Диссертация (1137443), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ïóñòü ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, îïðåäåëèì ãàììà-ôèëüòðàöèþ íà çíà÷åíèÿõ -îé Ê-òåîðèè Ìîðàâû íà í¼ì ñîãëàñíî ñëåäóþùåéôîðìóëå: ()* () :=< 1 (1 ) · · · ( )|∑︁ ≥ , ∈ ()* () > .Èç îïðåäåëåíèÿ î÷åâèäíî, ÷òî ()* () ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì â ()* () .: ()* → ⊗Z()Äëÿ èçáåæàíèÿ ïóòàíèöû â îáîçíà÷åíèÿõ ÷åðåç îáîçíà÷èì êëàññû ×åðíà, ïîñòðîåííûå â Òåîðåìå 2.10.1.Предложение 2.15.2. Гамма-фильтрация удовлетворяет следующим свой-ствам:1. | +1 ()* = 0 ;2.
операция является аддитивной при ограничении на ()* , и задаёт изоморфизм рациональных векторных пространств на присоединённом факторе:∼ ()* ⊗ Q −→ ⊗ Q;: ()* → ⊗ Z() сюрьективна при : 1 ≤ ≤ ;3. операция 4. ()* = ()mod −1.Доказательство. Ñâîéñòâî 1 ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè îïåðàöèé, ïîñêîëüêóìîíîìû îò êëàññîâ ×åðíà ñòåïåíè íå ìåíåå + 1 êàê ïîëè-îïåðàöèè ëåæàòâ ( + 1) -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíà. Òàêèì îáðàçîì, èõ êîìïîçèöèÿ ñ ëåæèò â (+1) -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíà äëÿ ⊗Z() , à òàêèõ îïåðàöèéíå áûâàåò.Îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé ïðè îãðàíè÷åíèè íà ()* , ïîñêîëüêó ñîãëàñíî ôîðìóëå Êàðòàíà å¼ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà ìíîãî÷ëåíó îò êëàññîâ ×åðíà ñ ìåíüøèì èíäåêñîì, çàíóëÿþùèõñÿ íà ýòîì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ïîñâîéñòâó 1.89Íàïîìíèì, ÷òî èìååòñÿ àääèòèâíàÿ ñþðüåêòèâíàÿ îïåðàöèÿ ℎ èç ()* ⊗Q â ⊗Q , êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà îïåðàöèè − (1 , .
. . , −1 ) , è òàêèìîáðàçîì ïðîïîðöèîíàëüíà ïðè îãðàíè÷åíèè íà . Ïîêàæåì, ÷òî îãðàíè÷åíèÿ õàðàêòåðà ×åðíà íà -ûé ÷ëåí ãàììà-ôèëüòðàöèè çàäà¼ò èçîìîðôèçìℎ( ()* ⊗Q −→ ⊕≥ ⊗Q . Òîãäà êîìïîíåíòà ℎ , î÷åâèäíî, áóäåò çàäàâàòü∼èçîìîðôèçì ()* ⊗ Q −→ ⊗ Q .Ïîñêîëüêó õàðàêòåð ×åðíà óñòàíàâëèâàåò èçîìîðôèçì ìåæäó ()* ⊗Q è * ⊗ Q , òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îãðàíè÷åíèå ℎ íà ()* ⊗Q ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â ⊕≥ ⊗ Q , à îáðàòíûé õàðàêòåð ×åðíà ℎ−1îòîáðàæàåò ⊕≥ ⊗ Q â ()* ⊗ Q .Ïåðâîå ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè îïåðàöèé.
Äåéñòâèòåëüíî, ()*ïîðîæäåíà îáðàçîì ïîëè-îïåðàöèé, ÿâëÿþùèõñÿ ìîíîìàìè îò êëàññîâ ×åðíàñòåïåíè íå ìåíåå . Òàêèå ïîëè-îïåðàöèè íà ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ ñòåïåíè íå ìåíåå , ò.å. ëåæàò â ãðóïïàõ ×æîóêîðàçìåðíîñòè íå ìåíåå . Ñëåäîâàòåëüíî, îãðàíè÷åíèå êîìïîçèöèè ℎ èêàæäîé òàêîé ïîëè-îïåðàöèè íà ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ ðàâíî íóëþ ïðè < . Èç Òåîðåìû 2.5.5 ñëåäóåò, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå êîìïîçèöèÿîïåðàöèé ðàâíà íóëþ, à, çíà÷èò, ïåðâîå ïðåäïîëîæåíèå äîêàçàíî.Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå ñþðüåêòèâíî íà ()* . Ïóñòü : ()* → ()* àääèòèâíàÿ îïåðàöèÿ, ëåæàùàÿ â -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíà, è ò.÷.
̸= 0 . Ðàññìîòðèì êîìïîçèöèþ îïåðàöèéℎ−1ℎ ⊗ Q −−→ ()*Q −→ ()*Q −−→ ⊗ Q.Ïîñêîëüêó äàííàÿ îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé, òî äëÿ å¼ âû÷èñëåíèÿäîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ çíà÷åíèåì íà ìîíîìå 1 · · · (ñì. Òåîðåìó 2.5.8).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî çíà÷åíèå íà ýòîì ìîíîìå íåíóëåâîå, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî êîìïîçèöèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà îãðàíè÷åíèþ îïåðàöèè ℎ−1 .
Ñëåäîâàòåëüíî, îãðàíè÷åíèå ℎ−1 íà êîìïîíåíòû ãðóïïû ×æîó êîðàçìåðíîñòè ≥ ïðèíèìàåòçíà÷åíèå â -îì ÷ëåíå ãàììà-ôèëüòðàöèè, à, çíà÷èò, ℎ ñþðüåêòèâíî îòîáðàæàåòñÿ èç ()* ⊗ Q íà ⊗ Q äëÿ ëþáîãî .Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ñâîéñòâî 3. Ìîðôèçì òåîðèåé : ⊗ Z() → ⊗ Z()90ÿâëÿåòñÿ ñþðüåêòèâíîé îïåðàöèåé, è äàëåå ìû äîêàæåì, ÷òî îí "ôàêòîðèçóåòñÿ" ÷åðåç -ûé ÷ëåí ãàììà-ôèëüòðàöèè -îé Ê-òåîðèè Ìîðàâû äëÿ 1 ≤ ≤∘ ∘ , ãäå ìîðôèçì . Ðàññìîòðèì êîìïîçèöèþ îïåðàöèé := òåîðèé èç â () , êëàññ ×åðíà èç ()* â ()* . Çàìåòèì, ÷òîîïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé, ïîñêîëüêó îïåðàöèÿ ∘ àääèòèâíàÿèç ðàññìîòðåííîãî âûøå è òàêæå àääèòèâíà.
Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàöèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè 1 , . . . , .Íàïîìíèì, ÷òî ïðè < â êà÷åñòâå ìîæíî âçÿòü ïðîåêöèþ èç()* íà () , à â êà÷åñòâå ìîæíî âçÿòü . Èç ñîîáðàæåíèé ãðàäóèðîâêè * è ()* ïîëó÷àåì, ÷òî = 0 ïðè ̸= . Ñîãëàñíî âûáîðóîïåðàöèé , ïîëó÷àåì, ÷òî = 1 · .
Ñëåäîâàòåëüíî ðàâíà ,îòêóäà ñëåäóåò èñêîìàÿ ñþðüåêòèâíîñòü.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé = . Èç ñîîáðàæåíèé ãðàäóèðîâêè ïîëó÷àåì, ÷òî = 0 ïðè ̸= 1, . Ïîñêîëüêó ëåæèò â -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè×åðíà, òî 1 = 0 . Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ < , äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî (1 · · · ) = 1 · · · +. .
. . Ìû âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé Ëåììîé,êîòîðàÿ íàì ïîíàäîáèòñÿ è â äàëüíåéøåì.Лемма 2.15.3. Операция : ()* → ()* из Теоремы 2.10.1 можетбыть выбрана таким образом, что её действие на произведениях проективныхпространств устроено таким образом: (1 · · · +( −1) ) = 1 · · · +( −1) + . . . ,где ≥ 0 , ∈ Z×() , а многоточие обозначает слагаемые высших степеней.Соответственно для операции = имеем: (1 · · · +( −1) ) = 1 · · · +( −1) .Доказательство. Èç êîíñòðóêöèè êëàññîâ ×åðíà ñëåäóåò, ÷òî =−(1 ) +äëÿ íåêîòîðîé àääèòèâíîé îïåðàöèè , ò.÷.
ÿâëÿþùåòñÿ ïîðîæäàþùåé öåëî÷èñëåííûõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé. Ïîñêîëüêó â êà÷åñòâå 1 ìîæíîâçÿòü ïðîåêöèþ íà ()1 , òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îïåðàöèÿ äåéñòâóåò íà ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ ñëåäóþùèì îáðàçîì: (1 · · · +( −1) ) = 1 · · · +( −1) + . .
. ,(2.13)91ãäå ∈ Z() , ìíîãîòî÷èå îáîçíà÷àåò ñëàãàåìûå âûñøèõ ñòåïåíåé è ≥ 0 .Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîâåðèòü òî, ÷òî òàêàÿ îïåðàöèÿ ñóùåñòâóåò, íàìíóæíî âñïîìíèòü êîíñòðóêöèþ ïîäîáíûõ àääèòèâíûõ îïåðàöèé (ñì. Ïðåäëîæåíèå 2.13.1). Ðàññìîòðèì àääèòèâíóþ ýíäî-îïåðàöèþ :=1(− ()) â -îé Ê-òåîðèè Ìîðàâû, êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ öåëî÷èñëåííîé, îäíàêî, ëåæèò â -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíà, è îáðåçàíèå êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ïîðîæäàþùåéàääèòèâíûõ îïåðàöèé â ⊗Z() . Îïåðàöèÿ äåéñòâóåò íà ïðîèçâåäåíèÿõïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ àíàëîãè÷íî ôîðìóëå 2.13 c = 1−( −1), ïîýòîìóñëåäóåò òîëüêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî óñëîâèå íå èçìåíÿåòñÿ ïðè óòî÷íåíèè ýòîéîïåðàöèè òàê, ÷òîáû ñäåëàòü å¼ öåëî÷èñëåííîé (ñì.
èíäóêòèâíóþ ïðîöåäóðó âäîêàçàòåëüñòâå Ïðåäëîæåíèÿ 2.13.1).Çàìåòèì, ÷òî çíàìåíàòåëè íå ïðåâîñõîäÿò , ïîýòîìó îïåðàöèÿ ∑︀ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà êàê + 1 ≥0 +( −1) , ãäå ∈ Z() , +( −1) öåëî÷èñëåííûå àääèòèâíûå îïåðàöèè, ò.÷. èõ îáðåçàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïîðîæäàþùèìè öåëî÷èñëåííûõ îïåðàöèé â ñîîòâåòñòâóþùèå ãðóïïû ×æîó.Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïîðîæäàþùåé àääèòèâíûõ*îïåðàöèé â +( −1) èç () +( −1)⊗ Z() ìû èìååì +( −1) (1 · · · +( −1) ) = 1 · · · +( −1) ,ãäå ∈ 2 Z() .Îáîçíà÷èì ÷åðåç ∈ Z() ìèíèìàëüíûå ÷èñëà, ò.÷.
ℎ äåéñòâóåòöåëî÷èñëåííî íà ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ, ãäå ℎ õàðàêòåð×åðíà èç -îé Ê-òåîðèè Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó. Òîãäà çàìåòèì, ÷òî êîìïîçèöèÿ ℎ ñ 2-îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ â ()* ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííîéáèàääèèòèâíîé 2-îïåðàöèåé èç ()* â ⊗ Z() , à ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âíåøíèõ ïðîèçâåäåíèé ℎ ïðè ≤ : ℎ ∘ =∑︀ +−ℎ ⊙ ℎ− , ãäå ∈ Z() . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, õàðàêòåð ×åðíà ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé îïåðàöèåé, ïîýòîìó = +− äëÿ ëþáûõ .
Ýòî äà¼ò îãðàíè÷åíèå ñíèçó íà ðîñò ÷èñåë , è íåñëîæíî óáåäèòüñÿ,÷òî 2 −1 ≥ 2 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Èç ýòîé Ëåììû ïîëó÷àåì, ÷òî îïåðàöèÿ ïåðåâîäèò 1 · · · â 1 · · · 92äëÿ íåêîòîðîãî ∈ Z×() . Òàêèì îáðàçîì, îïåðàöèÿ -öåëî÷èñëåííî ïðî-äîêàçàíà.ïîðöèîíàëüíà , à, çíà÷èò, ñþðüåêòèâíîñòü ×òîáû äîêàçàòü 4, íàïîìíèì, ÷òî êëàññû ×åðíà : ()* → {}ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ â -îì ãðàäóèðîâî÷íîì ÷ëåíå, è ïîñêîëüêó ìîðôèçì òåîðèé èç {}* â ()* ñîãëàñîâàí ñ ãðàäóèðîâêîé, òî -ûé êëàññ ×åðíà èç()* â ñåáÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â () .Ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îò êëàññîâ ×åðíà ðàñïàäàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó − 1 êîìïîíåíò cîãëàñíî èõ ñòåïåíÿì ïî ìîäóëþ − 1 (ãäå ñòåïåíüïåðåìåííîé ðàâíà ).
Î÷åâèäíî, ÷òî ôèëüòðàöèÿ ïî ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíîâèçìåíÿåòñÿ íà êàæäîé êîìïîíåíòå ÷åðåç êàæäûå − 1 øàãîâ, è, ñëåäîâàòåëüíî, òî æå âåðíî îòíîñèòåëüíî ãàììà-ôèëüòðàöèè è ãðàäóèðîâàííûõ êîìïîíåíò()* .2.15.2 Единственность гамма-фильтрацииПредложение 2.15.4. Для любого числа ≥ 0 имеет место равенство ()* () :=< (1 , . . . , )| ∈ [(()* )× , ()* ] >,т.е. -ый член гамма-фильтрации порождён образом всех поли-операций,лежащих в -ом члене фильтрации Черна.В частности, гамма-фильтрация не зависит от выбора операций ,удовлетворяюих условиям Предложения 2.13.3.Доказательство. Óòâåðæäåíèå ýêâèâàëåíòíî òîìó ôàêòó, ÷òî ïîëè-îïåðàöèè,ëåæàùèå â -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíà, ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîñòè ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè âíåøíèõ ïðîèçâåäåíèÿìè êëàññîâ ×åðíà ñòåïåíè íå ìåíåå .
Îäíàêî, ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.13.4 âñå ïîëè-îïåðàöèè ïðåäñòàâèìû êàêëèíåéíûå êîìáèíàöèè âíåøíèõ ïðîèçâåäåíèé êëàññîâ ×åðíà. Îñòà¼òñÿ òîëüêîíàïîìíèòü, ÷òî îïåðàöèÿ ëåæèò â -îì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíà.¯ * – -ые К-теории Моравы, иПредложение 2.15.5. Пусть ()* , ()¯ * – обратимая аддитивная операция между нимипусть : ()* → ()(существующая согласно Теореме 2.14.3).93Тогда задаёт изоформизм абелевых групп с гамма-фильтрацией наних.Доказательство.
Î÷åâèäíî, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òîëüêî, ÷òî ñîõðàíÿåò ãàììàôèëüòðàöèþ.Ïóñòü ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ñòåïåíè îò êëàññîâ ×åðíà, çàäàþùèì àðíóþ ïîëè-îïåðàöèþ èç ()* â ()* . Ìû õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî ∘ =¯ * ′ ∘ , ãäå ′ òàêæå ðÿä ñòåïåíè íå ìåíåå îò êëàññîâ ×åðíà èç èç ()¯ *.â ()¯ * , îïðå×òîáû îïðåäåëèòü ′ , ðàññìîòðèì ýíäî-ïîëè-îïåðàöèþ ()äåëÿåìóþ ôîðìóëîé ∘ ∘(−1 )× . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ′ ëåæèò â -îì ÷ëåíåôèëüòðàöèè ×åðíà, è ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.15.4 çàäà¼òñÿ ðÿäîì ñòåïåíè íåìåíåå .Предложение 2.15.6.
Обозначим через : 0 ⊗ Z() → (1) обратимуюмультипликативную операцию между К-теорией Гротендика и первой К∑︀теорией Моравы с логарифмом log(1) = ≥0 , задаваемую экспонентойАртина-Хассе. Обозначим через ∙ 0 классическую гамма-фильтрацию на0 .Тогда 0 = () .Доказательство. Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò òîé æå èäåå, ÷òî è â Ïðåäëîæåíèè2.15.5, çà åäèíñòâåííûì èñêëþ÷åíèåì, ÷òî íàäî äîïîëíèòåëüíî ïðîâåðèòü, ÷òî0êëàññè÷åñêèå êëàññû ×åðíà : 0 → 0 ëåæàò â -îì ÷ëåíå ãàììàôèëüòðàöèè.2.16 Приложения операций из К-теории Моравы ýòîì ðàçäåëå ìû èñïîëüçóåì ãàììà-ôèëüòðàöèþ íà Ê-òåîðèÿõ Ìîðàâû èêëàññû ×åðíà èç Ê-òåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó, ÷òîáû ïîëó÷èòü íîâûåîöåíêè íà êðó÷åíèå â ãðóïïàõ ×æîó ìàëîé êîðàçìåðíîñòè íåêîòîðûõ êâàäðèê.2.16.1 Фильтрация на кольце Витта и К-теории МоравыÍàïîìíèì ñïåðâà íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ.94Определение 2.16.1. Ïóñòü ïîëå õàðàêòåðèñòèêè, íå ðàâíîé 2.
Íàçîâ¼ìäâå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû , ′ íàä ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò èçî′ìîðôèçì ⊕ H⊕ ∼= ′ ⊕ H⊕ äëÿ íåêîòîðûõ íàòóðàëüíûõ , ′ .Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ( ) , ñîñòîÿùåå èç êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòèíåâûðîæäåííûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì íàä .Íà ( ) èìååòñÿ åñòåñòâåííàÿ ñòðóêòóðà êîììóòàòèâíîãî êîëüöà, ñëîæåíèå â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé, à óìíîæåíèå òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì êâàäðàòè÷íûõ ôîðì. Ìíîæåñòâî ( ) âìåñòå ñ äàííîé ñòðóêòóðîéíàçûâàåòñÿ кольцом Витта.Ñîãëàñíî òåîðåìå Âèòòà ýëåìåíòû êîëüöà ( ) íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ àíèçîòðîïíûìè êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè íàä , îò÷åãî äëÿ èçó÷åíèÿ âîïðîñà, ÿâëÿåòñÿ ëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ãèïåðáîëè÷åñêîé (ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
