с факторизацией по идеалу ( : - ) , т.е. {} неканонически изоморфнокольцу многочленов Z() [ , 2 , . . . , , .

. .] .Доказательство. Ðàññìîòðèì èäåàë â , ïîðîæä¼ííûé êîýôôèöèåíòàìè ðÿäà [] · ïðè ìîíîìàõ , ãäå - . Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî àëãåáðà {} = / êëàññèôèöèðóåò -òèïè÷åñêèå ô.ã.ç.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè : → ìîðôèçì êîëåö, êëàññèôèöèðóþùèé -òèïè÷åñêèé ô.ã.ç. íàä , òî [] · = ([] · ) , è ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ -ãðàäóèðóåìûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îòîáðàæàåò èäåàë â íîëü.Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî èäåàë ñîâïàäàåò ñ èäåàëîì ( : - ) , ãäå îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé Àðàêè (2.8.7). Çàìåòèì, ÷òî èç ñîîáðàæåíèé ãðàäóèðîâêè, ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íàä êîëüöîì /( : - ) (êîòîðûéêëàññèôèöèðóåòñÿ ôàêòîðèçàöèåé èç êîëüöà ) ÿâëÿåòñÿ -òèïè÷åñêèì.Ñëåäîâàòåëüíî, ⊂ ( : - ) , è îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ∈ äëÿ ëþáîãî-.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëî 0 = min{ : ∈/ , - } êîíå÷íî.

Характеристики

Список файлов диссертации

О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее