Диссертация (1137443), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ýòîò îáúåêò, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì, à òîëüêîèíä-îáúåêòîì êàòåãîðèè ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé / . Îäíàêî, ïîñêîëüêó íàñáóäóò èíòåðåñîâàòü òîëüêî çíà÷åíèÿ îðèåíòèðîâàííûõ òåîðèé êîãîìîëîãèé íàïðîèçâåäåíèÿõ P∞ , òî äîñòàòî÷íî áóäåò ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìàëüíûì ïîäõîäîì: åñëè * î.î.ò.ê., òî * ((P∞ )× ) = lim * ((P )× ) , ãäå ïðåäåë áåð¼òñÿ ïî ñèñòåìå ëèíåéíûõ âëîæåíèé · · · ⊂ (P )× ⊂ (P+1 )× ⊂ · · · .Теорема 2.5.5 ([33, Òåîðåìà 5.2]). Пусть * – теория рационального типа, * – о.о.т.к.Тогда множество операций из * в * находится во взаимно однозначном соответствии со множеством следующих данных:отображениями множеств {} : * ((P∞ )× ) → * ((P∞ )× ) для ≥1 , коммутирующими с морфизмами ограничения относительно следующихгрупп морфизмов:1.
перестановками компонент (P∞ )× ;2. частичными проекциями;3. частичными диагоналями;4. частичными вложениями точек;5. частичными отображениями Сегрэ.Аналогичное утверждение формулируется для поли-операций.37Замечание 2.5.6. Ñâîéñòâî îïåðàöèè áûòü àääèòèâíîé èëè ìóëüòèïëèêàòèâ-íîé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü êàê íåêîòîðûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïîëè-îïåðàöèé.Òàê àääèòèâíà, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîëè-îïåðàöèÿ 1 = 0 .Îïåðàöèÿ ìóëüòèïëèêàòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîëè-îïåðàöèÿ() − ()() = 0 .Ïîñêîëüêó ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïîëè-îïåðàöèÿìè ñîãëàñíî òåîðåìå äîñòàòî÷íî ïðîâåðÿòü íà ïðîèçâåäåíèÿõ P∞ , òî è ñâîéñòâà àääèòèâíîñòè è ìóëüòèïëèêàòèâíîñòè äîñòàòî÷íî ïðîâåðÿòü òîëüêî äëÿ îòîáðàæåíèé ìíîæåñòâ {} .Замечание 2.5.7. Ïóñòü î.î.ò.ê.
* , * ÿâëÿþòñÿ ãðàäóèðîâàííûìè: * =⊕∈ , * = ⊕∈ , ãäå , àáåëåâû ãðóïïû. ÷àñòíîñòè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò àääèòèâíûå ïðîåêòîðû : * → äëÿ êàæäîãî ∈ , è âëîæåíèÿ : → * äëÿ êàæäîãî ∈ .Òîãäà îïåðàöèè èç â íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèèñ îïåðàöèÿìè èç * â * , ò.÷. ′ ∘ ∘ ′ = 0 äëÿ ′ ̸= , ′ ̸= . Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî ñîãëàñíî òåîðåìå ìîæíî ïðîâåðÿòü íà ïðîèçâåäåíèÿõ P∞ , ïîýòîìó îïåðàöèè èç â íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñîòîáðàæåíèÿìè ìíîæåñòâ {} : ((P∞ )× ) → ((P∞ )× ) , ñîãëàñîâàííûìè ñîòîáðàæåíèÿìè îãðàíè÷åíèÿ êàê â òåîðåìå.2.5.1 Теорема Вишика для аддитивных операцийÎïèñàíèå ìíîæåñòâà àääèòèâíûõ îïåðàöèé èç Òåîðåìû 2.5.5 ìîæíî ñâåñòè êíåêîòîðîé ñèñòåìå óðàâíåíèé, èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ïðîåêòèâíîì ðàññëîåíèè.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè * î.î.ò.ê., òî ïî îïðåäåëåíèþ å¼ çíà÷åíèå íà ïðîèçâåäåíèè ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿÿåòñÿ ñâîáîäíûì ìîäóëåì íåêîòîðîãî ðàíãà.
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâåðíà ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà:* ((P∞ )× ) = [[1 , . . . , ]],(2.2)ãäå = 1 ((1) ) , (1) îáðàòíûé îáðàç êàíîíè÷åñêîãî ëèíåéíîãîðàññëîåíèÿ íà -îé êîìïîíåíòå ïðîèçâåäåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïðîåêöèè.38Теорема 2.5.8 ([32, Òåîðåìà 5.1]). Пусть * – теория рационального типа, * – о.о.т.к.Тогда множество аддитивных операций из * в * находится вовзаимно однозначном соответствии со следующими данными: отображениями абелевых групп ∈ (, [[1 , . . . , ]]) при ≥ 0 , удовлетворяющими свойствам:1. является симметрическим рядом;2.
делится на∏︀=1 ;3. для каждого элемента ∈ выполнены следующие уравнения: ()(1 , . . . , −1, (, )) =∑︁, ++−1 ()(1 , . . . , −1, × , × ).,(2.3)2.6 Операции из К-теории0Ðåçóëüòàòû äàííîãî ðàçäåëà ñëóæàò äëÿ ìîòèâàöèè îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ îáîïåðàöèÿõ èç Ê-òåîðèé Ìîðàâû, à òàêæå äëÿ óïðîùåíèÿ íåêîòîðûõ äîêàçàòåëüñòâ.Теорема 2.6.1 (Âèøèê, äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [3]). Пусть * – о.о.т.к.
Тогда˜ 0 в * свободно порождено классами Черна:кольцо операций из ˜ 0 , * ] = [[[1 , 2 , . . .]](2.4)Замечание 2.6.2. Ñîãëàñíî ïóíêòó 6 Òåîðåìû 2.2.1 êëàññû ×åðíà â ëþáîéî.î.ò.ê. ÿâëÿþòñÿ íèëüïîòåíòíûìè ýëåìåíòàìè, ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ îò íèõ íå âîçíèêàåò ïðîáëåì ñõîäèìîñòè. äåéñòâèòåëüíîñòè, óòâåðæäåíèå òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèåì îáîáù¼ííûõ êîãîìîëîãèé áåñêîíå÷íîìåðíîãî ãðàññìàíèàíà. Ïî êðàéíåé ìåðå, åñëè* ïðåäñòàâèìî ìîòèâíûì ïðîñòðàíñòâîì , òî (íåñòàáèëüíûå) îïåðàöèèèç 0 â * ýòî ìîðôèçìû èç ïðîñòðàíñòâà, êëàññèôèöèðóþùåãî àëãåáðàè÷åñêóþ Ê-òåîðèþ, ò.å.
áåñêîíå÷íîìåðíîãî ãðàññìàíèàíà, â ïðîñòðàíñòâî .39Ñðåäè âñåõ îïåðàöèé ìîæíî âûäåëèòü àääèòèâíûå îïåðàöèè, êîòîðûåñîãëàñíî Òåîðåìå 2.6.1 ïðåäñòàâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè îò êëàññîâ ×åðíà.Äëÿ ≥ 1 îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåí ∈ Q[1 , . . . , ] êàê ( log(1+ ))[ ] ,ãäå = 1 + 2 2 + 3 3 + . . . + . Íàïðèìåð, 1 = 1 , 2 = 22 + 21 ,3 = 33 + 31 2 + (1 )3 .Предложение 2.6.3. Многочлены являются целочисленными.Доказательство.
Ïðîèçâîäíàÿ log ïî ðàâíà log′ ( )( )′ , ÷òî ÿâëÿåòñÿ öåëî÷èñëåííûì ðÿäîì, ò.ê. log′ ÿâëÿåòñÿ öåëî÷èñëåííûì ðÿäîì. Ïîñêîëüêóêîýôôèöèåíò ïðè ìîíîìå óìíîæàåòñÿ íà ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, òîöåëî÷èñëåííîñòü äîêàçàíà.Теорема 2.6.4. Пусть * – о.о.т.к. Тогда абелева группа аддитивных опе-раций из 0 в * свободно порождена над многочленами от классовЧерна:∑︁˜ 0 , * ] = {[ | ∈ }.(2.5)≥1Доказательство. Ñîãëàñíî ôîðìóëå Êàðòàíà (ñâîéñòâî 4, Òåîðåìû 2.2.1) çàäà¼ò àääèòèâíóþ îïåðàöèþ èç 0 â * .
Ñîãëàñíî Òåîðåìå 2.6.1 è ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè îò êëàññîâ ×åðíà, ìåæäóýòèìè îïåðàöèÿìè íåò ëèíåéíûõ ñîîòíîøåíèé. Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿàääèòèâíàÿ îïåðàöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ äàííûõ.Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêîé òåîðåìû Âèøèêà î êëàññèôèêàöèè àääèòèâíûõ îïåðàöèé (Òåîðåìà 2.5.8). Àääèòèâíàÿ îïå˜ 0 â * îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì îãðàíè÷åíèåì íà ïðîèçâåäåíèå ïðîåêðàöèÿ èç òèâíûõ ïðîñòðàíñòâ, êîòîðîå ìîæíî îïèñàòü â òåðìèíàõ ñèììåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ ∈ [[1 , .
. . , ]] äëÿ ≥ 1 .Ðÿäû äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùåé ñèñòåìó óðàâíåíèé: (1 , . . . , −1 , (, )) = (1 , . . . , −1 , )+ (1 , . . . , −1 , )++1 (1 , . . . , −1 , , ).Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, âèäíî, ÷òî ðÿä +1 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ðÿäîì (ïðè ≥ 1 ), à, çíà÷èò, âñÿ îïåðàöèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ðÿäîì 1 () ∈ [[]] . Äîêàæåì, ÷òî äëÿ îïåðàöèè ñîîòâåòñòâóþùèé40ðÿä 1 ðàâåí , òîãäà àääèòèâíàÿ îïåðàöèÿ ñ ðÿäîì 1 =∑︀≥1 è òåîðåìà äîêàçàíà.∑︀≥1 ðàâíàÂñïîìíèì, ÷òî äëÿ îïåðàöèè ðÿä 1 îïðåäåëÿåòñÿ êàê çíà÷åíèå íàïåðâîì êëàññå ×åðíà 0 âûðàæåííîå êàê ðÿä îò ïåðâîãî êëàññà ×åðíà òåîðèè00 0* . Çàìåòèì, ÷òî (1 ()) = ([] − []) = 0 äëÿ > 1 , 1 (1 ) = 1 .Ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåí èìååò â êà÷åñòâå ñëàãàåìîãî 1 , òåîðåìà äîêàçàíà.Замечание 2.6.5.
Èñïîëüçóÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ, Âèøèê äîêàçàë ÷àñò-íûé ñëó÷àé ýòîé òåîðåìû äëÿ * = 0 .Òî÷íåå ãîâîðÿ, èì áûëî äîêàçàíî, ÷òî ãðóïïà àääèòèâíûõ ýíäî-îïåðàöèé(︀ )︀˜ 0 ñâîáîäíî ïîðîæäåíà îïåðàöèÿìè ϒ := ∑︀ (−1)−1 , ãäå îáîâ =1çíà÷àþò îïåðàöèè Àäàìñà. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî îïåðàöèÿ ϒ ðàâíà îïåðàöèè , ïîñòðîåííîé â òåðìèíàõ êëàññîâ ×åðíà èç 0 â 0 .2.7 Некоторые следствия из теоремы Вишика2.7.1 Центральность операций АдамсаÑëåäóþùåå Ïðåäëîæåíèå áûëî äîêàçàíî À. Âèøèêîì è ñîîáùåíî àâòîðó ïðèëè÷íîì îáùåíèè.Предложение 2.7.1 (Âèøèê, cf.
[32, Th. 6.15]). Пусть * – теория рацио-нального типа. Тогда для каждого числа ∈ Z существует мультипликативная операция : * → * , называемая -ой операцией Адамса, котораяоднозначно определяется своим действием на первом классе Черна линейных⊗расслоений: (1 ()) = 1 ( ) .Более того, операция Адамса не зависит от выбора ориентации в* .Доказательство.
Ñóùåñòâîâàíèå îïåðàöèé áûëî äîêàçàíî â [32], à èõ åäèíñòâåííîñòü ñëåäóåò èç Òåîðåìû 2.5.5.Ïóñòü 1 ïåðâûé êëàññ ×åðíà äëÿ íåêîòîðîãî âûáîðà îðèåíòàöèè â . òîãäà äðóãàÿ îðèåíòàöèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì ïåðâûì êëàññîì412^×åðíà ^1 () = (1 ()) äëÿ íåêîòîðîãî ðÿäà ∈ + · [[]]1 , ò.÷. è ëþáîãî ëèíåéíîãî ðàññëîåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîì ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè.Èñïîëüçóÿ ýòî, ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îïåðàöèÿ Àäàìñà äåéñòâóåò ïî îäèíàêîâûìôîðìóëàì íà ^1 è 1 .Предложение 2.7.2. Пусть : * → * – операция между теориями ра-ционального типа.Тогда коммутирует с операциями Адамса, т.е. для любого ∈ Z(2.6) ∘ = ∘ Доказательство. Ñîãëàñíî Òåîðåìå 2.5.5 äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü ðàâåíñòâî 2.6íà ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ. Îäíàêî, äåéñòâèå îïåðàöèè Àäàìñà íà ïðîèçâåäåíèè ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ (P∞ ) åñòü íå ÷òî èíîå, êàêîáðàòíûé îáðàç îòíîñèòåëüíî êîìïîçèöèè ÷àñòè÷íûõ îòîáðàæåíèé Ñåãðå è ÷àñòè÷íûõ äèàãîíàëåé (äðóãèìè ñëîâàìè, ïðîèçâåäåíèå îòîáðàæåíèé Âåðîíåçå).Ïî îïðåäåëåíèþ ëþáàÿ îïåðàöèÿ êîììóòèðóåò ñî âñåìè îáðàòíûìè îáðàçàìè,à, çíà÷èò, óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.2.7.2 Локализация неаддитивных операцийПредложение 2.7.3.
Пусть ⊂ Z ∖ {0} подмножество целых чисел, несодержащее нуль. Обозначим через Z := −1 Z локализацию кольца целыхчисел в множестве .Пусть * – теория рационального типа, т.ч. естественное отображение → ⊗ Z[ −1 ] инъективно, и пусть * – произвольная о.о.т.к.,т.ч. элементы множества обратимы в .Тогда естественное отображение [˜* ⊗ Z , * ] → [˜* , * ] являетсяизоморфизмом. ýòîì Ïðåäëîæåíèè óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ëþáàÿ îïåðàöèÿ èç ˜* â *ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà åäèíñòâåííûì îáðàçîì äî îïåðàöèè èç ˜* ⊗ Z .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
