Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137443), страница 11

Файл №1137443 Диссертация (О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий) 11 страницаДиссертация (1137443) страница 112019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. −1 , óäîâëåòâîðÿþùèå i) è ii), ïîñòðîåíû.  ÷àñòíîñòè, ýòî îçíà÷àåò,÷òî ïðîèçâîäíûå îïåðàöèè ïðè < ìû ìîæåì âû÷èñëÿòü êàê ìíîãî÷ëåíûîò îïåðàöèé , < .Лемма 2.10.12. Пусть = max(0, − ( )) .Тогда существует аддитивная операция , являющаяся порождающей модуля [()* , ⊗ Z() ] , т.ч. операция : ()* → ⊗ Q ,определяемая формулой = (1 , · · · , −1 ) +действует -целочисленно на произведениях проективных пространств.Áëàãîäàðÿ òåîðåìå 2.5.5, îïåðàöèÿ , îïðåäåëÿåìàÿ â ýòîé ëåììå, ìîæåò áûòü ïîäíÿòà åäèíñòâåííûì îáðàçîì äî îïåðàöèè â ⊗ Z() .Çàìåòèì òàêæå, ÷òî îïåðàöèÿ (1 , . . .

, −1 + ) äëÿ ëþáîé àääèòèâíîéîïåðàöèè , èìååò ïðîèçâîäíóþ ðàâíóþ 1 (çäåñü èìååòñÿ â âèäó ìíîãî÷ëåí îò îïåðàöèé 1 , . . . , , îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé Êàðòàíà). Òàêèì îáðàçîì, îïåðàöèÿ , îïðåäåëÿåìàÿ ñ ïîìîùüþ ëåììû âûøå, óäîâëåòâîðÿåò ôîðìóëå Êàðòàíà. À, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.5.5, è å¼ -öåëî÷èñëåííîå ïîäíÿòèå òàêæåáóäåò óäîâëåòâîðÿòü ôîðìóëå Êàðòàíà.65Äîêàæåì, ÷òî îïåðàöèÿ , ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé ñëåäóåò èç Ëåììû2.10.12, òàêæå óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàì i) è iiibis).Âûáåðåì ̸= mod − 1 . Òîãäà ñîãëàñíî Ëåììå 2.10.3 ìíîãî÷ëåí ðàâåí íóëþ, åñëè ïîëîæèòü ïåðåìåííûå ðàâíûìè íóëþ ïðè ≡ ̸= mod ( − 1) .

Çíà÷èò, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè îïåðàöèÿ , áóäó÷è îãðàíè÷åííîé íà () , çàíóëÿåòñÿ. Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 2.10.8 àääèòèâíàÿ îïåðàöèÿòàêæå èìååò íîñèòåëåì () , à, çíà÷èò, ñâîéñòâî i) äëÿ îïåðàöèè âûïîëíåíî.Ñâîéñòâî iiibis) âûïîëíåíî ñîãëàñíî ðàññóæäåíèÿì â ðàçäåëå .Äîêàæåì òåïåðü Ëåììó 2.10.12. Äëÿ íà÷àëà íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùååóòâåðæäåíèå.Лемма 2.10.13. Предположим, что для некоторых > 0 , ∈ Q опера-ция + действует -целочисленно на произведениях проективныхпространств, а, следовательно, согласно Теореме 2.5.5, определяет операцию : ()* → ⊗ Z() .Тогда пропорциональна операции по модулю , где – образующая аддитивных операций в ⊗ Z() .Доказательство.

Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò èç òð¼õ øàãîâ.1. Îïåðàöèÿ mod ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé. Äåéñòâèòåëüíî, 1 = 1 . Îäíàêî, 1 = 1 -öåëî÷èñëåííûé ìíîãî÷ëåí îò îïåðàöèé1 , . . . , −1 , à, çíà÷èò, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè çàäàþùèé -öåëî÷èñëåííóþîïåðàöèþ. Ïîñêîëüêó > 0 , òî 1 ≡ 0 mod .2. Îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé.Ïî ïîñòðîåíèþ îïåðàöèè óäîâëåòâîðÿþò ôîðìóëå â ëåììå 2.10.12.Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ãðàäóèðóåìûõ îïåðàöèé â êîëè÷åñòâå, ñðàâíèìîìñ 1 ïî ìîäóëþ − 1 , òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé îïåðàöèåé.

Êðîìå òîãî,ñóììà ãðàäóèðóåìûõ îïåðàöèé òàêæå ãðàäóèðóåìà. Ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåí ÿâëÿåòñÿ ñëàãàåìûì â ãðàäèóðóåìîì ðÿäó log() ( ) , òî â íåãî âõîäÿò òîëüêîìîíîìû, èìåþùèå ñòåïåíü, ñðàâíèìóþ ñ 1 ïî ìîäóëþ − 1 . Àääèòèâíàÿîïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 2.10.8. Òàêèì îáðàçîì, ïîèíäóêöèè âñå îïåðàöèè ÿâëÿþòñÿ ãðàäóèðóåìûìè, à òàêæå è îïåðàöèÿ .663. Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.10.10 F -âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ãðàäóèðóåìûõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé èç ()* â / îäíîìåðíî è ïîðîæäåíî mod .

Òàêèì îáðàçîì, ëåììà 2.10.13 äîêàçàíà.Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ îáðàçóþùóþ ìîäóëÿ [()* , ⊗ Z() ] .Äîêàæåì ïðè ïîìîùè êîíå÷íîé èíäóêöèè ïî ñëåäóþùåå óòâåðåæäåíèå.Предположение индукции. Äëÿ 0 ≤ ≤ ñóùåñòâóåò ÷èñëî ∈ −Z× +() , ò.÷. ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííîé îïåðàöèåé.База индукции ( = 0 ). Íàïîìíèì, ÷òî îïðåäåë¼í òàêèì îáðàçîì,÷òî ìíîãî÷ëåí ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííûì, è ïîýòîìó, åñëè = 0 , ìûìîæåì ïîëîæèòü 0 ðàâíûì 1 .Шаг индукции. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûðàæåíèå − + çàäà¼ò -öåëî÷èñëåííóþ îïåðàöèþ.Åñëè = , òî èíäóêöèÿ çàâåðøåíà è ìû îïðåäåëÿåì := + , -öåëî÷èñëåííîñòü êîòîðîé äîêàçàíà.

Ïîñêîëüêó ∈ Z×() , òî îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîðîæäàþùåé àääèòèâíûõ îïåðàöèé â ⊗ Z() è ñâîéñòâî iiibis)âûïîëíåíî äëÿ .Åñëè − > 0 , òî ïî Ëåììå 2.10.13 îïåðàöèÿ − + ïî ìîäóëþ äëÿ íåêîòîðîãî ∈ Z() .ðàâíà íóëþ ïî ìîäóëþ , è, çíà÷èò, îïåðàöèÿ ðàâíà Îïåðàöèÿ − + ( − ) −(+1) + −+1 ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííîé. Îïðåäåëèì +1 = − .×Åñëè > 0 , òî − ∈ Z×() , ïîñêîëüêó ∈ Z() , ∈ Z() , è øàãèíäóêöèè äîêàçàí.Îäíàêî, äëÿ øàãà èíäóêöèè ñ = 0 íàì íóæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî ̸= 0 mod .Дополнительные рассуждения для шага индукции = 0 → =1.Çàìåòèì, ÷òî íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî ñëó÷àé | , ò.ê.

èíà÷å ñîãëàñíîËåììå 2.10.3 ìû èìååì = 0 è èíäóêöèÿ çàêàí÷èâàåòñÿ íà áàçå.×òîáû äîêàçàòü, ÷òî 1 íå ÿâëÿåòñÿ -äåëèìûì ÷èñëîì, äîñòàòî÷íîäîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí íå ðàâåí íóëþ ïî ìîäóëþ .Ñîãëàñíî ëåììå 2.10.3, 2p ìû çíàåì, ÷òî ìíîãî÷ëåíû − mod è67( − )mod ïðîïîðöèîíàëüíû (ãäå îïðåäåëåíî â ôîðìóëèðîâêå ëåì-ìû). Îäíàêî, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè êîíñòðóêöèè êëàññîâ ×åðíà ìû èìååì: − = äëÿ íåêîòîðîé ïîðîæäàùåé àääèòèâíûõ îïåðàöèé â ⊗ Z() . Ýòà îïåðàöèÿ íå ðàâíà íóëþ ïî ìîäóëþ , è ñîãëàñíî òåîðåìå2.5.5 å¼ ñòåïåíè ( mod )òàêæå íå ðàâíû íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî − mod íå ðàâíî íóëþ.Øàã (êîíå÷íîé) èíäóêöèè òàêèì îáðàçîì ïîëíîñòüþ äîêàçàí, à çíà÷èòäîêàçàíà ëåììà 2.10.12 è îïåðàöèÿ ïîñòðîåíà.Ïî èíäóêöèè âñå êëàññû ×åðíà , óäîâëåòâîðÿþùèå ñâîéñòâàì i), ii),iiibis), ïîñòðîåíû.2.10.4 Классы Черна свободно порождают операции ýòîì ðàçäåëå ìû äîêàçûâàåì ñâîéñòâî iii) Òåîðåìû 2.10.1 äëÿ îïåðàöèé èç()* â ⊗ Z() , ≥ 1 , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñâîéñòâàì i), ii), iiibis), êîòîðûå˜ *ìû ïîñòðîèëè âûøå.

À èìåííî, ìû äîêàçûâàåì, ÷òî ëþáàÿ îïåðàöèÿ èç ()â * ⊗ Z() åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ôîðìàëüíûé ðÿä îòïåðåìåííûõ , ≥ 1 ñ Z() -êîýôôèöèåíòàìè.Èç Òåîðåìû 2.5.5 ñëåäóåò, ÷òî åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå˜ * , * ⊗ Z() ] → [()˜ * , * ⊗ Q][()ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì. Ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.7.4 ïîñëåäíåå ïðîñòðàíñòâî ñâîáîäíî ïîðîæäåíî íàä Q êîìïîíåíòàìè õàðàêòåðà ×åðíà. Àíàëîãè÷íîå âåðíîè äëÿ ïîëè-îïåðàöèé, ÷òî ïîçâîëÿåò íàì äîêàçàòü ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.˜ * в * ⊗ Q единПредложение 2.10.14.

Любая поли-операция из ()ственным образом представляется как формальный ряд от внешних произведений переменных , ≥ 1 с Q -коэффициентами, т.е.˜ * )× , ( * ⊗ Q) ∘[(()∏︁] = Q[[1 , 2 , . . .]]⊙ .Доказательство. Ïîñêîëüêó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îïåðàöèè â êàæäóþ êîìïîíåíòó * ⊗Q îòäåëüíî, òî âìåñòî ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü ïîëè-ìíîãî÷ëåíû ôèêñèðîâàííûõ ñòåïåíåé. Ïðîñòðàíñòâî ïîëè-ìíîãî÷ëåíîâ68ôèêñèðîâàííîé ñòåïåíè êîíå÷íîìåðíî, è åãî ðàçìåðíîñòü äëÿ ïîðîæäàþùèõℎ1 , . . .

, ℎ , . . . è 1 , . . . , , . . . , î÷åâèäíî, îäèíàêîâàÿ. Èç ýòîãî è ïðåäëîæåíèÿ 2.7.4 ñëåäóåò, ÷òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îïåðàöèè ℎ âûðàæàþòñÿ êàêìíîãî÷ëåíû îò îïåðàöèé 1 , . . . , .Îïåðàöèÿ ℎ : ()* → ⊗ Q ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé, à ñîãëàñíîÑëåäñòâèþ 2.10.8 ïðîñòðàíñòâî àääèòèâíûõ îïåðàöèé [()* , ⊗ Q] ÿâëÿåòñÿ îäíîìåðíûì. Çíà÷èò, ℎ = , ãäå ∈ Q , îáðàçóþùàÿ öåëî÷èñëåííûõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé â ãðóïïû ׿îó. Ñîãëàñíî ñâîéñòâó iiibis)îïåðàöèÿ âûðàæàåòñÿ êàê ìíîãî÷ëåí îò îïåðàöèé 1 , . . .

, . Ñëåäîâàòåëüíî, ýòî âåðíî è äëÿ êîìïîíåíò õàðàêòåðà ×åðíà, è ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî.Òàêèì îáðàçîì, îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïîëè-ðÿäû îò ñ íå -öåëî÷èñëåííûìèêîýôôèöèåíòàìè çàäàþò íå -öåëî÷èñëåííûå îïåðàöèè. Äëÿ ýòîãî ìû èçó÷àåì ïðîèçâîäíûå ìíîãî÷ëåíîâ îò îïåðàöèé , èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Êàðòàíà, èñâîäèì âñ¼ ê èçó÷åíèþ ïîëè-àääèòèâíûõ ïîëè-îïåðàöèé. Äîêàçàòü, ÷òî ïîëèàääèòèâíûå îïåðàöèè ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîñòè âíåøíèìè ïðîèçâåäåíèÿìè àääèòèâíûõ îïåðàöèé îêàçûâàåòñÿ íåñëîæíî.Íàïîìíèì, ÷òî ìû îáîçíà÷àåì ⊙ âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå îïåðàöèé (ñì.ðàçäåë ).

Òàêæå îïåðàöèþ ìû íàçûâàåì -îé êîìïîíåíòíîé ïîëè-îïåðàöèè1 ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ .Предложение 2.10.15. Пусть * – теория рационального типа, * – про-извольная о.о.т.к. и пусть { }∈ – набор линейно независимых над аддитивных операций из * в * .Тогда внешние произведения операций {1 ⊙ 2 ⊙ · · · }1 ,2 ,...∈ такжелинейно независимы над .Доказательство. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî àðíîñòè ïîëè-îïåðàöèé.База индукции ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèåì ïðåäëîæåíèÿ.Шаг индукции. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû äîêàçàëè ëèíåéíóþ íåçàâèñè-ìîñòü ïîëè-îïåðàöèé àðíîñòè < .

Ðàññìîòðèì íåòðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ∑︀êîìáèíàöèþ ïîëè-îïåðàöèé àðíîñòè : :=(1 ,2 ,..., ) 1 ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ .Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå ñëàãàåìîå ñ íåíóëåâûì êîýôôèöèåíòîì â ýòîé êîìáè-69íàöèè 1 ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ è ñãðóïïèðóåì âñå ñëàãàåìûå â , îòëè÷àþùèåñÿ îò íåãî òîëüêî ïåðâîé êîìïîíåíòîé. Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííóþ ñóììó ÷åðåç∑︀ ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ := ( ,2 ,..., ) ⊙ 2 ⊙ · · · ⊙ .Èç Òåîðåìû 2.5.5 â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò â êîëüöå * ((P∞ )× ) äëÿ íåêîòîðîãî ≥ 0 , ò.÷. () ̸= 0 . Îãðàíè÷èìïîëè-îïåðàöèþ íà ýòîò ýëåìåíò â ïåðâîé êîìïîíåíòå, òàêèì îáðàçîì ìû*ïîëó÷èì åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå := (, −) èç ôóíêòîðà ×−1â=1 ∏︀ôóíêòîð * ∘ ((P∞ )× × ) .Çàìåòèì, ÷òî * ( × (P∞ )× ) ∼= * () ⊗ [[1 , . . . , ]] äëÿ ëþáîãîãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñîãëàñíî òåîðåìå î ïðîåêòèâíîì ðàññëîåíèè. Âûáåðåì ëþáóþ -ëèíåéíóþ ïðîåêöèþ : * (P∞ )× ∼= [[1 , . .

. , ]] → ,ò.÷. (()) ̸= 0 , òîãäà å¼ êîìïîçèöèÿ ñ áóäåò ïîëè-îïåðàöèåé àðíîñòè( − 1) , êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç ( ⊗ ) ∘ . Ýòó ïîëè-îïåðàöèþ ìîæíîïðåäñòàâèòü êàê ñóììó (())2 ⊙ · · · ⊙ è ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âíåøíèõïðîèçâåäåíèé , êîòîðàÿ íå ñîäåðæèò äàííîãî ñëàãàìîãî. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ýòî íåòðèâèàëüíàÿ ïîëè-îïåðàöèÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, òàêæåíåòðèâèàëüíà.Следствие 2.10.16.

Пусть : ()* → / – редукции образующих -целочисленных аддитивных операций.Тогда внешние произведения операций { }{ -} линейно независимынад F как поли-операции в * / .Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé(ñì. ñëåäñòâèå 2.10.8), è, ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàöèÿ ( )â / òàêæåÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé (è íåíóëåâîé, êàê ñëåäóåò èç Òåîðåìû 2.5.5). Ñîãëàñíîïðåäëîæåíèþ 2.10.10 îïåðàöèè ( ) , ÿâëÿþòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíûìè,÷òî îáúÿñíÿåò óêàçàííûé â ñëåäñòâèè 2.10.16 íàáîð îïåðàöèé.Доказательство.

Ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.10.15 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îïåðàöèè ( )ñ - ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè íàä F .∑︀Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿîïðå äåëÿåò íóëåâóþ îïåðàöèþ, ̸= 0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç = min . Òîãäà, åñëè∑︀ − > 0 , òî ðàññìîòðèì êîðåíü -îé ñòåïåíè èç ýòîãî âûðàæåíèÿ:. 70Ëåãêî âèäåòü èç Òåîðåìû 2.5.5, ÷òî ýòà ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ òàêæå òðèâèàëüíà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ñîîòíîøåíèå íà îïåðàöèè, â êîòîðîì åñòüåäèíñòâåííîå ñëàãàåìîå , ãäå îïåðàöèÿ íå âîçâîäèòñÿ íè â êàêóþ ñòåïåíü.Ìîæíî òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ñëàãàåìûå èìåþò ñòåïåíü , è, ñëåäîâàòåëüíî,èìåþò âèä à îïåðàöèè, ãäå - .

Îäíàêî, îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðóåìîé,íå ÿâëÿþòñÿ, åñëè - . Ïîëó÷àåì, ÷òî îïåðàöèÿ íåòðèâè-àëüíà è ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.Íàïîìíèì, ÷òî ïðîèçâîäíûå êëàññîâ ×åðíà ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ñîãëàñíî ôîðìóëå Êàðòàíà, ïðè÷¼ì 1 âûðàæàåòñÿ êàê -öåëî÷èñëåííûéìíîãî÷ëåí îò êëàññîâ ×åðíà 1 , . .

. , −1 .Лемма 2.10.17. Пусть ∈ Q[[1 , 2 , . . .]]⊙ произвольная поли-операция ар-˜ * в * ⊗Z() (см. Предложение 2.10.14). Предположим,ности из ()что первые производные относительно всех компонент выражаются как -целочисленные многочлены от классов Черна.Тогда ∈ Z() [[1 , 2 , . . .]]⊙ .Доказательство. Áóäåì äîêàçûâàòü Ëåììó îò ïðîòèâíîãî.Âî-ïåðâûõ, äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü êîìïîíåíòû ïîëè-îïåðàöèè âêàæäóþ èç ãðàäóèðîâàííûõ êîìïîíåíò ãðóïï ׿îó îòäåëüíî, ïîýòîìó ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïîëè-ìíîãî÷ëåíîì.Âî-âòîðûõ, åñëè êîíòðïðèìåð ê óòâåðæäåíèþ Ëåììû ñóùåñòâóåò.

òî ñóùåñòâóåò è êîíòðïðèìåð, ò.÷. âàëþàöèÿ åãî êîýôôèöèåíòîâ íå ìåíüøå -1, èëè,äðóãèìè ñëîâàìè, çíàìåíàòåëè íå áîëüøå, ÷åì . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè çíàìåíàòåëè ñîäåðæàò áîëüøóþ ñòåïåíü , òî êîíòðïðèìåð ìîæíî äîìíîæèòü íà äëÿ ïîäõîäÿùåãî > 0 . Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ∈Z() [1 , . .

Характеристики

Список файлов диссертации

О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее