Автореферат (1137442), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Èñïîëüçóÿ ýòî, ìûäîêàçûâàåì îäèí èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè:Теорема 9 ([2, Òåîðåìà 10]). Пусть ()* – -ая К-теория Моравы.Тогда существуют операции : ()* → ⊗ Z() , которые мы будемназывать классами Черна, удовлетворяющие следующим свойствам:1. операция = 1 + 2 + . . . удовлетворяет формуле Картана: ( + ) = () ( (), ());(1)˜ * в группы2.
операции свободно порождают кольцо операций из ()Чжоу, т.е.˜ * , * ⊗ Z() ] = Z() [[1 , 2 , . . .]].[()Замечание 10. Îïåðàöèè 1 , . . . , èç -îé Ê-òåîðèè Ìîðàâû, ëîãàðèôì∑︀ ôîðìàëüíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà êîòîðîé ðàâåí ∞=0 , â ãðóïïû ×æîó ñ ëîêàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ïî ìîäóëþ êðó÷åíèÿ è óäîâëåòâîðÿþùèå ôîðìóëå Êàðòàíà áûëè ïîñòðîåíû Â.Ïåòðîâûì è Í.Ñåì¼íîâûì13 .13 PetrovV., Semenov N. Morava K-theory of twisted flag varieties // arXiv preprintarXiv:1406.3141. – 2014.10Êëþ÷åâûì ôàêòîì â äîêàçàòåëüñòâå Òåîðåìû 9 ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî èçîìîðôèçìû ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ () è (àääèòèâíûé ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí) íàä Q çàäà¼òñÿ ðÿäîì îò , ñîäåðæàùèì òîëüêî ìîíîìû,ñòåïåíü êîòîðûõ ðàâíà 1 ïî ìîäóëþ − 1.
Îêàçûâàåòñÿ, äëÿ ïðîèçâîëüíîéòåîðèè ðàöèîíàëüíîãî òèïà, óäîâëåòâîðÿþùåé àíàëîãè÷íîìó ñâîéñòâó, ìîæíîòàêæå ïîñòðîèòü êëàññû ×åðíà èç Ê-òåîðèé Ìîðàâû.Òåîðèè, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó ñâîéñòâó, ìû íàçâàëè -òèïè÷åñêèìè ïîàíàëîãèè ñ -òèïè÷åñêèìè ôîðìàëüíûìè ãðóïïîâûìè çàêîíàìè, îòêðûòûìèÏ. Êàðòüå14 .Определение 11. Ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí (, ) íàä Z() -àëãåáðîé íàçîâ¼ì -типическим, åñëè îí -òèïè÷åñêèé è [] · ñîäåðæèò òîëüêîñëàãàåìûå , ãäå ≡ 1 mod ( − 1).Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò àíàëîãèþ ìåæäó -òèïè÷åñêèìè è òèïè÷åñêèìè ô.ã.ç.Предложение 12. Формальный групповой закон над Z() -алгеброй безкручения является -типическим, если и только если логарифм имеетвид:∞∑︁log () = ,(2)=0где ∈ ⊗ Q.Òåîðèè ðàöèîíàëüíîãî òèïà, ô.ã.ç. êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ -òèïè÷åñêèìè áóäåì òàêæå íàçûâàòü -òèïè÷åñêèìè.
 ðàáîòå ìû ïîñòðîèëè êëàññû ×åðíàèç Ê-òåîðèè Ìîðàâû â òàêèõ òåîðèÿõ, óäîâëåòâîðÿþùèå òåì æå ñâîéñòâàì,÷òî è â ñëó÷àå ãðóïï ×æîó.Теорема 13. Пусть * – -типическая теория.Тогда существуют операции : ()* → * , т.ч.1. тотальный класс = 1 + 2 + . . . удовлетворяет формуле Картана: ( + ) = () ( (), ());2. операция лежит в -ом члене фильтрации Черна;Пусть также кольцо является свободным Z() -модулем. Тогда все операции из ()* в * единственным образом выражаются как ряды от классов Черна, т.е.˜ * , * ] = [[1 , .
. . , , . . .]].[()Âàæíûì ïðèìåðîì -òèïè÷åñêîé òåîðèèÿ ÿâëÿåòñÿ -àÿ Ê-òåîðèÿ Ìîðàâû, ïîýòîìó ñîãëàñíî Òåîðåìå 13 ñóùåñòâóþò êëàññû ×åðíà èç ()* â()* , ïîðîæäàþùèå âñå ýíäî-îïåðàöèè â Ê-òåîðèè Ìîðàâû. Èñïîëüçóÿ ýòèêëàññû ×åðíà, ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ãàììà-ôèëüòðàöèþ íà Ê-òåîðèÿõ Ìîðàâû â òî÷íîñòè òàê æå, êàê îíà îïðåäåëÿåòñÿ íà Ê-òåîðèè, è óäîâëåòâîðÿåòàíàëîãè÷íûì ñâîéñòâàì.14 CartierP.
Modules associes a un groupe formel commutatif //Courbes typiques. CR Acad.Sc. Paris. – 1967. – Т. 265. – С. 129-132.11Определение 14. Ïóñòü ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå íàä ïîëåì , îïðåäåëèìãàììà-ôèëüòðàöèþ íà çíà÷åíèÿõ -îé Ê-òåîðèè Ìîðàâû íà í¼ì ñîãëàñíî ñëåäóþùåé ôîðìóëå:∑︁ ()* () :=< 1 (1 ) · · · ( )| ≥ , ∈ ()* () > .Предложение 15. Гамма-фильтрация удовлетворяет следующим свойствам:1.
| +1 ()* = 0;2. операция является аддитивной при ограничении на ()* , и задаёт рациональный изоморфизм на присоединённом факторе:∼ ()* ⊗ Q −→ ⊗ Q;3. операция : ()* → ⊗ Z() сюрьективна при : 1 ≤ ≤ .Åñëè òàêîå ìíîãîîáðàçèå, ÷òî åãî -àÿ Ê-òåîðèÿ Ìîðàâû âìåñòå ñãàììà-ôèëüòðàöèåé ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà, òî, èñïîëüçóÿ êëàññû ×åðíà, ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêè íà -êðó÷åíèå â ãðóïïàõ ×æîó êîðàçìåðíîñòè íå áîëåå .Äëÿ = 2 ñîãëàñíî ðåçóëüòàòó Í.
Ñåì¼íîâà15 ïðèìåðàìè òàêèõ ìíîãîîáðàçèéÿâëÿþòñÿ êâàäðèêè, êëàññû êîòîðûõ ëåæàò â ( + 2)-îé ñòåïåíè ôóíäàìåíòàëüíîãî èäåàëà êîëüöà Âèòòà. Ïîëó÷àþùèåñÿ îöåíêè ñôîðìóëèðîâàíû íàìèâ ñëåäóþùåé òåîðåìå.Теорема 16. Пусть – гладкая квадрика размерности 2, т.ч. класс соот-ветствующей квадратичной формы лежит в идеале +2 кольца Витта.Пусть ≡ 0 mod (2 − 1), где 0 ∈ [1, 2 − 1].Если 0 = 1, то кручение в () равно нулю при 1 ≤ ≤ 2 − 1, иявляется фактором группы Z/22 при = 2 .Если 0 ̸= 1, то кручение в () равно нулю при 1 ≤ ≤ 0 −1, кручениев 0 () является фактором группы Z/20 и кручение в () являетсяфактором группы Z/2 при 0 + 1 ≤ ≤ 2 .Заключение äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå èññëåäîâàíû íåêîòîðûå îïåðàöèè ìåæäó ñèíãóëÿðíûìè êîãîìîëîãèÿìè àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè è êëàññèôèöèðîâàíû âñå îïåðàöèè èç àëãåáðàè÷åñêèõ Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó è äðóãèå îðèåíòèðóåìûå òåîðèè. ïðåäïîëîæåíèè îáîáù¼ííîé ãèïîòåçû Õîäæà äåéñòâèå àëãåáðû äèôôåðåíöèðîâàíèé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íà êîãîìîëîãèÿõ äå Ðàìà (à, çíà÷èò, è íàñèíãóëÿðíûõ êîãîìîëîãèÿõ ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè) ìîæåò áûòüâîññòàíîâëåíî ïî ñòðóêòóðå Õîäæà íà ýòèõ êîãîìîëîãèÿõ.
Íà ïðîèçâîëüíîéñòðóêòóðå Õîäæà-Òåéòà êîíñòðóêöèÿ ýòîãî äåéñòâèÿ ñóùåñòâóåò áåç êàêèõëèáî ïðåäïîëîæåíèé, îäíàêî, íå âî âñåõ ñëó÷àÿõ äîñòàâëÿåò äåéñòâèå àëãåáðû15 SemenovN. Cohomological invariants of algebraic groups and the Morava K-theory // arXivpreprint arXiv:1406.5609. – 2014.12Ëè, êàêîâûì îíî äîëæíî áûòü íà ñòðóêòóðàõ Õîäæà-Òåéòà, ÿâëÿþùèõñÿ êîãîìîëîãèÿìè ìíîãîîáðàçèé. Èçó÷åíèå ïîëíîé ïîäêàòåãîðèè, ñîñòîÿùåé èç òåõîáúåêòîâ, íà êîòîðûõ äåéñòâèå àëãåáðû äèôôåðåíöèðîâàíèé óäîâëåòâîðÿåòóêàçàííîìó "ãåîìåòðè÷åñêîìó" ïðåäïîëîæåíèþ, òàêèì îáðàçîì ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïðèáëèæåíèå ê ãèïîòåòè÷åñêîé êàòåãîðèè ìîòèâîâ Òåéòàíàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. ðàáîòå äîêàçàíà òàííàêèåâîñòü êàòåãîðèè ïëîñêèõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà,ñîñòîÿùåé èç òåõ ñòðóêòóð, íà êîòîðûõ äåéñòâèå àëãåáðû äèôôåðåíöèðîâàíèéêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèåì àëãåáðû Ëè.
 êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿýòîãî ðåçóëüòàòà âû÷èñëåíà àëãåáðà "äèàãîíàëüíûõ" Ext'îâ, óñòðîéñòâî êîòîðîé íàïîìèíàåò Ê-òåîðèþ Ìèëíîðà. Ñîãëàñíî ãèïîòåçàì Áåéëèíñîíà â (íàäàííûé ìîìåíò íåñóùåñòâóþùåé) àáåëåâîé êàòåãîðèè ìîòèâîâ Òåéòà Ê-òåîðèÿÌèëíîðà ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé "äèàãîíàëüíûõ" Ext'îâ, ÷òî êîñâåííî ïîäòâåðæäàåò àäåêâàòíîñòü ðàññìîòðåíèÿ êàòåãîðèè ïëîñêèõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà.Àëãåáðàè÷åñêèå Ê-òåîðèè Ìîðàâû, õîòü è ïîÿâèëèñü â ðàáîòàõ íåêîòîðûõìàòåìàòèêîâ îêîëî 20 ëåò íàçàä, ÿâëÿþòñÿ ïîêà ìàëî îïðîáîâàííûì èíñòðóìåíòîì èçó÷åíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé.  äàííîé ðàáîòå ìû êëàññèôèöèðóåì âñåâîçìîæíûå îïåðàöèè èç Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó ñ-ëîêàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.
C îäíîé ñòîðîíû ýòîò ðåçóëüòàò ïîçâîëÿåòïîëó÷èòü íîâóþ èíôîðìàöèþ î êðó÷åíèè â ãðóïïàõ ×æîó íåêîòîðûõ ìíîãîîáðàçèé, à ñ äðóãîé îòêðûâàåò ïåðñïåêòèâû äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèéÌîðàâà-îðèåíòèðóåìûõ òåîðèé.Äåéñòâèòåëüíî, â äàííîé ðàáîòå èçó÷àþòñÿ òîëüêî îïåðàöèè èç Ê-òåîðèéÌîðàâû, êîòîðûå ïðèíèìàþò çíà÷åíèå â îðèåíòèðóåìûõ òåîðèÿõ. Îäíàêî,ìîæíî ïðåäïîëîæèòü ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ òåîðèé êîãîìîëîãèé, ñî çíà÷åíèÿìè â êîòîðûõ ìîæíî îïðåäåëèòü êëàññû ×åðíà èç Ê-òåîðèé Ìîðàâû, â òîâðåìÿ êàê êëàññû ×åðíà âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé ìîãóò áûòü íå îïðåäåëåíû.Ïåðñïåêòèâû ýòîãî íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé îäíîâðåìåííî òóìàííû è çàìàí÷èâû.Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованныхВАК1. Ñå÷èí Ï.
Êàòåãîðèÿ ïëîñêèõ ñòðóêòóð ÕîäæàÒåéòà // Ìàòåìàòè÷åñêèåçàìåòêè. 2016. Ò.99. .1. C. 149154.2. Ñå÷èí Ï. Êîëüöî îïåðàöèé èç Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó // Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè. 2017. Ò.101. . 1 (2017). Ñ. 150-154.Работы, опубликованные автором в других изданиях3. Sechin P. Chern classes from Morava K-theories to Chow groups [Ýëåêòðîííûéðåñóðñ]. Working Papers of Cornell University, 2016. Arxiv:1605.04444. Ðåæèì äîñòóïà: https://arxiv.org/abs/1605.0444413Ëèöåíçèÿ ËÐ 020832 îò ¾15¿ îêòÿáðÿ 1993 ã.2017 ã. Ôîðìàò 60õ84/16Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü ¾ ¿Áóìàãà îôñåòíàÿ.
Ïå÷àòü îôñåòíàÿ.Óñë. ïå÷. ë. 1.Òèïîãðàôèÿ ÍÈÓ ÂØÝ,Òèðàæ 100 ýêç. Çàêàç 125319, ã. Ìîñêâà, Êî÷íîâñêèé ïð-ä., ä. 3..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
