Диссертация (1137443), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ýëåìåíòû ÿâëÿþòñÿ ïðèìèòèâíûìè îòíîñèòåëüíî êîóìíîæåíèÿ, ò.å. () = ⊗ 1 + 1 ⊗ äëÿ ëþáîãî ∈ . Íà ïðîèçâîëüíîì ýëåìåíòå ( ) êîóìíîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì, ÷òîáû áûòü ñîãëàñîâàííûì ñî ñòðóêòóðîé óìíîæåíèÿ:∑︁(1 2 · · · ) = 1⊗(1 · · · )+ (1 · · · )⊗(+1 · · · )+(1 · · · )⊗1.=1Ýëåìåíòû ((0), ()) ìîæíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïðèìèòèâ1íûå ýëåìåíòû -îé ãðàäóèðîâî÷íîé êîìïîíåíòû êîàëãåáðû, îòêóäà ñëåäóåòóòâåðæäåíèå Ïðåäëîæåíèÿ.1.1.2 Связные алгебры Хопфа со связностьюÒàííàêèåâ ôîðìàëèçì, ðàçâèòûé â [13], ïîçâîëÿåò èçó÷àòü æ¼ñòêèå ìîíîèäàëüíûå êàòåãîðèè ñ ôóíêòîðîì ñëîÿ â òåðìèíàõ ïðåäñòàâëåíèé àëãåáð Õîïôà.
Ìûèñïîëüçóåì ïðèìåíåíèå ýòîé òåîðèè â ñëó÷àå, êîãäà ôóíêòîð ñëîÿ ïðîïóñêàåòñÿ÷åðåç êàòåãîðèþ ãðàäóèðîâàííûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, îñíàù¼ííûõ íåêîòîðûì ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì.Определение 1.1.6. Ïóñòü Ω1 ôèêñèðîâàííîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, ñâÿçíàÿ àëãåáðà Õîïôà, è çàäàíû ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå O : → Ω1 ⊗ èýëåìåíò ∈ Ω1 .Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî (O, ) (èëè êîðîòêî O ) ñîãëàñîâàíî ñî ñòðóêòóðîéàëãåáðû Õîïôà, åñëè êîììóòàòèâíû ñëåäóþùèå äèàãðàììû ( , , îáîçíà÷àþò êîóìíîæåíèå, óìíîæåíèå, êîåäèíèöó ñîîòâåòñòâåííî):1O>⊗O∨Ω1 ⊗ 1 Здесь ⊗ >∨Ω1 ⊗ ⊗ ⊗O ⊗ + ⊗ O∨Ω1 ⊗ ⊗ > ⊗ >∨OΩ1 ⊗ .и далее мы, несколько вольно, обозначаем через id ⊗ O композицию отображенияid ⊗ O : ⊗ → ⊗ Ω1 ⊗ и отображения перестановки (12) : ⊗ Ω1 ⊗ → Ω1 ⊗ ⊗ .Аналогичная вольность в обозначении используется в описании O , определениях 1.1.7,1.1.9 и предложении 1.1.8.16ãäå äëÿ ∈ grO( ⊗ ) = ⊗ ⊗ + ⊗ O() .Определение 1.1.7.
Çàôèêñèðóåì âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî Ω1 è îáîçíà÷èì÷åðåç ìîíîèäàëüíóþ êàòåãîðèþ, ñîñòîÿùóþ èç êîíå÷íîìåðíûõ Z -ãðàäóèðîâàííûõâåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, îñíàù¼ííûõ -ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì O : →Ω1 ⊗ (âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñîõðàíÿþùèì ãðàäóèðîâêó). Ìîíîèäàëüíàÿ ñòðóêòóðà íà çàäà¼òñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: O ⊗ = O ⊗ id + id ⊗ O .Предложение 1.1.8. Пусть функтор слоя категории Тейта пропускает-ся через категорию . И пусть на образе (1) в O(1) () = ⊗ , где ∈ Ω1 .Тогда существует связная алгебра Хопфа вместе с линейным отображением O : → Ω1 ⊗ , согласованным со структурой алгебры Хопфа всмысле определения 1.1.6.Если – градуированный комодуль над , : → ⊗ , то нанем индуцируется отображение O , равное композиции:id⊗Oid⊗id⊗→− ⊗ −−−−→ ⊗ Ω1 ⊗ −−−−−→ ⊗ Ω1 .Из определения 1.1.6 следует, что отображения согласованы с морфизмами комодулей.Таннакиева категория эквивалентна категории градуированных конечномерных -комодулей, оснащённых линейным отображением, индуцированным с помощью O .
Эквивалентность согласована с забывающими функторами в категорию .Доказательство. Äîêàçàòåëüñòâî äàííîãî Ïðåäëîæåíèÿ ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû òàííàêèåâà ôîðìàëèçìà çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî âìåñòî êàòåãîðèè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàòåãîðèÿ (ñì.
[13]).1.1.3 Категории Тейта со связностьюÏóñòü -àëãåáðà. Îáîçíà÷èì Ω1 = Ω1/ ìîäóëü êýëåðîâûõ äèôôåðåíöèàëîâ, Ω2 = ∧2 Ω1/ . Îòîáðàæåíèÿ O : → Ω1 ⊗ áóäåì íàçûâàòüñâÿçíîñòüþ.17Определение 1.1.9. Áóäåì íàçûâàòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñâÿçíî-ñòüþ O ïëîñêèì, åñëè îòîáðàæåíèå O2 = ( ⊗ id − id ∧ O ) ∘ O : → Ω2 ⊗ ðàâíî íóëþ.2Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü àëãåáðû Õîïôà ñî ñâÿçíîñòüþ â ñìûñëåîïðåäåëåíèÿ 1.1.6. Âåçäå ïðåäïîëàãàåòñÿ âûáðàííûì ýëåìåíò ∈ Ω1 , ò.÷.
= ∧ , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî èíäóöèðîâàííàÿ ñâÿçíîñòü íà îáúåêòàõ ()ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé.Ôóíêòîð ñëîÿ êàòåãîðèé ïðåäñòàâëåíèé òàêèõ àëãåáð Õîïôà ïðîïóñêàåòñÿ ÷åðåç êàòåãîðèþ èç îïðåäåëåíèÿ 1.1.7. Ìû áóäåì èçó÷àòü ïîäêàòåãîðèþïðåäñòàâëåíèé, îáðàç êîòîðûõ â êàòåãîðèè ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì, â òåðìèíàõàëãåáð Õîïôà.Определение 1.1.10. Ïóñòü ∙ ñâÿçíàÿ àëãåáðà Õîïôà ñî ñâÿçíîñòüþ O .Îáîçíà÷èì ∙ℎ = { ∈ ∙ |O2 () = 0} ýëåìåíòû ∙ , ïëîñêèå îòíîñèòåëüíî ñâÿçíîñòè.Èíäóêòèâíî îïðåäåëèì âåêòîðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ℎ∙ ⊂ ∙ : ℎ0 =0ℎ = , ≥ 0,ℎℎ+1 := { ∈ +1|() − 1 ⊗ − ⊗ 1 ∈ ⊕=1 ℎ ⊗ ℎ+1− }.Áóäåì íàçûâàòü ℎ∙ ïëîñêîé ïîäàëãåáðîé â ∙ .Ïðîñòîé ïðîâåðêîé ïîëó÷àåì ñëåäóþùååПредложение 1.1.11.
Векторное пространство ℎ∙ является градуирован-ной подалгеброй Хопфа.Теорема 1.1.12. Пусть ∙ – алгебра Хопфа со связностью O .Тогда подкатегория плоских комодулей над ней является таннакиевойи эквивалентна категории представлений ℎ∙ .В частности, связность O ограничивается на ℎ∙ и категория плоских объектов является категорией Тейта.2 На ⊗ определена связность O( ⊗ ) = ⊗ + ⊗ O() . При этом -линейноеотображение O2является кривизной этой связности после расширения коэффициентов.Кривизна связности равна нулю тогда и только тогда, когда отображение O2 равно нулю.18Доказательство. Âñÿêèé êîìîäóëü íàä ℎ∙ âêëàäûâàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó êîìîäóëåé âèäà ℎ∙ () , ïëîñêîñòü êîòîðûõ ëåãêî ïðîâåðèòü èç îïðåäåëåíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî âñÿêèé ïëîñêèé -êîìîäóëü ÿâëÿåòñÿ êîìîäóëåì íàä ℎ∙ ïðîâåä¼ì èíäóêöèåé ïî "âåñîâîé äëèíå".
Áàçà èíäóêöèè âûïîëíåíà, ò.ê. åñëè = , òî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé îáúåêòîâ () ,êîòîðûå ïðåäïîëàãàþòñÿ ïëîñêèìè.Ïóñòü ïëîñêèé êîìîäóëü íàä ∙ . Ïîäêðó÷èâàÿ íà ïëîñêèå îáúåêòû Òåéòà () , ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî = 0 ïðè < 0 . Äëèíà ôèëüòðàöèèðàâíà , ò.å. = 0 ïðè > .−1Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ⊕=0 è (/0 )(−1) ÿâëÿþòñÿ êî-ìîäóëÿìè íàä ℎ . Ðàññìîòðèì ýëåìåíò ∈ .
è ïîêàæåì, ÷òî () ∈ ⊗ ℎ .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî () = ⊗1++∑︀ℎ ⊗ , ãäå ∈ ⊕−1=1 ⊗− ,à ∈ 0 , ∈ ℎ . Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ∈ ℎ .Äëÿ èçó÷åíèÿ ( ) − 1 ⊗ − ⊗ 1 âîñïîëüçóåìñÿ àññîöèàòèâíîñòüþêîäåéñòâèÿ:( ⊗ )(()) = ⊗ 1 ⊗ 1 + ⊗ 1 + ( ⊗ )() +∑︁ ⊗ ⊗ 1 +( ⊗ )(()) = ⊗ 1 ⊗ 1 + ( ⊗ )() +∑︁ ⊗ 1 ⊗ ,∑︁ ⊗ ( ).Âû÷òåì âòîðîå ðàâåíñòâî èç ïåðâîãî è ïîëó÷èì∑︁ ⊗ (( ) − 1 ⊗ − ⊗ 1) = ⊗ 1 + ( ⊗ )() − ( ⊗ )() ∈ ⊗ ℎ ,ò.å.
∈ ℎ .1.2 Связность Гаусса-Манина на структурах Ходжа-Тейта ýòîì ðàçäåëå, åñëè íå óêàçàíî èíîå, çíà÷îê ⊗ îáîçíà÷àåò òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå Q -âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ.191.2.1 Категория структур Ходжа-ТейтаÎïðåäåëåíèÿ ñìåøàííûõ ñòðóêòóð Õîäæà ñì. â [12].  äàííîì ðàçäåëå âñåñòðóêòóðû Õîäæà ïðåäïîëàãàþòñÿ Q -ëèíåéíûìè, ò.å. "öåëî÷èñëåííàÿ ðåø¼òêà" ñòðóêòóðû Õîäæà ÿâëÿåòñÿ Q -âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì.Определение 1.2.1. Ñòðóêòóðîé Õîäæà-Òåéòà íàçûâàåòñÿ ñìåøàííàÿ ñòðóê-òóðà Õîäæà, ïðèñîåäèí¼ííûé âåñîâîé ôàêòîð êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîéòåéòîâñêèõ îáúåêòîâ Q() .Предложение 1.2.2 ((ñì. [8])). Абелева категория структур Ходжа-Тейтаимеет Ext -размерность равную 1, и для любого > 0Ext1ℳℋ Q (Q(0), Q()) ∼= C/(2) Q.Предложение 1.2.3 ((Òåîðåìà 1.4.3 [4])).
Категория структур Ходжа-Тейтаявляется таннакиевой и эквивалентна категории представлений связной алгебры Хопфа ℋ ∙ = ⊕≥0 ℋ .Как градуированная коалгебра ℋ ∙ изоморфна косвободной градуированной коалгебре (⊕>0 Ext1ℳℋ Q (Q(0), Q())) .1.2.2 Плоские структуры Ходжа-ТейтаÏóñòü êîìïëåêñíîå àëãåáðàè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå. Òîãäà íà êîãîìîëîãèÿõäå Ðàìà () îïðåäåëåíà (àáñîëþòíàÿ) ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà:O : () → Ω1C/Q ⊗C ().Ýòà ñâÿçíîñòü óäîâëåòâîðÿåò òðàíñâåðñàëüíîñòè Ãðèôôèòñà, ñîõðàíÿåòâåñîâóþ ôèëüòðàöèþ, ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé, óäîâëåòâîðÿåò ôîðìóëå Êþííåòà.
Êîíñòðóêöèþ è îáñóæäåíèå ýòèõ ñâîéñòâ ìîæíî íàéòè â [18].Îäíîé èç ãèïîòåç, òåñíî ñâÿçàííîé ñ ãèïîòåçîé Õîäæà, ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîñòü ñâÿçíîñòè Ãàóññà-Ìàíèíà íà ñòðóêòóðå Õîäæà, ïðèõîäÿùåé èç ãåîìåòðèè. Â ðàáîòå [28] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ôóíêòîð èç20êàòåãîðèè ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà â êàòåãîðèþ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà ñî ñâÿçíîñòüþ, îáðàòíûé ñïðàâà ê ôóíêòîðó çàáûâàþùåìó ñâÿçíîñòü è óäîâëåòâîðÿþùèé íåêîòîðûì åñòåñòâåííûì óñëîâèÿì.Предложение 1.2.4 ((Prop.
3.1 [28])). Существует функтор ℳℋ Q → ℳℋ OQиз категории структур Ходжа-Тейта в категорию ℳℋ OQ структур ХоджаТейта со связностью, удовлетворяющей трансверсальности Гриффитса.Этот функтор единственен в классе функторов, которые являютсяобратными справа к забывающему, доставляют на Q(1) заданную связность,доставляют на логарифмических структурах (т.е. на расширениях Q(0) припомощи Q(1) ) заданную связность и для которых связность согласована сумножением на объект Тейта Q() (т.е. удовлетворяет формуле Кюннетадля ⊗ Q() ).Построенная таким образом связность удовлетворяет формуле Кюннета.Ïðèìåíÿÿ ïðåäëîæåíèå 1.1.8, ìû ìîæåì ïåðåôîðìóëèðîâàòü ýòîò ðåçóëüòàò â òåðìèíàõ àëãåáð Õîïôà ñî ñâÿçíîñòüþ.Следствие 1.2.5.
На алгебре Хопфа ℋ ∙ имеется связность O в смысле. На линейныхопределения 1.1.6. Соответствующий элемент равен − образующих ℋ ∙ связность устроена так:3O((2) [1 · · · ]) =⎧⎪⎨(2)−1 ⊗ [1 · · · −1 ], если ∈ ℋ 1 ;⎪⎩0,иначе.Пусть – структура Ходжа-Тейта, O – связность на ней, =⊕ 2 – комодуль над ℋ , соответствующий при эквивалентностикатегорий из предложения 1.2.3. Имеется естественный изоморфизм⊗ C = ⊗ C, ⊗ C = ⊕ ∩ (2 ⊗ C) → ⊕ 2который индуцирует связность на .3 Очевидно,связность на Q -решётке однозначно определяется своим значением на её ком-плексификации.21Тогда эта связность совпадает со связностью индуцированной на с ℋ ∙ .1.2.3 Таннакиева категория плоских структур Ходжа-ТейтаОпределение 1.2.6. Êàòåãîðèåé ïëîñêèõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà íàçûâàåòñÿïîëíàÿ ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà ñî ñâÿçíîñòüþ, ñîñòîÿùàÿ èç îáúåêòîâ, ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà íà êîòîðûõ ïëîñêàÿ.Îáîçíà÷èì ýòó êàòåãîðèþ ℳℋ ℎQ .
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé àëãåáðà Õîïôàîáîçíà÷àåòñÿ ℋ ℎ∙ . äàííîì ðàçäåëå èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå : := Ker log : (C× ⊗ Q) ⊗Q (C× ⊗ Q) → Ω2C/Q ,ãäå log(1 ⊗ 2 ) =11∧22.Предложение 1.2.7. Градуированная алгебра⨁︀Extℳℋ ℎ (Q(0), Q()) являQется квадратичной, порождена элементами степени 1, C× ⊗ Q , с идеаломсоотношений .Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 1.1.4, âû÷èñëåíèÿ Ext2 , ïðîäåëàííîãî â ðàáîòå [28], è ñëåäóþùåé òåîðåìû.Теорема 1.2.8.
Категория плоских структур Ходжа-Тейта является кате-горией Тейта.Соответствующая градуированная алгебра Хопфа ℋ ℎ∙ устроена так4 :−2˜ ⊗ ⊗(−−2) ,ℋ ℎ∙ = ⊕≥0 ∩=0 ⊗ ⊗ ˜ = ⊕,:(,)̸=(1,1) ⊗ ⊂ ( ⊗ ) .где = ⊕>0 Ext1ℳℋ Q (Q(0), Q()) , Доказательство. Äîêàçàòåëüñòâî ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèåì òåîðåìû 1.1.12 ê àëãåáðå Õîïôà ℋ ∙ è ñâÿçíîñòè íà íåé, ïîñòðîåííîé â ñëåäñòâèè 1.2.5.4 т.е.зоров.коалгебра ℋ ℎ∙ является квадратичной относительно градуировки степенями тен-22Замечание 1.2.9. Âìåñòî êàòåãîðèè âñåõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà ìîæíî áûëîáû ðàññìàòðèâàòü ïðîèçâîëüíóþ òàííàêèåâó ïîäêàòåãîðèþ, ñîäåðæàùóþ ëîãàðèôìè÷åñêèå ñòðóêòóðû (ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
