Диссертация (1137443), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Äëÿàääèòèâíûõ îïåðàöèé ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûé ñïîñîá ïðîäîëæèòü îïåðàöèþ íà ýëåìåíò âèäàñîñòîèò â ñîïîñòàâëåíèè ýòî-42ìó ýëåìåíòó1(), è ýòî ñäåëàòü ìîæíî, ïîñêîëüêó îáðàòèì â . Äëÿíåàääèòèâíûõ îïåðàöèé, îäíàêî, óòâåðæäåíèå Ïðåäëîæåíèÿ íåòðèâèàëüíî.Доказательство. Èç Òåîðåìû 2.5.5 ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ îïåðàöèÿ èç * â *ïîäíèìàåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì äî îïåðàöèè â Ω* ⊗L òàê, ÷òî å¼ êîìïîçèöèÿ ñ êàíîíè÷åñêèì ìîðôèçìîì òåîðèé Ω* ⊗L → * ðàâíà èñõîäíîéîïåðàöèè. Òàêèì îáðàçîì, áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî * òàêæåÿâëÿåòñÿ òåîðèåé ðàöèîíàëüíîãî òèïà.Ïóñòü îïåðàöèÿ èç ˜* â * . Ìû õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííàÿ îïåðàöèÿ ¯ : ˜* ⊗ Z → * , ò.÷.
å¼ êîìïîçèÿ ñ åñòåñòâåííûìîòîáðàæåíèåì ˜* → ˜* ⊗ Z ðàâíà .Îòîæäåñòâèì êîëüöî * ((P∞ )× ) c êîëüöîì [[1 , . . . , ]] , ãäå =∞1 ((1) ) , îáðàòíûé îáðàç êàíîíè÷åñêîãî ëèíåéíîãî ðàññëîåíèÿ íà Pîòíîñèòåëüíî -îé ïðîåêöèè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç , := ˜* ((P )× ) ôàêòîð-êîëüöî [[1 , . . . , ]] ïî èäåàëó ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ ñòåïåíè íå ìåíåå ( + 1) .Ïî Òåîðåìå 2.5.5 îïåðàöèÿ ¯ îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà ñâîèìè îãðàíè÷åíèÿìèêàê îòîáðàæåíèå èç , ⊗ Z â , äëÿ âñåõ , .Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ êàæäîãî ìíîãî÷ëåíà ∈ , ⊗ Z ñóùåñòâóåò ÷èñëî ∈ Z× , ò.÷.
( ) ∈ , . Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ìóëüòè() = + () , ãäå ∈ 2 [[]] . Ïðåäñòàâèì ìíîãî÷ëåíïëèêàòèâíîé, è â âèäå ñóììû = < + + > , ãäå ñëàãàåìûå ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè ñòåïåíè ìåíüøå , ðàâíîé è áîëüøåé , ñîîòâåòñòâåííî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî < ∈ , è îáîçíà÷èì ÷åðåç íàèáîëüøèé îáùèé çíàìåíàòåëüêîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà . Ïðèìåíèì îïåðàöèþ ê . Ìíîãî÷ëåí (< ) èìååò êîýôôèöèåíòû â êîëüöå , ìíîãî÷ëåí (> ) èìååò ñòåïåíü áîëüøóþ, ÷åì .
 òî æå âðåìÿ ìíîãî÷ëåí ( ) = , à, çíà÷èò,èìååò êîýôôèöèåíòû â êîëüöå áëàãîäàðÿ âûáîðó ÷èñëà . Ñëåäîâàòåëüíîìíîãî÷ëåí ( ) èìååò êîýôôèöèåíòû èç â ñòåïåíÿõ íå áîëåå, ÷åì + 1 .Ïîâòîðÿÿ ýòó ïðîöåäóðó è èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî ∘ = , ïîëó÷àåìòî, ÷òî òðåáîâàëîñü.Ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.7.2 îïåðàöèè Àäàìñà êîììóòèðóþò ñ ëþáû¯ ( )) = ∘ (¯ ) . Ñ äðóãîé ñòîðîíû ìè îïåðàöèÿìè, â ÷àñòíîñòè, (43ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìîé îïåðàöèåé, åñëè ÷èñëî îáðàòèìî â êîëüöå . Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî âûøå, ìû ìîæåì âûðàçèòü çíà÷åíèå îïåðàöèè¯ ) â òåðìèíàõ îïåðàöèè , ÷òî äîêàçûâàåò åäèíñòâåííîñòü îïåðàöèè ¯ .(Áîëåå òîãî, ìîæíî îïðåäåëèòü îïåðàöèþ ¯ ñîãëàñíî ïðîöåäóðå âûøå.Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèÿ ¯ : , → , êîììóòèðóþò ñ îòîáðàæåíèÿìè îãðàíè÷åíèé èç ñïèñêà ìîðôèçìîâ Òåîðåìû 2.5.5.
Îäíàêî, ýòî ñëåäóåòàâòîìàòè÷åñêè èç òîãî, ÷òî è îïåðàöèè Àäàìñà êîììóòèðóþò ñî âñåìè îòîáðàæåíèÿìè îãðàíè÷åíèé.Предложение 2.7.4. Пусть – теория рационального типа, кольцо коэф-фициентов которой является подкольцом в поле рациональных чисел Q .˜ в * ⊗Q может бытьТогда любая поли-операция арности из единственным образом представлена как формальный ряд от внешних произведений операций {ℎ }≥1 , где ℎ : → * ⊗ Q – единственная стабильная мультипликативная операция (т.н. характер Черна).Используя обозначения раздела , мы можем записать[︃]︃∏︁˜ × , * ∘= Q[[ℎ1 , . . . , ℎ , . . .]]⊙ .Q˜Доказательство.
Ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.7.3 åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå [⊗˜ * ⊗ Q] ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.Q, * ⊗ Q] → [,Èç êëàññèôèêàöèè ìóëüòèïëèêàòèâíûõ îïåðàöèé ìåæäó òåîðèÿìè ðàöèîíàëüíîãî òèïà è èçîìðôíîñòè ëþáûõ äâóõ ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ íàä Q -àëãåáðàìè ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ìóëüòèïëèêàòèâíûé èçîìîð∼ ˜˜0 ⊗ Q −ôèçì →⊗ Q , êîòîðûé ñîïîñòàâëÿåò êîìïîíåíòàì õàðàêòåðà ×åðíà ⊗ Q → * ⊗ Q êîìïîíåíòû êëàññè÷åñêîãî õàðàêòåðà ×åðíà 0 ⊗ Q → * ⊗ Q .
Òàêèì îáðàçîì, î÷åâèäíî, ÷òî óòâåðæäåíèå Ïðåäëîæåíèÿ äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äëÿ ñëó÷àÿ = 0 .Íàïîìíèì, ÷òî õàðàêòåð ×åðíà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç êëàññû ×åðíà ïîôîðìóëå(log(1 + )) = ( − 1)!ℎ ,ãäå log(1 + ) = + 12 2 + 13 3 + . . . è = 1 + 2 + 3 + . . . òîòàëüíûé êëàññ×åðíà. Èñïîëüçóÿ ýòî ñîîòíîøåíèå, êëàññû ×åðíà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîìïî-44íåíòû õàðàêòåðà ×åðíà, à, çíà÷èò, ñîãëàñíî Òåîðåìå 2.6.1, è âñå ïîëè-îïåðàöèèâûðàæàþòñÿ êàê ðÿäû îò âíåøíèõ ïðîèçâåäåíèé ℎ .Çàìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ïîëè-îïåðàöèé â -óþ êîìïîíåíòó ãðóïï×æîó ⊗ Q êîíå÷íîìåðíî. Èç Òåîðåìû 2.6.1 ñëåäóåò, ÷òî ýòà ðàçìåðíîñòüðàâíà ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè îò ïåðåìåííûõ ,èìåþùèõ ãðàäóèðîâêó . Î÷åâèäíî, ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè îòïåðåìåííûõ ℎ ãðàäóèðîâêè èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, è, ñëåäîâàòåëüíî,ïîëèíîìèàëüíûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó êîìïîíåíòàìè õàðàêòåðà ×åðíà áûòü íåìîæåò.2.8 Типические формальные групповые законы ýòîì ðàçäåëå ìû ââîäèì ïîíÿòèå -òèïè÷åñêîãî ôîðìàëüíîãî ãðóïïîâîãîçàêîíà, îáîáùàþùåå ïîíÿòèèå -òèïè÷åñêîãî ô.ã.ç, è âû÷èñëÿåì êîëüöî, èõêëàññèôèöèðóþùåå.Äàâíèì íàáëþäåíèå ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ñëîæíîñòü óñòðîéñòâà ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ íàä íåêîòîðûì êîëüöîì çàâèñèò îò íàëè÷èÿ êðó÷åíèÿ â , è îò ñâîéñòâ öåëî÷èñëåííîé äåëèìîñòè ýëåìåíòîâ .
Íàñ áóäóòèíòåðåñîâàòü ô.ã.ç. íàä Z() -àëãåáðàìè, îäíàêî, ïîëåçíî ñíà÷àëà íàïîìíèòü îáóñòðîéñòâå ô.ã.ç. â ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå íàä Q -àëãåáðàìè.Определение 2.8.1. Логарифмом формального группового закона íàä êîëü-öîì áåç êðó÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ðÿä log () ∈ + 2 · ( ⊗ Q)[[]] , ò.÷. (log (), log ()) = log () + log ().Предложение 2.8.2 (ñì., íàïð, [20, Ëåììà 4.1.29]). Логарифм ф.г.з. над коль-цом без кручения существует и единственнен.Следствие 2.8.3. Всякий формальный групповой закон над Q -алгеброй стро-го изоморфен аддитивному формальному групповому закону.Òàêèì îáðàçîì, çàäàòü ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íàä íåêîòîðîé Q àëãåáðîé ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî è çàäàòü ðÿä âèäà + 2 · [[]] , ÿâëÿþùèéñÿëîãàðèôìîì ô.ã.ç.45Êàê ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ È. Ïàíèíà è À.
Ñìèðíîâà (ñì. ðàçäåë ), ñòðîãî èçîìîðôíûå ôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû çàäàþò ìóëüòèïëèêàòèâíî èçîìîðôíûå òåîðèè. Èñïîëüçóÿ ýòîò ôàêò, ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñëåäñòâèå2.8.3 êàê òî, ÷òî äëÿ êàæäîé Q -àëãåáðû ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îðèåíòèðóåìàÿ òåîðèÿ êîãîìîëîãèé * ⊗ (âïðî÷åì, îðèåíòàöèÿ íà íåé ìîæåòáûòü çàäàíà ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè).Äàëåå îáîçíà÷àåò ôèêñèðîâàííîå ïðîñòîå ÷èñëî.Êîíñòðóêòèâíîå îïèñàíèå (àíàëîãè÷íîå ñëó÷àþ ñ Q -àëãåáðàìè, ðàññìîòðåííîìó âûøå) âñåõ ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ íàä ïðîèçâîëüíûì êîëüöîì ÿâëÿåòñÿ, ïî âñåé âèäèìîñòè, ñëèøêîì ñëîæíîé çàäà÷åé. Îäíàêî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ó ô.ã.ç.
íàä Z() -àëãåáðàìè ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ êàíîíè÷åñêàÿôîðìà, íàéäåííàÿ Ï. Êàðòüå, óïðîùàþùàÿ èõ êëàññèôèêàöèþ.Ïóñòü ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íàä Z() -àëãåáðîé , ïóñòü∑︀ ïðîñòîå ÷èñëî, ̸= . Îáîçíà÷èì ÷åðåç () = 1 1≤≤ , ãäå îáîçíà÷àåò ïðèìèòèâíûé êîðåíü -îé ñòåïåíè èç åäèíèöû. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ,÷òî ∈ [[]] .Определение 2.8.4 ([11, 4]). Ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íàä Z() -àëãåáðîé íàçûâàåòñÿ -типическим, åñëè = 0 äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ̸= .Предложение 2.8.5 ([11, Òåîðåìà 4]). Формальный групповой закон надZ() -алгеброй без кручения является -типическим, если и только еслиего логарифм имеет видlog () = +∞∑︁=1 ,где ∈ .Определение 2.8.6.
Àëãåáðà íàä Z() , êëàññèôèöèðóþùàÿ -òèïè÷åñêèåôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû, íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé Áðàóíà-Ïåòåðñîíà .Îáîçíà÷èì ÷åðåç óíèâåðñàëüíûé -òèïè÷åñêèé ô.ã.ç.46Предложение 2.8.7 ([6, Òåîðåìà 6.3]). Алгебра Брауна-Петерсона являетсяZ -градуированной полиномиальной алгеброй над Z() . Обозначим коэффициенты логарифма универсального -типического ф.г.з.:log () = +∞∑︁ ,=1где ∈ ⊗ Q .Образующие , ∈ N , алгебры могут быть выбраны так, чтоdeg = 1 − и коэффициенты логарифма выражаются через них по следующим формулам:( − ) = +−1∑︁ −(ñîîòíîøåíèÿ Àðàêè)=1При этом [] · =∑︀≥0 , где 0 = .Определение 2.8.8. Òåîðèÿ ðàöèîíàëüíîãî òèïà, îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìàëüíûìãðóïïîâûì çàêîíîìîì íàä êîëüöîì , íàçûâàåòñÿ òåîðèåé ÁðàóíàÏåòåðñîíà è îáîçíà÷àåòñÿ * .Предложение 2.8.9 ([11]).
Всякий формальный групповой закон над Z() -алгеброй канонически строго изоморфен -типическому формальному групповому закону.Äàëåå íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü -òèïè÷åñêèå ôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû ñïåöèàëüíîãî âèäà.Определение 2.8.10. Ïóñòü êîëüöî, ∈ , êîëüöî ïîëíî îòíî-ñèòåëüíî èäåàëà () , ò.å. äëÿ ëþáûõ ∈ , ∈ N îïðåäåëåíû ýëåìåíòû∑︀∞=1 .Ýëåìåíò êîëüöà íàçûâàåòñÿ -градуируемым относительно , åñ∑︀∞ëè îí ïðåäñòàâèì â âèäå≡1 mod ( −1) .Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü â îñíîâíîì ñëó÷àè, â êîòîðûõ = [[]] , =[[1 , .
. . , ]] , à òàêæå èõ ôàêòîð-êîëüöà. Êàê ïðàâèëî, â ýòèõ ñëó÷àÿõ èç êîíòåêñòà ÿñíî, îòíîñèòåëüíî êàêîãî ýëåìåíòà èä¼ò ðå÷ü, ïîýòîìó ìû áóäåìïèñàòü, ÷òî íåêîòîðûå ðÿäû -ãðàäóèðóåìû, îïóñêàÿ ñëîâà "îòíîñèòåëüíîïåðåìåííîé".47Определение 2.8.11. Ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí (, ) íàä Z() -àëãåáðîé íàçîâ¼ì -типическим, åñëè îí -òèïè÷åñêèé è [] · ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìûì îòíîñèòåëüíî è .Предложение 2.8.12. Существует градуированная Z() -алгебра {} ,классифицирующая -типические формальные групповые законы.
Обозначим через {} универсальный формальный групповой закон над {} .Отображение → {} может быть отождествлено с факторизацией по идеалу ( : - ) , т.е. {} неканонически изоморфнокольцу многочленов Z() [ , 2 , . . . , , .
. .] .Доказательство. Ðàññìîòðèì èäåàë â , ïîðîæä¼ííûé êîýôôèöèåíòàìè ðÿäà [] · ïðè ìîíîìàõ , ãäå - . Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî àëãåáðà {} = / êëàññèôèöèðóåò -òèïè÷åñêèå ô.ã.ç.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè : → ìîðôèçì êîëåö, êëàññèôèöèðóþùèé -òèïè÷åñêèé ô.ã.ç. íàä , òî [] · = ([] · ) , è ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ -ãðàäóèðóåìûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îòîáðàæàåò èäåàë â íîëü.Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî èäåàë ñîâïàäàåò ñ èäåàëîì ( : - ) , ãäå îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé Àðàêè (2.8.7). Çàìåòèì, ÷òî èç ñîîáðàæåíèé ãðàäóèðîâêè, ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íàä êîëüöîì /( : - ) (êîòîðûéêëàññèôèöèðóåòñÿ ôàêòîðèçàöèåé èç êîëüöà ) ÿâëÿåòñÿ -òèïè÷åñêèì.Ñëåäîâàòåëüíî, ⊂ ( : - ) , è îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ∈ äëÿ ëþáîãî-.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëî 0 = min{ : ∈/ , - } êîíå÷íî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
