Диссертация (1137443), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ðàñêëàäûâàåòñÿ ëè îíà â ïðÿìóþ ñóììó H ), äîñòàòî÷íî èçó÷àòüêëàññ êâàäðèêè â êîëüöå Âèòòà.Ôóíêöèÿ ðàíãà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû èíäóöèðóåò cþðüåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì êîëåö ( ) → Z/2 , åãî ÿäðî íàçûâàåòñÿ фундаментальным идеа-лом = ( ) .Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî èäåàë ïîðîæä¼í êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè< 1, > , ∈ × . Ñîîòâåòñòâåííî èäåàë àääèòèâíî ïîðîæä¼í êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè < 1, 1 > ⊗ < 1, 2 > ⊗ · · · ⊗ < 1, > , íàçûâàåìûìèÏôèñòåðîâûìè ôîðìàìè.Теорема 2.16.2 (Ãëàâíàÿ Òåîðåìà Àðàñîíà-Ïôèñòåðà). Пусть – квадра-тичная форма над полем , т.ч. её класс в кольце Витта лежит в .Тогда размерность не менее 2 .Êàê ñëåäóåò èç Ãëàâíîé Òåîðåìû Àðàñîíà-Ïôèñòåðà, ôèëüòðàöèÿ ñòåïåíÿìè ôóíäàìåíòàëüíîãî èäåàëà ÿâëÿåòñÿ èñ÷åðïûâàþùåé, ò.å. ∩≥0 = 0 .Òàêèì îáðàçîì äëÿ ïðîâåðêè òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè íåêîòîðàÿ ÷¼òíîìåðíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîëíîñòüþ ðàñùåïèìîé, ò.å.
ðàâåí ëè å¼ êëàññ â ( ) íóëþ,äîñòàòî÷íî ïðîâåðÿòü, ÷òî å¼ êëàññ ëåæèò â äîñòàòî÷íî áîëüøîé ñòåïåíè ôóíäàìåíòàëüíîãî èäåàëà.95Çíàìåíèòàÿ ãèïîòåçà Ìèëíîðà óòâåðæäàåò, ÷òî ïîïàäàíèå â ðàçëè÷íûåñòåïåíè ôóíäàìåíòàëüíîãî èäåàëà ìîæíî ïðîâåðÿòü ñ ïîìîùüþ èíâàðèàíòîâ,ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â êîãîìîëîãèÿõ Ãàëóà ïîëÿ ñ êîýôôèöèåíòàìè Z/2 ,èëè ÷òî òî æå ñàìîå, ñîãëàñíî äðóãîé ãèïîòåçå Ìèëíîðà, â Ê-òåîðèè Ìèëíîðàïîëÿ ïî ìîäóëþ 2.Íàïðèìåð, êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ëåæèò â òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàå¼ ðàçìåðíîñòü ÷¼òíà.
×¼òíîìåðíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ëåæèò â 2 òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ äèñêðèìèíàíò : ( ) → × / ×2 = 1 (, Z/2)ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. Êâàäðèêè èç òàêèì îáðàçîì ìîæíî îïèñûâàòü êàê òå,èíâàðèàíòû êîòîðûõ â êîãîìîëîãèÿõ Ãàëóà ñòåïåíè ìåíåå , ðàâíû íóëþ.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îäíîé èç ãèïîòåç Ìèëíîðà Â. Âîåâîäñêèì áûëî ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàíèå àëãåáðàè÷åñêèõ Ê-òåîðèé Ìîðàâû ñ êîýôôèöèåíòàìè âZ(2) (cì. [30]). Êëþ÷åâûì íàáëþäåíèåì ÿâëÿëîñü òî, ÷òî -àÿ Ê-òåîðèÿ Ìîðàâû íå ìîæåò îòëè÷àòü íåêîòîðûå êâàäðèêè îò ïîëíîñòüþ ðàñùåïèìûõ.Предложение 2.16.3 (Âîåâîäñêèé, [30]).
Пусть ()*,* – биградуированнаяалгебраическая К-теория Моравы с Z(2) -коэффициентами, удовлетворяющаянекоторому набору аксиом.Пусть – норменная квадрика, отвечающая чистому символу +2 ¯ = × ¯ полностьюой компоненты К-теории Милнора. Обозначим через расщепимую квадрику, получающуюся расширением поля коэффициентов до алгебраического замыкания.¯ являетсяТогда естественное отображение ()*,* () → ()*,* ()изоморфизмом.Ê ñîæàëåíèþ, áèãðàäóèðîâàííûå àëãåáðàè÷åñêèå Ê-òåîðèè Ìîðàâû, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ïðåäïîñûëêàì ýòîãî Ïðåäëîæåíèÿ òàê è íå áûëè ïîñòðîåíû ñïóñòÿ 20 ëåò. Ýòî íå ïîìåøàëî, îäíàêî, Â.
Âîåâîäñêîìó äîêàçàòü ãèïîòåçûÌèëíîðà, ïîëüçóÿñü íàïèñàííûì âûøå íàáëþäåíèåì, ñâåäÿ åãî ê íåòðèâèàëüíîñòè äåéñòâèÿ îïðåäåë¼ííûõ îïåðåàöèé Ìèëíîðà íà ìîòèâíûõ êîãîìîëîãèÿõ.Ê-òåîðèè Ìîðàâû ()* , ðàññìàòðèâàåìûå â ýòîé ðàáîòå, ÿâëÿþòñÿòîëüêî "÷èñòîé ÷àñòüþ" ãèïîòåòè÷ñêèõ áèãðàäóèðîâàííûõ òåîðèé. Òåì íå ìåíåå, óòâåðæäåíèå àíàëîãè÷íîå íàáëþäåíèþ Âîåâîäñêîãî, óäàëîñü äîêàçàòü äëÿ96âñåõ êâàäðèê èç èäåàëà +2 .Предложение 2.16.4 (Ñåì¼íîâ, [29, Ïðåäë. 6.14]). Пусть – невырожденнаяквадратичная форма, т.ч.
её класс в кольце Витта лежит в +2 , обозна¯ = × ¯ – расширениечим через соответствующую квадрику, через скаляров.Тогда естественное отображение ограничения относительно расшире¯ является изоморфизмом для 1 ≤ ≤ния скаляров ()* () → ()* ().Набросок доказательства. Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò â ñâåäåíèè ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ê ñëó÷àþ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Ïôèñòåðà.Äëÿ êâàäðèê Ïôèñòåðà àëãåáðàè÷åñêèå êîáîðäèçìû áûëè âû÷èñëåíû À.Âèøèêîì è Í. ßãèòîé â [34], à èìåííî èìè áûëî ïîêàçàíî, ÷òî îòîáðàæåíèå¯ ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì, à òàêæå âû÷èñëåíîãðàíè÷åíèÿ : * () → * ()¯ ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìèàëüíîé àëãåáðîé íàäåãî îáðàç.
Ïîñêîëüêó êîëüöî * () * , òî îáðàç ðàâåí ïðÿìîé ñóììå íåêîòîðûõ ÿâíî îïèñûâàåìûõ èäåàëîâ â * , îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå Ïðåäëîæåíèÿ äëÿ êâàäðèê Ïôèñòåðà îòíîñèòåëüíî ôàêòîðèçàöèè îòîáðàæåíèÿ äëÿ ïîäõîäÿùèõ Ê-òåîðèé Ìîðàâû.Êàê ñëåäóåò èç äîêàçàòåëüñòâà Òåîðåìû 2.10 [35] äëÿ ëþáîãî êëàññà àíèçîòðîïíîé êâàäðèêè â +2 ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ áàøíÿ ðàñøèðåíèé ïîëÿìè ôóíêöèé ïðîèçâåäåíèé êâàäðèê Ïôèñòåðà èç +2 , ò.÷. ïîñëå ðàñøèðåíèÿêëàññ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû â êîëüöå Âèòòà ñòàíîâèòñÿ ðàâåí êëàññó àíèçîòðîïíîé êâàäðèêè Ïôèñòåðà.
Îñòà¼òñÿ òîëüêî äîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèÿ îãðàíè÷åíèÿ íà Ê-òåîðèÿõ Ìîðàâû ïðè ðàñøèðåíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ îòíîñèòåëüíî òàêèõ ïîëåé ÿâëÿþòñÿ èçîìîðôèçìàìè. Êëþ÷åâûì äëÿ ýòîãî ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîëîêàëèçàöèè Ê-òåîðèé Ìîðàâû è óæå äîêàçàííîå óòâåðæäåíèå äëÿ êâàäðèêÏôèñòåðà.Замечание 2.16.5.
Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî Ñåì¼íîâ èñïîëüçîâàë -óþ Ê-òåîðèþÌîðàâû ñ êîíêðåòíûì (åäèíñòâåííûì äëÿ äàíííîãî è ) ôîðìàëüíûìãðóïïîâûì çàêîíîì, èç Òåîðåìû 2.14.3 ñëåäóåò, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿâñåõ Ê-òåîðèé Ìîðàâû îïðåäåë¼ííûõ â ýòîé ðàáîòå.97Следствие 2.16.6.
Отображение расширения скаляров задаёт изоморфизмыдля ≥ 0 :¯ ()* () → ()* ().Существуют сюрьективные отображения абелевых групп¯ → () ⊗ Z(2) , ()* ()для 1 ≤ ≤ 2 .Доказательство. Èçîìîðôèçìû ñëåäóþò èç ôóíêòîðèàëüíîñòè ãàììà-ôèëüòðàöèè.Ñþðüåêòèâíûå îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êîìïîçèöèÿìè îáðàòíûõ ê óêàçàííûì èçîìîðôèçìàì è êëàññîâ ×åðíà (ñì. Ïðåäëîæåíèå 2.15.2).Äàííîå ñëåäñòâèå âìåñòå ñ ñþðüåêòèâíîñòüþ "ìàëûõ" êëàññîâ ×åðíà ïîçâîëÿåò ñòðîèòü îöåíêè íà ãðóïïû ×æîó ()⊗Z(2) óêàçàííûõ êâàäðèê äëÿ ≤ 2 .
À èìåííî, ýòè îöåíêè ïîëó÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ âû÷èñëåíèÿ ïðèñîåäè¯,í¼ííûõ ôàêòîðîâ ãàììà-ôèëüòðàöèè ïîëíîñòüþ ðàñùåïë¼ííîé êâàäðèêè ïðîäåëàííûõ â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.2.16.2 Гамма-фильтрация на расщепимой квадрике¯ ðàñùåïèìóþ êâàäðèêó ðàçìåðíîñòè 2 , è ïóñòü ≥Îáîçíà÷èì ÷åðåç 2+1 − 1 . Ñîãëàñíî Ãëàâíîé Òåîðåìå Àðàñîíà-Ïôèñòåðà àíèçîòðîïíûå êâàäðèêè, êëàññû êîòîðûõ ëåæàò â +2 , èìåþò ðàçìåðíîñòü íå ìåíåå 2+2 − 2 ,ïîýòîìó ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ î ðàçìåðíîñòè áóäåò äîñòàòî÷íî äëÿ ïðèëîæåíèé.¯ âëîæåíèå ìàêñèìàëüíîãî ëèíåéíîãî ïîäÎáîçíà÷èì ÷åðåç : P → ïðîñòðàíñòâà â êâàäðèêó.Предложение 2.16.7.
Имеется точная последовательность абелевых групп:**¯ −→ Z(2) []/( +1 ) → 0,0 → ⊕=0 Z(2) −→()* ()в которой отображение * является морфизмом колец.Доказательство. Ïóñòü (, ) ðàñùåïèìîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè 2 + 2 ñ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé . Îáîçíà÷èì ÷åðåç êàêîå-íèáóäü98âåêòîðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â ðàçìåðíîñòè +1 ðàâíîå ñâîåìó îðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ.Áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, èíäóöèðîâàííîå êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé, çàäà¼òëèíåéíîå îòîáðàæåíèå → * , ÿäðîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ . Ïðîåêòèâèçàöèÿ ýòîãî ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ çàäà¼ò ìîðôèçì P( ) ∖ P( ) → P( * ) ,ñëîè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ òîðñîðîì íàä (òðèâèàëüíûì) âåêòîðíûì ðàññëîåíèåì íàä P( * ) . Îãðàíè÷åíèå òîðñîðà íà êâàäðèêó ⊂ P( ) áåç ëèíåéíîãîïîäïðîñòðàíñòâà P( ) ÿâëÿåòñÿ òîðñîðîì íàä âåêòîðíûì ðàññëîåíèåì ,ñëîé êîòîðîãî íàä ïðÿìîé ∈ * ðàâåí .Èç àêñèîìû ãîìîòîïè÷åñêîé èíâàðèàíòíîñòè äëÿ î.î.ò.ê.
ñëåäóåò, ÷òîîòîáðàæåíèå * : ()* ( ∖ P( ) → ()* (P( * )) ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.Èç àêñèîìû ëîêàëèçàöèè ïîëó÷àåì ñóùåñòâîâàíèå ñëåäóþùåé òî÷íîéñïðàâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:**¯ −→ Z(2) []/( +1 ) → 0,⊕=0 Z(2) −→()* ()ãäå : P( ) → , * êîìïîçèöèÿ îãðàíè÷åíèÿ íà ∖ P( ) è èçîìîðôèçìà (* )−1 . Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå ñëåâà èíúåêòèâíîäîñòàòî÷íî îöåíèòü ðàíã ()* () , êîòîðûé ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ðàöèîíàëü∼íî. Ïîñêîëüêó õàðàêòåð ×åðíà óñòàíàâëèâàåò èçîìîðôèçì ()* () ⊗ Q −→ * () ⊗ Q , òî èç êëàññè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ î ðàçìåðíîñòè * () ⊗ Q ñëåäóåò, ÷òî dimQ ()* () ⊗ Q = 2 + 2 .
Èíúåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ äîêàçàíà.Îòîáðàæåíèå * Ïðåäëîæåíèÿ 2.16.7 èíäóöèðóåò ñþðüåêòèâíûå îòîáð௠→ ()* (P ) . Ïîñêîëüêó íà àáåëåâîéæåíèÿ àáåëåâûõ ãðóïï ()* ()ãðóïïå () (P ) ãàììà-ôèëüòðàöèÿ ñîâïàäàåò ñ òîïîëîãè÷åñêîé, òî ëåãêî âè*äåòü, ÷òî àáåëåâû ãðóïïû ()* (P ) ðàâíû Z(2) äëÿ 1 ≤ ≤ è ðàâíû0 äëÿ > . Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ãðóïïû ()* ïðè ≤ 2 < , ïîðîæäàþùåé ñâîáîäíîé ÷àñòè êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ , à êðó÷åíèå ñîñðåäîòî÷åíî¯ ∩ Im * .â ãðóïïå ()* ()¯ äëÿ ≥ 1 , ≡ 0 mod 2 − 1 ,Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå = ()* ()ãäå 1 ≤ 0 ≤ 2 −1 . Çàìåòèì, ÷òî èç ñâîéñòâà 4 Ïðåäëîæåíèÿ 2.15.2 ñëåäóåò, ÷òî− ∈ (−)mod 2 −1, ãäå ÷èñëî ( − ) mod 2 − 1 ëåæèò â îòðåçêå [1; 2 − 1] .99Áóäåì íàçûâàòü ÷èñëî äîïóñòèìûì äëÿ , åñëè − (2 − 1) ≥ 1 .Предложение 2.16.8.
Пусть ≡ 1 mod 2 − 1 . Тогда ∈ 2 , 22 ∈2+1 −1и −(2 −1) ∈ 2для допустимых ≥ 1 . Также − ∈ −+2+1 −1 −1для ≤ .Таким образом, Tors = 0 при 1 ≤ ≤ 2 −1 , и Tors 2фактором группы Z/22является.Доказательство. Âî-ïåðâûõ, äîêàæåì, ÷òî −(2 −1) ∈ 2äëÿ âñåõ äîïóñòè-ìûõ ≥ 0 . Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü îïåðàöèþ 2 . Äåéñòâèòåëüíî,ñîãëàñíî Ëåììå 2.15.3 è Òåîðåìå Ðèìàíà-Ðîõà 2.11.1 −1)2 (−(2 −1) ) = 2 (* ( (2)) = * ( (2 −1)+ . .
.) = −(2 −1) +∑︁ −(2 −1)≥äëÿ íåêîòîðûõ ∈ Z() (çàâèñÿùèõ îò ). Òîãäà ïî èíäóêöèè, íà÷èíàÿ ñäîïóñòèìîãî −(2 −1) ñ íàèáîëüøèì , ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå.Âî-âòîðûõ, 2 +(2 −1)+1 −1äëÿ ≥ 0 , ïîñêîëüêó ∈ 2 .+1 −1äëÿ äîïóñòèìûõ ≥ 1 .· ∈ 2Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî −(2−1 +1) ∈ 2Â-òðåòüèõ, íàì íóæíî ïðèìåíèòü êàêóþ-íèáóäü îïåðàöèþ, ëåæàùóþ â2+1 − 1 -ì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè ×åðíà ê ýëåìåíòó . Ðàññìîòðèì îïåðàöèþ ∘ 2 − 2 2 , íåñëîæíî ïðîâåðèòü, èñïîëüçóÿ Ëåììó 2.15.3, ÷òî îíà ëåæèò â −1)2+1 − 1 -ì ÷ëåíå ôèëüòðàöèè è ïåðåâîäèò 1 · · · 1+(2 −1) â 2 ( (−1)(221)1 · · · 1+(2 −1) ïðè ≥ 2 . Åñëè = 2 , òî ïîëó÷àåì 2−. Èñïîëüçóÿ Òåî-ðåìó Ðèìàíà-Ðîõà 2.11.1 è èíäóêöèîííûå ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íûå òåì, ÷òîâûøå, ïîëó÷àåì, ÷òî 22 ëåæèò â 2+1 − 1 -ì ÷ëåíå ãàììà-ôèëüòðàöèè.Предложение 2.16.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
