Автореферат (1137442), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Òåì íå ìåíåå,îïèðàÿñü íà òåîðåìó Âèøèêà, ñâîäÿùóþ çàäà÷ó êëàññèôèêàöèè îïåðàöèé èçòåîðèé òèïà àëãåáðàè÷åñêèõ êîáîðäèçìîâ â îðèåíòèðîâàííûå òåîðèè ê àëãåáðåôîðìàëüíûõ ðÿäîâ, íàì óäà¼òñÿ ïîñòðîèòü "êëàññû ×åðíà" èç -îé Ê-òåîðèéÌîðàâû â ãðóïïû ×æîó, â -óþ Ê-òåîðèþ Ìîðàâû è â íåêîòîðûå äðóãèå îðèåíòèðîâàííûå òåîðèè, êîòîðûå ìû íàçûâàåì -òèïè÷åñêèìè. Êëàññû ×åðíàïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ãàììà-ôèëüòðàöèþ íà Ê-òåîðèÿõ Ìîðàâû, ïðèñîåäèí¼ííûå ôàêòîðû êîòîðîé ñþðüåêòèâíî è àääèòèâíî îòîáðàæàþòñÿ â ãðóïïû×æîó êîðàçìåðíîñòåé íå áîëåå . Äëÿ êâàäðèê îïðåäåë¼ííîãî òèïà Ê-òåîðèÿÌîðàâû íåñëîæíî âû÷èñëÿåòñÿ, è îïåðàöèè âûøå ïîçâîëÿþò îöåíèòü êðó÷åíèå â èõ ãðóïïàõ ×æîó.Цели исследованияÖåëÿìè äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òàííàêèåâîñòè êàòåãîðèè ïëîñêèõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà è êëàññèôèêàöèÿ îïåðàöèé èç àëãåáðàè÷åñêèõ Êòåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó ñ Z() -êîýôôèöèåíòàìè.Научная новизнаÂñå ïðåäñòàâëåííûå íà çàùèòó ïîëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íîâûìè íàó÷íûìè ðåçóëüòàòàìè.
 ÷àñòíîñòè, âïåðâûå èññëåäîâàíà êàòåãîðèÿ ïëîñêèõ ñòðóêòóðÕîäæà-Òåéòà êàê àáåëåâà êàòåãîðèÿ. ×àñòè÷íûå ðåçóëüòàòû îá îïåðàöèÿõ èçÊ-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó áûëè ïîëó÷åíû ðàíåå Â. Ïåòðîâûì è Í. Cåì¼íîâûì, îäíàêî, èõ êîíñòðóêöèè êàñàëèñü îïåðàöèé, íå ó÷èòûâàþùèõ êðó÷å11 RovinskyM. The Gauß–Manin connection on the Hodge–Tate structures // ComptesRendus de l’Académie des Sciences-Series I-Mathematics. – 2001. – Т. 333. – №. 4.
– С. 333-337.5íèå. Êëàññèôèêàöèÿ îïåðàöèé èç àëãåáðàè÷åñêèõ Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû×æîó âûïîëíåíà âïåðâûå.Положения, выносимые на защитуÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèîííîãî èññëåäîâàíèÿ çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì:∙ îïèñàíèå êàòåãîðèè ïëîñêèõ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà êàê ïðåäñòàâëåíèéÿâíî çàäàííîé àëãåáðû Õîïôà;∙ ïîñòðîåíèå îïåðàöèé èç àëãåáðàè÷åñêèõ Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó ñ Z() -êîýôôèöèåíòàìè, óäîâëåòâîðÿþùèõ ìîäèôèöèðîâàííîéôîðìóëå Êàðòàíà;∙ äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ïîñòðîåííûå îïåðàöèè ñâîáîäíî ïîðîæäàþòêîëüöî âñåõ îïåðàöèé.Теоретическая значимость работыÄèññåðòàöèÿ íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. ż ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè îäíîðîäíûõ ïðîñòðàíñòâ íàä àëãåáðàè÷åñêè íåçàìêíóòûìè ïîëÿìè, òåîðèè ìîòèâîâ Òåéòà ñ êîìïëåêñíûìè è êîíå÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè, èçó÷åíèè îáîáù¼ííûõ îðèåíòèðîâàííûõ òåîðèéêîãîìîëîãèé.Методы исследования äàííîé ðàáîòå èñïîëüçîâàíû ìåòîäû ãîìîëîãè÷åñêîé àëãåáðû, àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè è àëãåáðû.Степень достоверности и апробация результатовÏðåäñòàâëåííûå íà çàùèòó ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ è ñîïðîâîæäàþòñÿ ñòðîãèìè äîêàçàòåëüñòâàìè.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü∙ íà âîðêøîïå "Algebraic Cobordism and Projective Homogeneous Varieties"â Îáåðâîëüôàõå (Ãåðìàíèÿ), ôåâðàëü 2016 ã.;∙ íà ñåìèíàðå Ô.
Ìîðåëÿ â Ìþíõåíå, ìàé 2016 ã.;∙ íà ñåìèíàðå â Èññëåäîâàòåëüñêîé Ëàáîðàòîðèè èìåíè Ï.Ë.×åáûøåâà âÑàíêò-Ïåòåðáóðãå, íîÿáðü 2016 ã.;∙ íà Êîíêóðñå Àâãóñòà ̼áèóñà â Ìîñêâå, íîÿáðü 2016 ã.6Основное содержание работыÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, äâóõ ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðûèç 35 íàèìåíîâàíèé. Îáùèé îáú¼ì äèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 105 ñòðàíèö.Во "Введении" èçëîæåíà àêòóàëüíîñòü òåìû èññëåäîâàíèÿ, ïîñòàâëåíûöåëè èññëåäîâàíèÿ, îïèñàíà òåîðåòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü ðàáîòû è ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.
Òàêæå ïðèâåä¼í ñïèñîê ñåìèíàðîâ è êîíôåðåíöèé, íà êîòîðûõñîñòîÿëàñü àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ, è îïèñàíà ñòðóêòóðà îñíîâíîé ÷àñòè òåêñòà äèññåðòàöèè.Äàëåå ìû ïðèâîäèì êðàòêîå ñîäåðæàíèå ïåðâîé è âòîðîé ãëàâ äèññåðòàöèè.Категория плоских структур Ходжа-Тейта ïåðâîì ðàçäåëå ïåðâîé ãëàâû ìû íàïîìèíàåì, êàê óñòðîåíû êàòåãîðèè Òåéòà. Çàôèêñèðóåì ïîëå . Äàëåå âñå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà ïðåäïîëàãàþòñÿâåêòîðíûìè ïðîñòðàíñòâàìè íàä , à âñå ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè (â ÷àñòíîñòè, àëãåáðû Õîïôà ÿâëÿþòñÿ -áèàëãåáðàìè).
Ñèìâîë⊗ îáîçíà÷àåò òåíçîðíîå óìíîæåíèå -âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ.Определение 1. Íåéòðàëüíàÿ òàííàêèåâà êàòåãîðèÿ ( , ⊗) âìåñòå ñ âûäåëåííûì îäíîìåðíûì îáúåêòîì (1) íàçûâàåòñÿ êàòåãîðèåé Òåéòà, åñëè êàæäûé îáúåêò ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì îáúåêòîâ (), ∈ Z, ãäå (0) åäèíè÷íûé îáúåêò òàííàêèåâîé êàòåãîðèè,{︃(1)⊗ ,åñëè > 0,() :=⊗(−) *((1)) , åñëè < 0;îáúåêòû () íåèçîìîðôíû äëÿ ðàçíûõ è Ext1 ((0), ()) = 0 ïðè ≤ 0.Íà êàòåãîðèÿõ Òåéòà èìååòñÿ êàíîíè÷åñêèé ôóíêòîð ñëîÿ â ãðàäóèðîâàííûå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà. Áëàãîäàðÿ ýòîìó, òàííàêèåâ ôîðìàëèçì ïîçâîëÿåò îòîæäåñòâèòü êàòåãîðèþ Òåéòà ñ êàòåãîðèåé ãðàäóèðîâàííûõ ïðåäñòàâëåíèé íåêîòîðîé ñâÿçíîé àëãåáðû Õîïôà.Êàòåãîðèÿ ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ïðèìåðîì êàòåãîðèèÒåéòà, ïðè÷¼ì êîíñòðóêöèÿ Ðîâèíñêîãî äîñòàâëÿåò ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíàíà çíà÷åíèÿõ ôóíêòîðà ñëîÿ íà ýòîé êàòåãîðèè Òåéòà.
Íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿïîñòðîåíèå ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèè ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà, ñîñòîÿùåé èç òåõñòðóêòóð, íà êîòîðûõ àáñîëþòíàÿ ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé.Ìû èñïîëüçóåì òàííàêèåâ ôîðìàëèçì, ÷òî îïèñûâàòü ïîëó÷ÿþùèåñÿ òàêèìîáðàçîì êàòåãîðèè êàê ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáð Õîïôà ñî ñâÿçíîñòüþ.Определение 2. Ïóñòü Ω1 = Ω1/ ìîäóëü êýëåðîâûõ äèôôåðåíöèàëîâíåêîòîðîãî ðàñøèðåíèÿ ïîëåé ⊂ , ñâÿçíàÿ àëãåáðà Õîïôà íàä , èçàäàíû -ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå O : → Ω1 ⊗ è ýëåìåíò ∈ Ω1 .Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî (O, ) (èëè êîðîòêî O) ñîãëàñîâàíî ñî ñòðóêòóðîé àëãåáðû Õîïôà, åñëè êîììóòàòèâíû ñëåäóþùèå äèàãðàììû (, , îáîçíà÷àþòêîóìíîæåíèå, óìíîæåíèå, êîåäèíèöó ñîîòâåòñòâåííî):7O>⊗O∨Ω1 ⊗ ⊗ >∨⊗O ⊗ + ⊗ O∨Ω1 ⊗ ⊗ Ω1 ⊗ ⊗ > ⊗ >∨OΩ1 ⊗ .ãäå äëÿ ∈ grO( ⊗ ) = ⊗ ⊗ + ⊗ O().Íà ãðàäóèðîâàííûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ àëãåáðû Õîïôà ñî ñâÿçíîñòüþ (â ñìûñëå Îïðåäåëåíèÿ 2) êàíîíè÷åñêè èíäóöèðóåòñÿ ñâÿçíîñòü, è ìîæíî ïîêàçàòü,÷òî âñå êàòåãîðèè Òåéòà "ñî ñâÿçíîñòüþ" óñòðîåíûì òàêèì æå îáðàçîì.Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ýòîãî ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ïîäêàòåãîðèè ïëîñêèõ îáúåêòîâ êàê ïðåäñòàâëåíèé íåêîòîðîé ïîäàëãåáðû Õîïôà.Теорема 3.
Пусть ∙ – связная алгебра Хопфа со связностью O.Обозначим ∙ℎ = { ∈ ∙ |O2 () = 0} – элементы ∙ , плоские относительно связности, где O2 = ( ⊗ − id ∧ O) ∘ O : → (∧2 Ω1 ) ⊗ – кривизнасвязности.Индуктивно определим векторное подпространство ℎ∙ ⊂ ∙ :ℎ0 = 0ℎ = , ≥ 0,ℎℎ+1 := { ∈ +1|() − 1 ⊗ − ⊗ 1 ∈ ⊕=1 ℎ ⊗ ℎ+1− }.Тогда подкатегория плоских представлений ∙ является таннакиевой иэквивалентна категории представлений ℎ∙ .В частности, связность O ограничивается на ℎ∙ и категория плоскихобъектов является категорией Тейта.Âî âòîðîì ðàçäåëå ïåðâîé ãëàâû ìû ïðèìåíÿåì ïîñòðîåííûé ôîðìàëèçìê êàòåãîðèè ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà è ñâÿçíîñòè íà íèõ, ïîñòðîåííîé Ì.Ç.
Ðîâèíñêèì.Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå := Ker log : (C× ⊗ Q) ⊗Q (C× ⊗ Q) → Ω2C/Q ,21∧ .ãäå log(1 ⊗ 2 ) = 12Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ýòîé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Теорема 4. Категория плоских структур Ходжа-Тейта является категорией Тейта.Соответствующая градуированная алгебра Хопфа ℋ ℎ∙ устроена так:⊗˜ ⊗ ⊗(−−2) ,ℋ ℎ∙ = ⊕≥0 ∩−2⊗=0 ˜ = ⊕ ⨁︀где = ⊕>0 Ext1ℳℋ Q (Q(0), Q()), ,:(,)̸=(1,1) ⊗ ⊂ ( ⊗ ).⨁︀Следствие 5. Градуированная алгебраExtℳℋ ℎ (Q(0), Q()) порожденаQэлементами степени 1, C× ⊗ Q, является квадратичной с идеалом соотношений, порождённым .8Операции из К-теорий МоравыÂî âòîðîé ãëàâå ìû ñòðîèì êëàññû ×åðíà èç Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû×æîó è äðóãèå òåîðèè, à òàêæå ïðèìåíÿåì èõ äëÿ ïîëó÷åíèÿ íîâûõ îöåíîêíà êðó÷åíèå â ãðóïïàõ ×æîó êâàäðèê. ïåðâûõ ðàçäåëàõ âòîðîé ãëàâû ìû ââîäèì îñíîâíûå ïîíÿòèÿ: îáîáù¼ííàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ òåîðèÿ êîãîìîëîãèé (î.î.ò.ê.), îïåðàöèè è ïîëè-îïåðàöèè,òåîðèè ðàöèîíàëüíîãî òèïà, à òàêæå ôîðìóëèðóåì òåîðåìó Âèøèêà, ÿâëÿþùóþñÿ îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì íàøèõ âû÷èñëåíèé.Çàôèêñèðóåì ïîëå õàðàêòåðèñòèêè 0, è íàïîìíèì, ÷òî ñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíàÿ î.î.ò.ê.
Ω* íà êàòåãîðèè ãëàäêèõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé íàäïîëåì , íàçûâàåìàÿ àëãåáðàè÷åñêèìè êîáîðäèçìàìè Ëåâèíà-Ìîðåëÿ. Êîëüöî êîýôôèöèåíòîâ ýòîé òåîðèè Ω* (Spec ) êàíîíè÷åñêèå èçîìîðôíî êîëüöóËàçàðà L, êëàññèôèöèðóþùåìó ôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû.Äëÿ ëþáîãî êîììóòàòèâíîãî êîëüöà è ôîðìàëüíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà íà í¼ì ñóùåñòâóåò î.î.ò.ê. Ω* ⊗L , íàçûâàåìàÿ свободной теорией èëè теорией рационального типа. Ïðèìåðàìè òåîðèé ðàöèîíàëüíîãî òèïà ÿâëÿþòñÿ * , 0 è àëãåáðàè÷åñêèå Ê-òåîðèè Ìîðàâû ()* .Ïîñëåäíèå ÿâëÿþòñÿ íåêèì îáîáùåíèåì 0 ⊗ Z() , ãäå ôèêñèðîâàííîåïðîñòîå ÷èñëî, è ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì.Определение 6. Òåîðèÿ ðàöèîíàëüíîãî òèïà íàä Z() , ëîãàðèôì ôîðìàëü-íîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà êîòîðîé èìååò âèälog() () = +∞∑︁=1 ,ãäå ∈ Z×() äëÿ ëþáûõ ≥ 1, íàçûâàåòñÿ -ой К-теорией Моравы è îáîçíà÷àåòñÿ ()* .Âàæíî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ïðîñòîãî ÷èñëà è íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàçëè÷íûõ ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõçàêîíîâ íàä Z() , óäîâëåòâîðÿþùèõ Îïðåäåëåíèþ 6, è, êàê ñëåäñòâèå, ðàçëè÷íûõ -ûõ Ê-òåîðèé Ìîðàâû.
Îäíàêî, ìû îáîçíà÷àåì ëþáóþ èç íèõ êàê ()* ,è âïîñëåäñòâèè äîêàçûâàåì, ÷òî ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òàêèìè òåîðèÿìè ñóùåñòâóåò àääèòèâíûé èçîìîðôèçì.Определение 7. Îïåðàöèåé ìåæäó òåîðèÿìè ðàöèîíàëüíîãî òèïà * è *íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ôóíêòîðîâ * → * , ãäå * , * ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû èç êàòåãîðèè ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé íàä ïîëåì â êàòåãîðèþ ìíîæåñòâ.Âû÷èñëåíèå îïåðàöèé ìåæäó òåîðèÿìè êîãîìîëîãèé â àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñëîæíîé çàäà÷åé, ÷åì â òîïîëîãèè.
Îäíàêî, ñëåäóþùèéðåçóëüòàò Âèøèêà ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü îïåðàöèè ìåæäó îðèåíòèðîâàííûìèòåîðèÿìè ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêè.Теорема 8 (Âèøèê12 ). Пусть * – теория рационального типа, * – о.о.т.к.12 Теорема5.2, Vishik A. Operations and poly-operations in Algebraic Cobordism // arXivpreprint arXiv:1409.0741. – 2014.9Тогда множество операций из * в * находится во взаимно однозначномсоответствии со множеством следующих данных:отображениями множеств {} : * ((P∞ )× ) → * ((P∞ )× ) для ≥ 1,коммутирующими с морфизмами ограничения относительно следующих группморфизмов:1. перестановками компонент (P∞ )× ;2. частичными проекциями;3.
частичными диагоналями;4. частичными вложениями точек;5. частичными отображениями Сегрэ.Аналогичное утверждение формулируется для поли-операций.Ìû èñïîëüçóåì ýòó òåîðåìó ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìíîæåñòâî àääèòèâíûõîïåðàöèé èç ()* â ⊗ Z() íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèÿìè íåêîòîðîé êîíå÷íîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Âû÷èñëåíèå ðàíãà ìàòðèöû ýòîé ñèñòåìû âìåñòå ñ ëîêàëüíîñòüþ êîëüöà êîýôôèöèåíòîâ ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü îäíîìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé. Áîëååòîãî, ïîðîæäàþùàÿ öåëî÷èñëåííûõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé â ⊗ Z() ðàöèîíàëüíî äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíàÿ -îé êîìïîíåíòå õàðàêòåðà ×åðíàℎ∙ : ()* → ∙ ⊗ Q.Äàëåå ìû èçó÷àåì ðàöèîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû îò -öåëî÷èñëåííûõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé, êîòîðûå åñòåñòâåííûì îáðàçîì çàäàþò îïåðàöèè â * ⊗Q.Îäíàêî, èç òåîðåìû Âèøèêà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ýòè îïåðàöèè äåéñòâóþò öåëî÷èñëåííî íà ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ, òî îíè åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïîäíèìàþòñÿ äî -öåëî÷èñëåííûõ îïåðàöèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
