Диссертация (1137443), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè â ðÿäó +−1 +. . .+ + 1 (+1)+. . . ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííûìè ìíîãî÷ëåíîì.Ïåðâûå (+1) ñëàãàåìûõ ýòîãî âûðàæåíèÿ, î÷åâèäíî, -öåëî÷èñëåííû.(+)Îñòàâøèåñÿ ñëàãàåìûå èìåþò âèä +äëÿ > 0 . Ðàññìîòðèì ïðî-èçâîäíóþ ïî òàêîãî âûáðàæåíèÿ. Îíà ðàâíà +(−1) (+) −1 ′ , è ÿâëÿ-åòñÿ -öåëî÷èñëåííûì ðÿäîì, êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî äåëÿòñÿ íà +(−1) .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êîýôôèöèåíò ïðè óìíîæàåòñÿ íà = ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè. Ïîñêîëüêó () = + () ≤ + − 1 ≤ + ( − 1) ,ïîëó÷àåì, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííûì, è óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.2p.
Ðàññìîòðèì îòäåëüíî äâà ñëó÷àÿ.Ïåðâûé ñëó÷àé: ïóñòü () < − 1 . Òîãäà ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåíû mod , mod ïðîïîðöèîíàëüíû, îòêóäà, î÷åâèäíî, ñëåäóåòïðîïîðöèîíàëüíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ ˜ mod , ˜ mod .Àíàëîãè÷íî ðàññóæäåíèþ â ïóíêòå 2 è èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî () <(+)+−1 , ïîëó÷àåì, ÷òî ñëàãàåìûå +äàþò ñðàâíèìûé ñ íóë¼ì âêëàäâ ïðè > 0 . Òàêèì îáðàçîì, ìíîãî÷ëåí − ñðàâíèì ñ [ ] ïîìîäóëþ .
Ïîñëåäíèé ìíîãî÷ëåí ðàâåí ïî ìîäóëþ .55Àíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí − ñðàâíèìc ìíîãî÷ëåíîì [ ] ïî ìîäóëþ , è òàêèì îáðàçîì ðàâíî . Óòâåðæäåíèåäëÿ ïåðâîãî ñëó÷àÿ äîêàçàíî.Âòîðîé ñëó÷àé: ïóñòü () = −1 . Òîãäà ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, ïîëó÷àåì, ÷òî ìíîãî÷ëåí − ðàâåí ( ìîäóëþ , à ìíîãî÷ëåí − ðàâåí1 [ ]++1 (+1))[ ]ïîïî ìîäóëþ .Íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî1 (+1) 1 [] = ( [ ])(2.9)mod ,âûïîëíåííîå åñëè îïðåäåë¼ííûå ïåðåìåííûå â ïîëîæèòü ðàâíûìè íóëþ.Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.9.4 +1 ≡ (1 )+1 mod , ≡ (1 ) mod , òî âûïîëíåíî:1 + (1 )+1 [ ]) , 1 [ ])mod .+ (1 ) = (1 ) ( − ˜ ) ≡ Ò.ê.
äëÿ ëþáîãî 1 ∈ Z() âåðíî ñðàâíåíèå (1 )≡ 1 mod , òî óòâåðæäå-íèå ïóíêòà 2p áóäåò äîêàçàíî.Îïðåäåëèì , 1 ≤ ≤ − 1 , ðàâåíñòâîì: ≡ mod ( − 1) . Ýêâèâàëåíòíî ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî = + ( − 1) . Èç ðàâåíñòâà () = − 1ïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ∈ Z , íåäåëèìîå íà , ò.÷. = + −1 , ò.å. = + ( + −1 )( − 1) .Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåí êàê ( −1∑︀≥0 +( −1) , òàêèì îáðàçîì, [] =) . Èñïîëüçóÿ ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:1 (+1) −1 (+1) − ˜ = ( + ())[]1 −˜ = ( −1 ) [ ].(2.10)mod ,Ðàâåíñòâî 2.9, êîòîðîå ìû õîòèì äîêàçàòü, ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèìîáðàçîì:(+1) 1 (+1) ( −1 )[] −1ìåíó ïåðåìåííûõ = = ( 1 ( −1) [ ])mod . Äåëàÿ çà-è èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà − = −1 ( − 1) , − (+1) = +−1 ( − 1) , ìû ìîæåì óïðîñòèòü âûðàæåíèÿ âûøå. Àèìåííî, íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî11(+1)+−1−1 ()[] = ( () [ ])mod .56Çàìåòèì, ÷òî â òàêîé ôîðìóëèðîâêå ýòî äîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíîå òîæäåñòâî,ïîñêîëüêó îíî äîëæíî áûòü âåðíî äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà íåäåëèìîãî íà , ëþáîãî > 0 è ëþáîãî ðÿäà (ïîñêîëüêó åãî êîýôôèöèåíòûÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè).Íàïîìíèì äâà ïðîñòûõ ôàêòà ïðî ìóëüòèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû.À.
Äëÿ > 0 âàëþàöèÿ 1 ,...,(︀= 1 åñëè è òîëüêî åñëè = −1)︀äëÿ âñåõ , 0 < < . ÷àñòíîñòè, íå áîëüøå è äîïóñêàÿ íåêîòîðóþ âîëüíîñòü â îáîçíà÷åíèÿõ, à òàêæå òî, ÷òî ìîæåò ðàâíÿòüñÿ 0, ìû ìîæåì çàïèñàòü òàêèå(︀)︀ìóëüòèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû êàê 1 −1 ,...,.−1Á. Äëÿ ëþáûõ : 0 ≤ < ìû èìååì(︂(︂)︂)︂11≡ 1 −1 , . .
. , −1 1 , . . . , Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà À íàïîìíèì, ÷òî (1 + . . . + )(︀ )︀mod .= − () . Òîãäà)︂−1 (︂∑︁−1−1≡11 (2 + . . . + ) (−1 )−11 =1mod 2 .1Ïîñêîëüêó âñå êîýôôèöèåíòû−1 (−1 )âû÷èñëèòü (2 + . . . + )−1î÷åâèäíî, ðàâíî (2−1+ . . . + 1 −1(︀äåëÿòñÿ íà , òî íåîáõîäèìî)︀ïî ìîäóëþ . Îäíàêî, ýòî âûðàæåíèå,)−1 ïî ìîäóëþ , è òàêèì îáðàçîì âñåïåðåìåííûå ïðèñóòñòâóþò â ñòåïåíÿõ êðàòíûõ −1 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Èç ïóíêòà À ñëåäóåò, ÷òî (1 + . . .
+ ) ≡ (1−1+ 2−1−1+ . . . + )mod 2 , îòêóäà àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò ïóíêò Á.Òåïåðü ìû ìîæåì çàïèñàòü−11 () [ ]−1, ( 1 () [ ])ÿâíî äëÿêàæäîãî > 0 ïî ìîäóëþ . Ñíîâà ïåðåîáîçíà÷èì () = 0 +1 +2 2 +. . . .Ñîãëàñíî òîæäåñòâó À: () [−1]≡1 −1 , . . . , −1∑︁ (︂∏︁)︂=1,∑︀ =mod 2 .57Ñîãëàñíî òîæäåñòâó Á êîýôôèöèåíò â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåí êîýôôèöèåíòó () [ ] , è ïîñêîëüêó îí íå äåëèòñÿ íà , òî ïî ìîäóëþ 2 íå ìåíÿåòñÿ ïðèâîçâåäåíèè â −1 .2.10.2 Аддитивные операции из()*в группы ЧжоуÄëÿ ïîñòðîåíèÿ êëàññîâ ×åðíà è äîêàçàòåëüñòâà Òåîðåìû 2.10.1 íàì ïîíàäîáèòñÿ èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó àääèòèâíûìè îïåðàöèÿìè èç ()* â * / , êîòîðûå ìû èçó÷àåì â ýòîì ðàçäåëå. Îñíîâíûìè ðåçóëüòàòàìè â ýòîìðàçäåëå ÿâëÿþòñÿ Ñëåäñòâèå 2.10.8 è Ïðåäëîæåíèå 2.10.10.Ïåðåôîðìóëèðóåì òåîðåìó 2.5.8 äëÿ ñëó÷àÿ îïåðàöèé èç ()* â * ⊗ , ãäå îäíî èç êîëåö Z() , F , Q .
Äëÿ óäîáñòâà ñëåãêà èçìåíèì îáîçíà()÷åíèÿ èç ðàçäåëà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ââåä¼ì ïåðåìåííûå = 1((1) ) , = è ), îòâå÷àþùèå ïåðâûì êëàñ1 ((1) ) (ðàíåå îáîçíà÷àâøèåñÿ ñàì ×åðíà ëèíåéíûõ ðàññëîåíèé íà ïðîèçâåäåíèÿõ (áåñêîíå÷íîìåðíûõ) ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ.Теорема 2.10.4 (ïåðåôîðìóëèðîâêà 2.5.8).
Множество аддитивных операций˜ * в ⊗ находится во взаимно-однозначном соответствии сиз ()множеством симметрических многочленов ∈ [1 , . . . , ] для 1 ≤ ≤∏︀ , т.ч. имеет степень , делится на=1 и удовлетворяетсистеме уравнений: (1 , 2 , . . . , −1 , + ) −∑︁ ++−1 (1 , . . . , −1 , × , × ) = 0,( ),≥0где – коэффициенты ф.г.з. () (, ) =∑︀ .Замечание 2.10.5. Àääèòèâíûå îïåðàöèè èç ()* ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ˜ * è ìîðôèçìîì êîëåö2.5.4 êëàññèôèöèðóþòñÿ ïàðîé îïåðàöèåé èç ()Z() → Z() , êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì çíà÷åíèåì íà 1 è â îáîçíà÷åíèÿõòåîðåìû Âèøèêà îáîçíà÷àåòñÿ 0 .Определение 2.10.6. Àääèòèâíàÿ îïåðàöèÿ : ()* → ⊗ íàçûâàåòñÿãðàäóèðóåìîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå åé ïîëèíîìû (1 , .
. . , ) ÿâëÿþòñÿ ãðàäóèðóåìûìè îòíîñèòåëüíî êàæäîé èç ïåðåìåííûõ.58Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà àääèòèâíûõîïåðàöèé èç ()* .Ïîä ðàçáèåíèåì ⃗ ÷èñëà áóäåì ïîíèìàòü íåóïîðÿäî÷åííûé íàáîð íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà . Îáîçíà÷àòü ðàçáèåíèÿ áóäåì ⃗ =(1 , . . . , ) , íå ïðåäïîëàãàÿ óïîðÿäî÷åííîñòü ÷èñåë ïî âîçðàñòàíèþ èëè óáûâàíèþ. Òàêèì îáðàçîì, (1, 2, . . . , ) è (2, 1, . . . , ) çàäàþò îäíî è òî æå ðàçáèåíèå.Äëÿ ðàçáèåíèÿ ⃗ = (1 , .
. . , ) ÷èñëà êîýôôèöèåíò ñèììåòðèçàöèè()ìîíîìà 11 · · · â ìíîãî÷ëåíå áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç ⃗()Ìû òàêæå áóäåì íàçûâàòü êîýôôèöèåíòû ⃗()èëè (1 ,..., ) .ïåðåìåííûìè, ïîñêîëüêóàääèòèâíûå îïåðàöèè íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèÿìè ëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé , â êîòîðîé ýòè êîýôôèöèåíòû ÿâëÿþòñÿ íåèçâåñòíûìè.()Предложение 2.10.7. Для любого упорядочивания переменных ⃗по верх-нему индексу система уравнений является верхне-треугольной.()Более того, уравнение для > 1 содержит коэффициент ⃗сненулевым коэффициентом, тогда и только тогда, когда = Z() , Q или = F и ⃗ не является -специальным разбиением.Доказательство. Óðàâíåíèå ñîäåðæèò ìíîãî÷ëåíû ïðè ≥ , ïîýòî()ìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ïåðåìåííûå ⃗âñòðå÷àþòñÿ ïðè ðàçíûõ ìîíîìàõäëÿ ðàçíûõ ðàçáèåíèé ⃗ .Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåìåííûå ïîÿâëÿþòñÿ òîëüêî â ñëåäóþùåì âûðàæåíèè (1 , . .
. , −1 , + ) − (1 , . . . , −1 , ) − (1 , . . . , −1 , ) , ò.å. ïåðåìåííàÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçáèåíèþ ⃗ = (1 , . . . , ) ïîÿâëÿåòñÿ ïðè ìíîãî÷ëåíå−111 . . . −1(( + ) − − ) è åãî ñèììåòðèçàöèÿõ. Î÷åâèäíî, ýòî íåíóëåâîéìíîãî÷ëåí â êîëüöå õàðàêòåðèñòèêè 0 ïðè > 1 .  õàðàêòåðèñòèêå âñå ýòèìíîãî÷ëåíû ðàâíû íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ äëÿ âñåõ 1 ≤ ≤ .Следствие 2.10.8. Модули аддитивных операций [()* , ⊗ Z() ]и[()* , ⊗ Q] являются свободными (над кольцами Z() , Q соответственно) ранга 1.59Более того, порождающая этого модуля является градуируемой,имеет носителем () и рационально пропорциональна -ой компонентехарактера Черна, т.е.
= ℎ : ()* → ⊗ Q для подходящего ∈Z.Доказательство. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.5.5 åñëè â êîëüöå êîýôôèöèåíòîâ òåîðèè * íåò êðó÷åíèÿ, òî è â ìîäóëå (â ò.÷. àääèòèâíûõ) îïåðàöèé [* , * ]íåò êðó÷åíèÿ. Áîëåå òîãî, èç ïåðåôîðìóëèðîâêè ýòîé òåîðåìû äëÿ àääèòèâíûõîïåðàöèé î÷åâèäíî, ÷òî åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå [()* , ⊗ Z() ] ⊗ Q →[()* , ⊗Q] ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì. Ïîñêîëüêó êîëüöî Z() ëîêàëüíî,òî âñÿêèé ìîäóëü áåç êðó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì, à îöåíêó åãî ðàíãà ìîæíîïðîâîäèòü íàä ïîëåì ÷àñòíûõ, ò.å. ïîëåì Q .Îäíàêî, ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.10.7 êîíå÷íîìåðíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõóðàâíåíèé ( ) ÿâëÿåòñÿ âåðõíå-òðåóãîëüíîé ñ íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè íà äèàãîíàëè.
Ýòî äîêàçûâàåò îäíîìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà å¼ ðåøåíèé.Îñòà¼òñÿ ïîêàçàòü, ÷òî êîìïîíåíòû õàðàêòåðà ×åðíà ℎ ÿâëÿþòñÿ ãðàäóèðóåìûìè îïåðàöèÿìè è èìåþò íîñèòåëü íà () . Ïîñêîëüêó õàðàêòåð×åðíà ℎ ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé îïåðàöèåé, òî ñîîòâåòñòâóþùèå ðÿäû∏︀ , îïðåäåëÿþùèå åãî, ñâÿçàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì: (1 , . . . , ) = =1 1 ( ) .Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî 1 ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìûì ðÿäîì.Êàê ìû îáñóæäàëè â ðàçäåëå ðÿä 1 îïðåäåëÿåò ìîðôèçì ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ () , , è ðàâåí îáðàòíîìó ðÿäó ê ëîãàðèôìó log() .Ðÿä log() ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìûì, à, çíà÷èò, è îáðàòíûé ê íåìó òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìûì. Èñïîëüçóÿ ýòîò ôàêò, íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî íîñèòåëüℎ äåéñòâèòåëüíî () .Предложение 2.10.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
