Автореферат (1137442)
Текст из файла
Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшего образования«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèСЕЧИН Павел АндреевичО некоторых операциях междутеориями когомологий алгебраических многообразий01.01.06 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåëÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêМосква — 2017Ðàáîòà âûïîëíåíà â ôåäåðàëüíîì ãîñóäàðñòâåííîì àâòîíîìíîì îáðàçîâàòåëüíîì ó÷ðåæäåíèè âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ ¾Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò ¾Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè¿.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:Марат Зефирович РовинскийÎôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:Бондарко Михаил Владимирович,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêäîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîåîáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåâûñøåãî îáðàçîâàíèÿ¾Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò¿, ïðîôåññîðЯгунов Сергей Алексеевич,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîåó÷ðåæäåíèå íàóêè Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîåîòäåëåíèå Ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòàèì.
Â.À.Ñòåêëîâà ÐÀÍ,ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèêÂåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîåáþäæåòíîå ó÷ðåæäåíèå íàóêèÌàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóòèì. Â.À. Ñòåêëîâà ÐÀÍÇàùèòà äèññåðòàöèè ñîñòîèòñÿ "08" èþíÿ 2017 ã. â 11 ÷àñîâ íà çàñåäàíèèäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 212.048.19, ñîçäàííîãî íà áàçå ôåäåðàëüíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àâòîíîìíîãî îáðàçîâàòåëüíîãî ó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ ¾Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò ¾Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè¿ ïî àäðåñó: 123458, Ìîñêâà, óë. Óñà÷¼âà, ä.
6, ê. 306.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â áèáëèîòåêå Íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî óíèâåðñèòåòà ¾Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè¿ ïî àäðåñó: 101000,Ìîñêâà, óë. Ìÿñíèöêàÿ, ä.20, è íà ñàéòå http://www.hse.ru/sci/diss/.Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí "Ó÷åíûé ñåêðåòàðüäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòàÄ 212.048.19, ê.ô-ì.í., äîö."2017 ã.Ëåîíèä Ãðèãîðüåâè÷ Ðûáíèêîâ2Общая характеристика работыАктуальность темы исследованияÊîãîìîëîãèè àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé ýòî îäíè èç íàèáîëåå ðàçðàáîòàííûõ è íàèáîëåå äîñòóïíûõ äëÿ âû÷èñëåíèé èíâàðèàíòîâ â àëãåáðàè÷åñêîéãåîìåòðèè. Ïîäõîäÿùèå èíâàðèàíòû ñîäåðæàò èíôîðìàöèþ î òîïîëîãèè è ãåîìåòðèè ìíîãîîáðàçèé, à òàêæå îá èõ "àðèôìåòèêå", â îñîáåííîñòè â ñëó÷àå,åñëè îñíîâíîå ïîëå íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì.Ïåðâûå òåîðèè êîãîìîëîãèé (ñèíãóëÿðíûå, ñèìïëèöèàëüíûå, Áåòòè) ïîÿâèëèñü â êîíöå 19 íà÷àëå 20 âåêà êàê èíâàðèàíòû òîïîëîãè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé.
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñî âðåìåíåì èõ îáîáùåíèå ðàçâèâàëîñü â äâóõíàïðàâëåíèÿõ.Âî-ïåðâûõ, Ýéëåíáåðãîì è Ñòèíðîäîì áûëè ñôîðìóëèðîâàíû1 àêñèîìûîáîù¼ííîé òåîðèè êîãîìîëîãèé, êîòîðûå ïîçäíåå ïðèâåëè ê èçó÷åíèþ ñòàáèëüíîé òåîðèè ãîìîòîïèé2 . Êàæäàÿ îáîáù¼ííàÿ òåîðèÿ êîãîìîëîãèé ïðåäñòàâèìà îáúåêòîì ãîìîòîïè÷åñêîé êàòåãîðèè ñïåêòðîâ, áëàãîäàðÿ ÷åìó èçó÷åíèå ðàçëè÷íûõ ñòðóêòóð íà ýòèõ òåîðèÿõ è (ñòàáèëüíûõ) îïåðàöèé ìåæäóíèìè ìîæåò áûòü âûïîëíåíî ïðè ïîìîùè èçó÷åíèÿ ýòèõ îáúåêòîâ. Íàïðèìåð,ñèíãóëÿðíûå êîãîìîëîãèè ïðåäñòàâëåíû ñïåêòðîì Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà, àêîìïëåêñíàÿ Ê-òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíà äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì êëàññèôèöèðóþùåãî ïðîñòðàíñòâà áåñêîíå÷íîé óíèòàðíîé ãðóïïû è äèñêðåòíîãî ìíîæåñòâà èç ñ÷¼òíîãî ÷èñëà òî÷åê ( × Z)2 .Äëÿ èçó÷åíèÿ îáîáù¼ííûõ òåîðèé êîãîìîëîãèé çà÷àñòóþ ïðèõîäèòñÿ îãðàíè÷èâàòü èõ êëàññ, ïîñêîëüêó ñâîéñòâà ïðîèçâîëüíîãî ñïåêòðà (íàïðèìåð,ñïåêòðà ñôåð) ìîãóò áûòü óñòðîåíû íåâåðîÿòíî ñëîæíî.
Êëàññ îðèåíòèðóåìûõ îáîáù¼ííûõ òåîðèé êîãîìîëîãèé ÿâëÿåòñÿ äîñòóïíûì äëÿ âû÷èñëåíèéè ñîñòîèò èç òàêèõ òåîðèé, â êîòîðûõ, ãðóáî ãîâîðÿ, ñîãëàñîâàííî âûáðàíèçîìîðôèçì Òîìà äëÿ âñåõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé. Óíèâåðñàëüíîé îðèåíòèðóåìîé òåîðèåé êîãîìîëîãèé ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûå êîáîðäèçìû, à äðóãèìèïðèìåðàìè ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíàÿ Ê-òåîðèÿ, êîãîìîëîãèè Áðàóíà-Ïåòåðñîíàè Ê-òåîðèè Ìîðàâû3 .Âî-âòîðûõ, â ïðèìåíåíèè ê àëãåáðàè÷åñêèì ìíîãîîáðàçèÿì òåîðèè êîãîìîëîãèé íà÷àëè îáðåòàòü íåêîòîðóþ "æ¼ñòêîñòü" è ñòàëè ñîäåðæàòü íå òîëüêîèíôîðìàöèþ î òîïîëîãè÷åñêîì òèïå ñîîòâåòñòâóþùåãî ìíîãîîáðàçèÿ, íî è îåãî ãåîìåòðèè.
ßðêèì ïðèìåðîì òàêîãî îáîáùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñòðóêòóðû Õîäæà (÷èñòîé, èçâåñòíîé òàêæå êàê êîãîìîëîãèè Õîäæà, è ñìåøàííîé),êîòîðîå, íàïðèìåð, ïîçâîëÿåò ðàçëè÷àòü ìåæäó ñîáîé ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûåíàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè (õîòÿ âñå ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå ãîìåîìîðôíûìåæäó ñîáîé). Ïîìèìî êîãîìîëîãèé Õîäæà ïîÿâèëèñü òàêæå àëãåáðàè÷åñêèåêîãîìîëîãèè äå Ðàìà, ýòàëüíûå (èëè -àäè÷åñêèå) êîãîìîëîãèè, êðèñòàëëè÷åñêèå (èëè êðèñòàëüíûå) êîãîìîëîãèè. Ïîèñê "óíèâåðñàëüíîé" òåîðèè êîãîìî1 EilenbergS., Steenrod N. E. Axiomatic approach to homology theory //Proceedings of theNational Academy of Sciences.
– 1945. – Т. 31. – №. 4. – С. 117-120.2 Adams J. F., Adams J. F. Stable homotopy and generalised homology. – University ofChicago press, 1995.3 Quillen D. Elementary proofs of some results of cobordism theory using Steenrod operations//Advances in Mathematics. – 1971. – Т. 7. – №. 1.
– С. 29-56.3ëîãèé, ïîëó÷èâøåé íàçâàíèå ìîòèâîâ, êîòîðûé áûë íà÷àò À. Ãðîòåíäèêîì â60-õ ãîäàõ, íà äàííûé ìîìåíò äàë¼ê îò óñïåøíîãî çàâåðøåíèÿ.Íà÷èíàÿ ñ ñåðåäèíû 90-õ ãîäîâ, ñ ïîÿâëåíèåì ìîòèâíîé òåîðèè ãîìîòîïèé àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé, ðàçðàáîòàííîé Â.
Âîåâîäñêèì è Ô. Ìîðåëåì4 , â àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè ïîÿâèëèñü òàêæå àíàëîãè îðèåíòèðóåìûõòåîðèé êîãîìîëîãèé, â ÷àñòíîñòè, àíàëîã êîìïëåêñíûõ êîáîðäèçìîâ, ïîëó÷èâøèé íàçâàíèå àëãåáðàè÷åñêèõ êîáîðäèçìîâ Âîåâîäñêîãî.  2000-õ Ì. Ëåâèíüè Ô. Ìîðåëü ñìîãëè ïîñòðîèòü áîëåå ìåíåå ÿâíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ìîäåëüäëÿ "÷èñòîé ÷àñòè" àëãåáðàè÷åñêèõ êîáîðäèçîâ Âîåâîäñêîãî, ïîëó÷èâøåé íàçâàíèå àëãåáðàè÷åñêèõ êîáîðäèçìîâ Ëåâèíà-Ìîðåëÿ5 . Àíàëîãè âñåâîçìîæíûõîðèåíòèðóåìûõ òåîðèé, ñóùåñòâóþùèõ â òîïîëîãèè, ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èçêîáîðäèçìîâ Ëåâèíà-Ìîðåëÿ çàìåíîé êîýôôèöèåíòîâ, çàäàâàåìîé âûáîðîìôîðìàëüíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà íàä ïðîèçâîëüíûì êîììóòàòèâíûì êîëüöîì.Ðàçëè÷íûå òåîðèè òàêîãî òèïà óæå ïîëó÷èëè ïðèìåíåíèå ê èçó÷åíèþ ãåîìåòðèè êâàäðèê6 , ñåìåéñòâ êâàäðèê7 , ê îáîáùåíèþ ôîðìóë ñòåïåíè Ðîñòà8 , áûëèîáíàðóæåíû ñâÿçè êîáîðäèçìîâ ñ èíâàðèàíòàìè Ãðîìîâà-Âèòòåíà9 .Äëÿ èçó÷åíèÿ ñâÿçåé ìåæäó òåîðèÿìè êîãîìîëîãèé èñïîëüçóþòñÿ îïåðàöèè, ïðè÷¼ì ïîëåçíûìè îêàçûâàþò äàæå îïåðàöèè èç òåîðèè êîãîìîëîãèé âñåáÿ.
Ñ îäíîé ñòîðîíû, åñëè íåêîòîðûå èíâàðèàíòû ìîãóò áûòü âû÷èñëåíûïðîñòî äëÿ íåêîòîðîãî ìíîãîîáðàçèÿ, òî îïåðàöèè ïîçâîëÿþò ñòðîèòü ýëåìåíòû â äðóãèõ òåîðèÿõ êîãîìîëîãèé, êîòîðûå ïîñòðîèòü äðóãèì ñïîñîáîì ìîæåòáûòü äîñòàòî÷íî ñëîæíî. Íàïðèìåð, êëàññû ×åðíà âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé ïîçâîëÿþò ñòðîèòü ýëåìåíòû â ãðóïïàõ ×æîó ìíîãîîáðàçèé, Ê-òåîðèÿ êîòîðûõâû÷èñëåíà (êàê, íàïðèìåð, ó îäíîðîäíûõ ïðîñòðàíñòâ).  ÷àñòíîñòè, ãàììàôèëüòðàöèÿ íà Ê-òåîðèè ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî îöåíèâàòü êðó÷åíèå â ïåðâûõíåñêîëüêèõ ãðóïïàõ ×æîó (äî êîðàçìåðíîñòè , åñëè èçó÷àåòñÿ -êðó÷åíèå)10 .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îïåðàöèè (â òîì ÷èñëå, è ýíäî-îïåðàöèè) íå ìîãóò ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì äåéñòâîâàòü íà êîãîìîëîãèÿõ è äîëæíû ñîõðàíÿòü ìíîãèå äîïîëíèòåëüíûå ñòðóêòóðû. Îêàçûâàåòñÿ, äàæå òàêîå ïðîñòîå íàáëþäåíèåïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ î êîãîìîëîãè÷åñêèõ èíâàðèàíòàõ â íåêîòîðûõ ñèòóàöèÿõ. ïåðâîé ÷àñòè äàííîé ðàáîòû èçó÷àåòñÿ ïîâåäåíèå äåéñòâèÿ àëãåáðû äèôôåðåíöèðîâàíèé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íà ñòðóêòóðàõ Õîäæà, ÿâëÿþùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ðàñøèðåíèÿìè ñòðóêòóð Òåéòà (ò.í.
ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà). ãåîìåòðèè ýòè îïåðàöèè áîëåå èçâåñòíû êàê àáñîëþòíàÿ ñâÿçíîñòü ÃàóññàÌàíèíà. Îäíàêî, Ì. Ðîâèíñêèé ïðåäëîæèë íåêîòîðóþ êîíñòðóêöèþ ýòèõ îïå4 MorelF., Voevodsky V. A 1-homotopy theory of schemes //Publications mathématiques del’IHÉS.
– 1999. – Т. 90. – №. 1. – С. 45-143.5 Levine M., Morel F. Algebraic cobordism. – Springer Science & Business Media, 2007.6 Vishik A. Generic points of quadrics and Chow groups //manuscripta mathematica. – 2007.– Т. 122. – №. 3. – С. 365-374.7 Panin I. Rationally isotropic quadratic spaces are locally isotropic //Inventionesmathematicae. – 2009. – Т. 176. – №.
2. – С. 397-403.8 Levine M. Steenrod operations, degree formulas and algebraic cobordism //Pure andApplied Mathematics Quarterly. – 2007. – Т. 3. – №. 1. – С. 283-306.9 Levine M., Pandharipande R. Algebraic cobordism revisited //Inventiones mathematicae.– 2009. – Т. 176. – №. 1. – С. 63-130.10 Karpenko N. A. Codimension 2 cycles on Severi–Brauer varieties //K-theory. – 1998.
– Т.13. – №. 4. – С. 305-330.4ðàöèé íà âñåõ ñòðóêòóðàõ Õîäæà-Òåéòà11 (â òîì ÷èñëå òåõ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ êîãîìîëîãèÿìè àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé) è äîêàçàë, ÷òî îíà åäèíñòâåííà ïðè åñòåñòâåííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ.Èçâåñòíàÿ îáîáù¼ííàÿ ãèïîòåçà Õîäæà óòâåðæäàåò, ÷òî àáåëåâà êàòåãîðèÿ ìîòèâîâ íàä C ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé â êàòåãîðèè ñòðóêòóðÕîäæà, îòêóäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî íà ñòðóêòóðå Õîäæà, ÿâëÿþùåéñÿêîãîìîëîãèÿìè íåêîòîðîãî àëãåáðàè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ àáñîëþòíàÿ ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà.
Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâýòîé ñâÿçíîñòè ñëåäóåò, ÷òî îíà äîëæíà áûòü ïëîñêîé, èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, ÷òî äåéñòâèå àëãåáðû äèôôåðåíöèðîâàíèé ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèåì àëãåáðûËè. Ìû ñòðîèì íåêîòîðóþ ïîäêàòåãîðèþ â êàòåãîðèè ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà,ñîñòîÿùóþ èç "ïëîñêèõ" îáúåêòîâ, è, òàêèì îáðàçîì, ãèïîòåòè÷åñêè ñîäåðæàùóþ âñå ñòðóêòóðû Õîäæà, ïðèõîäÿùèå èç ãåîìåòðèè. Ïîëó÷èâøàÿñÿ êàòåãîðèÿ ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ïðèáëèæåíèåì ê ãèïîòåòè÷åñêîé êàòåãîðèè ìîòèâîâÒåéòà íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, è ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê èíòåðåñíûéòåñòîâûé ïðèìåð.Âî âòîðîé ÷àñòè äàííîé ðàáîòû èçó÷àþòñÿ îïåðàöèè èç àëãåáðàè÷åñêèõ Êòåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó è äðóãèå îðèåíòèðîâàííûå òåîðèè. Ê-òåîðèèÌîðàâû (ïàðàìåòðèçóåìûå ïðîñòûì ÷èñëîì è íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ) ÿâëÿþòñÿ çàãàäî÷íûìè îáîáùåíèÿìè Ê-òåîðèè Ãðîòåíäèêà, îäíàêî, íå îáëàäàþùèìè íà äàííûé ìîìåíò ÿâíîé ãåîìåòðè÷åñêîé êîíñòðóêöèåé.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
