Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137443), страница 4

Файл №1137443 Диссертация (О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий) 4 страницаДиссертация (1137443) страница 42019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

ðàñøèðåíèÿ Q(0) ïðè ïîìîùè Q(1) ). Ñâÿçíîñòüíà îáúåêòàõ ýòîé êàòåãîðèè åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðîäîëæàåòñÿ ñ ëîãàðèôìè÷åñêèõ (ò.å. ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííîé â ïðåäëîæåíèè 1.2.4).Àëãåáðà Õîïôà ∙ òàêîé òàííàêèåâîé êàòåãîðèè ñîäåðæèò (Ext1ℳℋ Q (Q(0), Q(1)))è ÿâëÿåòñÿ ïîäàëãåáðîé â ℋ ∙ . Ïëîñêàÿ ïîäàëãåáðà ℎ∙ â ýòîì ñëó÷àå áóäåòðàâíà ∙ ∩ ℋ ℎ∙ .23Глава 2.

Операции из К-теорий Моравы äàííîé ãëàâå îñíîâíîå ïîëå èìååò õàðàêòåðèñòèêó íîëü. Âñå ðàññìàòðèâàåìûå ìíîãîîáðàçèÿ ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè, à òàêæå îïðåäåë¼ííûìè íàäïîëåì , åñëè íå óêàçàíî èíîå.2.1 Ориентированные теории когомологийОпределение 2.1.1 ([20, Îïð.

1.1.1]). Îòîáðàæåíèÿ ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé : → , : → íàçûâàþòñÿ òðàíñâåðñàëüíûìè, åñëè äëÿ êàæäîãî > 0âåðíî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: (* , * ) = 0.Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ âàðèàíòîì [32, Îïð. 2.1]. Åäèíñòâåííîåîòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî çíà÷åíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ íàìè òåîðèé êîãîìîëîãèé ÿâëÿþòñÿ êîììóòàòèâíûìè êîëüöàìè, à íå êîììóòàòèâíûìè ãðàäóèðîâàííûìè êîëüöàìè êàê â loc.cit.Определение 2.1.2 (ñì. òàêæå [24, 20, 36]).

Ïóñòü : (/) → êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð èç êàòåãîðèè ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé íàä ïîëåì â êàòåãîðèþ êîììóòàòèâíûõ êîëåö.Åñëè : → îòîáðàæåíèå ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé, òî ìîðôèçì êîëåö ( ) : ( ) → () ìû áóäåì îáîçíà÷àòü * , è íàçûâàòü åãî ìîðôèçìîìîãðàíè÷åíèÿ.Ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ íà íàçûâàåòñÿ íàáîð ìîðôèçìîâ àáåëåâûõ ãðóïï * : () → ( ) äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî îòîáðàæåíèÿ : → ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé, óäîâëåòâîðÿþùèé ñâîéñòâàì 1-6 íèæå.24Ìû áóäåì îïóñêàòü èíäåêñ â îáîçíà÷åíèÿõ ìîðôèçìîâ ïðÿìîãî îáðàçà è ìîðôèçìà îãðàíè÷åíèÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ýòî íå ïðèâîäèò ê äâóñìûñëåííîñòè.1. Åñëè : → , : → ñîáñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ ãëàäêèõìíîãîîáðàçèé, òî * ∘ * = ( ∘ )* .

Áîëåå òîãî, ( )* = () äëÿëþáîãî ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ .2. (Собственная замена базы.) Åñëè ñîáñòâåííîå îòîáðàæåíèå : → è îòîáðàæåíèå : → ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé òðàíñâåðñàëüíû, òî âäåêàðòîâîì êâàäðàòå′>′∨∨>âåðíî ðàâåíñòâî * * = *′ ′* .3. (Формула проекции.) Ïóñòü : → ñîáñòâåííîå îòîáðàæåíèå èïóñòü ∈ ( ) , ∈ () . Òîãäà âûïîëíåíî ñëåäóþùåå* ( · * ()) = * () · ,ò.å.

* ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì ( ) -ìîäóëåé.4. (Теорема о проективном расслоении.) Ïóñòü → âåêòîðíîå ðàññëîåíèå ðàíãà , (1) → P() êàíîíè÷åñêîå ëèíåéíîå ðàññëîåíèå íàïðîåêòèâèçàöèè , : P() → (1) åãî íóëåâîå ñå÷åíèå.Îïðåäåëèì ýëåìåíò = * * (1) èç êîëüöà () . Òîãäà () -ìîäóëü(P()) ñâîáîäíî ïîðîæä¼í ýëåìåíòàìè 1, , 2 , . . .

, −1 .5. (Гомотопическая инвариантность.) Ïóñòü : → âåêòîðíîå ðàññëîåíèå, òîãäà ìîðôèçì êîëåö * : () → () ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.6. (Свойство локализации.) Ïóñòü ãëàäêîå êâàçè-ïðîåêòèâíîå ìíîãîîáðàçèå, ⊂ åãî çàìêíóòàÿ ïîäñõåìà, →− îòêðûòîå äîïîëíåíèå25ê .

Îáîçíà÷èì ÷åðåç * () := lim → * ( ) ïðÿìîé ïðåäåë ïî âñåìñîáñòâåííûì îòîáðàæåíèÿì â → èç ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé 5.Ñòðóêòóðà ïðÿìûõ îáðàçîâ íà èíäóöèðóåò ìîðôèçì àáåëåâûõ ãðóïï* () → * () , è ñâîéñòâî ëîêàëèçàöèè óòâåðæäàåò, ÷òî ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àáåëåâûõ ãðóïï òî÷íà:** () → * () −→ * ( ) → 0.Определение 2.1.3 (op.cit.). Êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð : (/) → èç êàòåãîðèè ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé íàä ïîëåì â êàòåãîðèþ êîììóòàòèâíûõ êîëåö, ñíàáæ¼ííûé ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ, íàçûâàåòñÿ îáîáù¼ííîé îðèåíòèðîâàííîé òåîðèåé êîãîìîëîãèé (ñîêðàù¼ííî î.î.ò.ê.).Ïðèâåä¼ì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ î.î.ò.ê.

è êîãîìîëîãè÷åñêèõ òåîðèé, íå ÿâëÿþùèõñÿ îáîáù¼ííûìè îðèåíòèðîâàííûìè òåîðèÿìè êîãîìîëîãèÿìè â ñìûñëåîïðåäåëåíèÿ âûøå.*(−; Q ) îáëà1. Ïóñòü ïðîñòîå ÷èñëî. Òîãäà ýòàëüíûå êîãîìîëîãèè äàþò åñòåñòâåííîé ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ (ñì. [23]), êîòîðàÿ, îäíàêî,íå óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó ëîêàëèçàöèè.Åñëè = C ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, òî æå âåðíî è â îòíîøåíèèè òåî*ðèè ñèíãóëÿðíûõ êîãîìîëîãèé (−; ) äëÿ ëþáîé àáåëåâîé ãðóïïû.2. Ôóíêòîð, ñîïîñòàâëÿþùèé ìíîãîîáðàçèþ êîëüöî ׿îó * , îáëàäàþòîáëàäàþò åñòåñòâåííîé ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ (cì.

[5, c. 22]) è ÿâëÿåòñÿ î.î.ò.ê. (op. cit.).3. Êîëüöî àëãåáðàè÷åñêèõ êëàññîâ ïî ìîäóëþ àëãåáðàè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíî*ñòè íàñëåäóåò ñòðóêòóðó ïðÿìûõ îáðàçîâ ñ êîëüöà ׿îó (op.cit.).4. Ê-òåîðèÿ âåêòîðíûõ ðàñññëîåíèé 0 îáëàäàåò åñòåñòâåííîé ñòðóêòóðîéïðÿìûõ îáðàçîâ è ÿâëÿåòñÿ î.î.ò.ê. ([20, Ïðèìåð 1.1.5]).5 Этотпрямой предел существует, и, более того, совпадает с пределом по конечной диа-грамме собственных отображений – см. [32, Предл. 7.7]265. Àëãåáðàè÷åñêèå êîáîðäèçìû Ëåâèíà-Ìîðåëÿ Ω* ÿâëÿþòñÿ óíèâåðñàëüíîé î.î.ò.ê. ([20, Òåîðåìà 1.2.6]), ò.å.

äëÿ ëþáîé î.î.ò.ê. ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííûé ìîðôèçì ôóíêòîðîâ Ω* → , ñîãëàñîâàííûé ñî ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ.Ìíîãèå î.î.ò.ê. ÿâëÿþòñÿ ãðàäóèðîâàííûìè, ò.å. íà êîììóòàòèâíîì êîëüöå çíà÷åíèé äëÿ êàæäîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñóùåñòâóåò ãðàäóèðîâêà, ñîãëàñîâàííàÿñ ìîðôèçìàìè îãðàíè÷åíèé, à òàêæå ñîãëàñîâàííàÿ ñ ìîðôèçìàìè ïðÿìûõ îáðàçîì â îïðåäåë¼ííîì ñìûñëå. Íàïðèìåð, ãðóïïû ׿îó è àëãåáðàè÷åñêèå êîáîðäèçìû ÿâëÿþòñÿ ãðàäóèðîâàííûìè òåîðèÿìè.Îäíàêî, Ê-òåîðèÿ 0 è Ê-òåîðèè Ìîðàâû, êîòîðûå ìû áóäåì èññëåäîâàòü, íå ÿâëÿþòñÿ ãðàäóèðîâàííûìè.

Äëÿ åäèíîîáðàçèÿ îáîçíà÷åíèé, òåì íåìåíåå, î.î.ò.ê. ìû áóäåì îáîçíà÷àòü * , ÷òîáû îòëè÷àòü èõ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ êîëåö êîýôôèöèåíòîâ = * () .Замечание 2.1.4. Îáúåêòû, íàçûâàåìûå îáîáù¼ííûìè îðèåíòèðîâàííûìè òåî-ðèÿìè êîãîìîëîãèé, ïîÿâëÿþòñÿ òàêæå â àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè ([7]) è ìîòèâíîé òåîðèè ãîìîòîïèé ([24, 3.5]). Íå âäàâàÿñü â äåòàëè îïðåäåëåíèé ýòèõ îáúåêòîâ è êàòåãîðèé, ê êîòîðûì îíè ïðèíàäëåæàò, îáîçíà÷èì âçàèìîñâÿçü ìåæäóíèìè è èçó÷àåìûìè íàìè î.î.ò.ê.Åñëè A ∈ () ìîòèâíûé ñïåêòð, ïðåäñòàâëÿþùèé ìîòèâíóþ îðè−2,−, A] îáåíòèðîâàííóþ òåîðèþ êîãîìîëîãèé, òî ôóíêòîð → ⊕∞=0 [ ∧ ëàäàåò åñòåñòâåííîé ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ è ÿâëÿåòñÿ î.î.ò.ê.

â ñìûñëåîïðåäåëåíèÿ 2.1.3.Åñëè : → C âëîæåíèå ïîëåé, òî ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííàÿ êîíñòðóêöèÿ (ôóíêòîð íà ïîäõîäÿùåé êàòåãîðèè) * , ñîïîñòàâëÿþùàÿ êàæäîéìîòèâíîé îðèåíòèðîâàííîé òåîðèè êîãîìîëîãèé îáîáø¼ííóþ îðèåíòèðîâàííóþòåîðèþ êîìîãîëîãèé â àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè.2.2 Классы Черна ориентированных теорийÊëàññè÷åñêàÿ êîíñòðóêöèÿ êëàññîâ ×åðíà âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé ñî çíà÷åíèÿìè â ãðóïïàõ ׿îó ([15]) ìîæåò áûòü îáîáùåíà äëÿ çíà÷åíèé â ïðîèçâîëüíîé27î.î.ò.ê. Ìû ñóììèðóåì îñíîâíûå ñâîéñòâà ýòîé êîíñòðóêöèè â ñëåäóþùåé òåîðåìå.Теорема 2.2.1 (Cì., íàïðèìåð, [24, Òåîðåìà 3.3.3]). Пусть * – о.о.т.к. То-гда для векторного расслоения на гладком многообразии можно опре*делить элементы () ∈ () для ≥ 1 , называющиеся классами Черна .

Элементы должны удовлетворять следующим свойствам и однозначно ими определяются:1. если = () – линейное расслоение, соответствующее гладкому дивизору : ˓→ , то 1 () = * 1 ;2. для любого линейного расслоения на c нулевым сечением : → *верно, что 1 () = * 1 ;3. классы Черна согласованы с пуллбэками, т.е. для любого отображения гладких многообразий : → и векторного расслоения на выполнено равенство** ( ) = ();4.

для любой точной последовательности векторных расслоений 0 → ′ → → ′′ → 0 и любого натурального числа ≥ 2 выполнена формулаКартана:′′′ () = ( ) + ( ) +−1∑︁′′ ()− ( );=15. если векторное расслоение имеет ранг , то () = 0 при > ;*6. элементы () являются нильпотентами кольца () .*Èñïîëüçóÿ ïåðâûå êëàññû ×åðíà 1 ñ êàæäîé î.î.ò.ê. ìîæíî ñâÿçàòüôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí ñëåäóþùèì îáðàçîì.Теорема 2.2.2 ([20, Ëåììà 1.1.3]).

Пусть * – о.о.т.к., обозначим :=* (Spec ) – кольцо её коэффициентов.28Тогда существует и единственнен формальный ряд ∈ [[, ]] , т.ч.для любых линейных расслоений , на гладком многообразии 61 ( ⊗ ) = (1 (), 1 ( )).Ряд удовлетворяет следующим свойствам и таким образом задаёт (коммутативный, одномерный) формальный групповой закон (ф.г.з.) надкольцом :1. (, 0) = (0, ) = ;2. (, ) = (, ) ;3.

(, (, )) = ( (, ), ) .Определение 2.2.3. Êîëüöîì Ëàçàðà L íàçûâàåòñÿ ïàðà, ñîñòîÿùàÿ èç êîì-∑︀ ìóòàòèâíîãî êîëüöà L è ô.ã.ç. íàä íèì (, ) =, , ò.÷. äëÿ∑︀ëþáîãî ôîðìàëüíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà (, ) = íàä êîëüöîì ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ìîðôèçì êîëåö : L → , óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ ( ) = äëÿ ëþáûõ , ≥ 1 .Çàìåòèì, ÷òî êîëüöî Ëàçàðà îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà.Ðàññìîòðèì ôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû (ô.ã.ç.), âîçíèêàþùèå â ïðèìåðàõ î.î.ò.ê., ðàññìîòðåííûõ âûøå.1.

Êîëüöî êîýôôèöèåíòîâ * ðàâíî Z . Ïåðâûé êëàññ ×åðíà : → 11ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ôóíêòîðîâ àáåëåâûõ ãðóïï, ïîýòîìó (, ) = + . Äàííûé ô.ã.ç. íàçûâàåòñÿ àääèòèâíûì.02. Êîëüöî êîýôôèöèåíòîâ 0 ðàâíî Z . Ïåðâûé êëàññ ×åðíà 1 () ñî-ãëàñíî ñâîéñòâó 2 Òåîðåìû 2.2.1 ðàâåí [] − [] . Èç ñîîòíîøåíèÿ [ ⊗ ]−[] = ([]−[])([ ]−[])+[]+[ ]−2[] ïîëó÷àåì, ÷òî 0 (, ) = + + . Äàííûé ô.ã.ç. íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíûì.6 Выражение2.2.1.в правой части равенства корректно определено согласно свойству 6 теоремы293. Êîëüöî êîýôôèöèåíòîâ Ω* êàíîíè÷åñêè èçîìîðôíî êîëüöó Ëàçàðà L .Ñîîòâåòñòâóþùèé ô.ã.ç. íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíûì.Åñòåñòâåííûé âîïðîñ, êîòîðûé âîçíèêàåò ïîñëå àññîöèèðîâàíèÿ ô.ã.ç. ñêàæäîé îðèåíòèðîâàííîé òåîðèåé êîãîìîëîãèé, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: âñå ëèôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû ðåàëèçóþòñÿ òàêèì îáðàçîì?Определение 2.2.4 ([20, Çàìå÷àíèå 2.4.14]).

Ïóñòü êîëüöî, ô.ã.ç.íàä .Òîãäà ôóíêòîð * := Ω* ⊗L íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé òåîðèåé.Предложение 2.2.5 (loc.cit.). Структура прямых образов на алгебраическихкобордизмов индуцирует структуру прямых образов на свободных теориях.Таким образом свободные теории являются о.о.т.к.Доказательство. Ïóñòü ñâîáîäíàÿ òåîðèÿ çàäàíà ïàðîé (, ) .Ïóñòü : → ñîáñòâåííîå îòîáðàæåíèÿ ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèéêîðàçìåðíîñòè . Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèÿ * := *Ω ⊗ : * () := Ω* () ⊗L → Ω*+ ( ) ⊗L , ÿâëÿþùèåñÿ ìîðôèçìàìè àáåëåâûõ ãðóïï. Äîêàæåì, ÷òîýòè îòîáðàæåíèÿ çàäàþò ñòðóêòóðó ïðÿìûõ îáðàçîâ íà * .Ñâîéñòâà 1-3 è 5 ñòðóêòóðû ïðÿìûõ îáðàçîâ äëÿ íàáîðà (* ) âûïîëíÿþòñÿ, ïîñêîëüêó òåíçîðíîå óìíîæåíèå óâàæàåò ðàâåíñòâà.Ñâîéñòâî 4 âûïîëíÿåòñÿ, ò.ê.

Характеристики

Список файлов диссертации

О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6374
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее