Диссертация (1137443), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ðàñøèðåíèÿ Q(0) ïðè ïîìîùè Q(1) ). Ñâÿçíîñòüíà îáúåêòàõ ýòîé êàòåãîðèè åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðîäîëæàåòñÿ ñ ëîãàðèôìè÷åñêèõ (ò.å. ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííîé â ïðåäëîæåíèè 1.2.4).Àëãåáðà Õîïôà ∙ òàêîé òàííàêèåâîé êàòåãîðèè ñîäåðæèò (Ext1ℳℋ Q (Q(0), Q(1)))è ÿâëÿåòñÿ ïîäàëãåáðîé â ℋ ∙ . Ïëîñêàÿ ïîäàëãåáðà ℎ∙ â ýòîì ñëó÷àå áóäåòðàâíà ∙ ∩ ℋ ℎ∙ .23Глава 2.
Операции из К-теорий Моравы äàííîé ãëàâå îñíîâíîå ïîëå èìååò õàðàêòåðèñòèêó íîëü. Âñå ðàññìàòðèâàåìûå ìíîãîîáðàçèÿ ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè, à òàêæå îïðåäåë¼ííûìè íàäïîëåì , åñëè íå óêàçàíî èíîå.2.1 Ориентированные теории когомологийОпределение 2.1.1 ([20, Îïð.
1.1.1]). Îòîáðàæåíèÿ ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé : → , : → íàçûâàþòñÿ òðàíñâåðñàëüíûìè, åñëè äëÿ êàæäîãî > 0âåðíî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: (* , * ) = 0.Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ âàðèàíòîì [32, Îïð. 2.1]. Åäèíñòâåííîåîòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî çíà÷åíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ íàìè òåîðèé êîãîìîëîãèé ÿâëÿþòñÿ êîììóòàòèâíûìè êîëüöàìè, à íå êîììóòàòèâíûìè ãðàäóèðîâàííûìè êîëüöàìè êàê â loc.cit.Определение 2.1.2 (ñì. òàêæå [24, 20, 36]).
Ïóñòü : (/) → êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð èç êàòåãîðèè ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé íàä ïîëåì â êàòåãîðèþ êîììóòàòèâíûõ êîëåö.Åñëè : → îòîáðàæåíèå ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé, òî ìîðôèçì êîëåö ( ) : ( ) → () ìû áóäåì îáîçíà÷àòü * , è íàçûâàòü åãî ìîðôèçìîìîãðàíè÷åíèÿ.Ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ íà íàçûâàåòñÿ íàáîð ìîðôèçìîâ àáåëåâûõ ãðóïï * : () → ( ) äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî îòîáðàæåíèÿ : → ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé, óäîâëåòâîðÿþùèé ñâîéñòâàì 1-6 íèæå.24Ìû áóäåì îïóñêàòü èíäåêñ â îáîçíà÷åíèÿõ ìîðôèçìîâ ïðÿìîãî îáðàçà è ìîðôèçìà îãðàíè÷åíèÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ýòî íå ïðèâîäèò ê äâóñìûñëåííîñòè.1. Åñëè : → , : → ñîáñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ ãëàäêèõìíîãîîáðàçèé, òî * ∘ * = ( ∘ )* .
Áîëåå òîãî, ( )* = () äëÿëþáîãî ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ .2. (Собственная замена базы.) Åñëè ñîáñòâåííîå îòîáðàæåíèå : → è îòîáðàæåíèå : → ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé òðàíñâåðñàëüíû, òî âäåêàðòîâîì êâàäðàòå′>′∨∨>âåðíî ðàâåíñòâî * * = *′ ′* .3. (Формула проекции.) Ïóñòü : → ñîáñòâåííîå îòîáðàæåíèå èïóñòü ∈ ( ) , ∈ () . Òîãäà âûïîëíåíî ñëåäóþùåå* ( · * ()) = * () · ,ò.å.
* ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì ( ) -ìîäóëåé.4. (Теорема о проективном расслоении.) Ïóñòü → âåêòîðíîå ðàññëîåíèå ðàíãà , (1) → P() êàíîíè÷åñêîå ëèíåéíîå ðàññëîåíèå íàïðîåêòèâèçàöèè , : P() → (1) åãî íóëåâîå ñå÷åíèå.Îïðåäåëèì ýëåìåíò = * * (1) èç êîëüöà () . Òîãäà () -ìîäóëü(P()) ñâîáîäíî ïîðîæä¼í ýëåìåíòàìè 1, , 2 , . . .
, −1 .5. (Гомотопическая инвариантность.) Ïóñòü : → âåêòîðíîå ðàññëîåíèå, òîãäà ìîðôèçì êîëåö * : () → () ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.6. (Свойство локализации.) Ïóñòü ãëàäêîå êâàçè-ïðîåêòèâíîå ìíîãîîáðàçèå, ⊂ åãî çàìêíóòàÿ ïîäñõåìà, →− îòêðûòîå äîïîëíåíèå25ê .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç * () := lim → * ( ) ïðÿìîé ïðåäåë ïî âñåìñîáñòâåííûì îòîáðàæåíèÿì â → èç ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé 5.Ñòðóêòóðà ïðÿìûõ îáðàçîâ íà èíäóöèðóåò ìîðôèçì àáåëåâûõ ãðóïï* () → * () , è ñâîéñòâî ëîêàëèçàöèè óòâåðæäàåò, ÷òî ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àáåëåâûõ ãðóïï òî÷íà:** () → * () −→ * ( ) → 0.Определение 2.1.3 (op.cit.). Êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð : (/) → èç êàòåãîðèè ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé íàä ïîëåì â êàòåãîðèþ êîììóòàòèâíûõ êîëåö, ñíàáæ¼ííûé ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ, íàçûâàåòñÿ îáîáù¼ííîé îðèåíòèðîâàííîé òåîðèåé êîãîìîëîãèé (ñîêðàù¼ííî î.î.ò.ê.).Ïðèâåä¼ì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ î.î.ò.ê.
è êîãîìîëîãè÷åñêèõ òåîðèé, íå ÿâëÿþùèõñÿ îáîáù¼ííûìè îðèåíòèðîâàííûìè òåîðèÿìè êîãîìîëîãèÿìè â ñìûñëåîïðåäåëåíèÿ âûøå.*(−; Q ) îáëà1. Ïóñòü ïðîñòîå ÷èñëî. Òîãäà ýòàëüíûå êîãîìîëîãèè äàþò åñòåñòâåííîé ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ (ñì. [23]), êîòîðàÿ, îäíàêî,íå óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó ëîêàëèçàöèè.Åñëè = C ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, òî æå âåðíî è â îòíîøåíèèè òåî*ðèè ñèíãóëÿðíûõ êîãîìîëîãèé (−; ) äëÿ ëþáîé àáåëåâîé ãðóïïû.2. Ôóíêòîð, ñîïîñòàâëÿþùèé ìíîãîîáðàçèþ êîëüöî ×æîó * , îáëàäàþòîáëàäàþò åñòåñòâåííîé ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ (cì.
[5, c. 22]) è ÿâëÿåòñÿ î.î.ò.ê. (op. cit.).3. Êîëüöî àëãåáðàè÷åñêèõ êëàññîâ ïî ìîäóëþ àëãåáðàè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíî*ñòè íàñëåäóåò ñòðóêòóðó ïðÿìûõ îáðàçîâ ñ êîëüöà ×æîó (op.cit.).4. Ê-òåîðèÿ âåêòîðíûõ ðàñññëîåíèé 0 îáëàäàåò åñòåñòâåííîé ñòðóêòóðîéïðÿìûõ îáðàçîâ è ÿâëÿåòñÿ î.î.ò.ê. ([20, Ïðèìåð 1.1.5]).5 Этотпрямой предел существует, и, более того, совпадает с пределом по конечной диа-грамме собственных отображений – см. [32, Предл. 7.7]265. Àëãåáðàè÷åñêèå êîáîðäèçìû Ëåâèíà-Ìîðåëÿ Ω* ÿâëÿþòñÿ óíèâåðñàëüíîé î.î.ò.ê. ([20, Òåîðåìà 1.2.6]), ò.å.
äëÿ ëþáîé î.î.ò.ê. ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííûé ìîðôèçì ôóíêòîðîâ Ω* → , ñîãëàñîâàííûé ñî ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ.Ìíîãèå î.î.ò.ê. ÿâëÿþòñÿ ãðàäóèðîâàííûìè, ò.å. íà êîììóòàòèâíîì êîëüöå çíà÷åíèé äëÿ êàæäîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñóùåñòâóåò ãðàäóèðîâêà, ñîãëàñîâàííàÿñ ìîðôèçìàìè îãðàíè÷åíèé, à òàêæå ñîãëàñîâàííàÿ ñ ìîðôèçìàìè ïðÿìûõ îáðàçîì â îïðåäåë¼ííîì ñìûñëå. Íàïðèìåð, ãðóïïû ×æîó è àëãåáðàè÷åñêèå êîáîðäèçìû ÿâëÿþòñÿ ãðàäóèðîâàííûìè òåîðèÿìè.Îäíàêî, Ê-òåîðèÿ 0 è Ê-òåîðèè Ìîðàâû, êîòîðûå ìû áóäåì èññëåäîâàòü, íå ÿâëÿþòñÿ ãðàäóèðîâàííûìè.
Äëÿ åäèíîîáðàçèÿ îáîçíà÷åíèé, òåì íåìåíåå, î.î.ò.ê. ìû áóäåì îáîçíà÷àòü * , ÷òîáû îòëè÷àòü èõ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ êîëåö êîýôôèöèåíòîâ = * () .Замечание 2.1.4. Îáúåêòû, íàçûâàåìûå îáîáù¼ííûìè îðèåíòèðîâàííûìè òåî-ðèÿìè êîãîìîëîãèé, ïîÿâëÿþòñÿ òàêæå â àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè ([7]) è ìîòèâíîé òåîðèè ãîìîòîïèé ([24, 3.5]). Íå âäàâàÿñü â äåòàëè îïðåäåëåíèé ýòèõ îáúåêòîâ è êàòåãîðèé, ê êîòîðûì îíè ïðèíàäëåæàò, îáîçíà÷èì âçàèìîñâÿçü ìåæäóíèìè è èçó÷àåìûìè íàìè î.î.ò.ê.Åñëè A ∈ () ìîòèâíûé ñïåêòð, ïðåäñòàâëÿþùèé ìîòèâíóþ îðè−2,−, A] îáåíòèðîâàííóþ òåîðèþ êîãîìîëîãèé, òî ôóíêòîð → ⊕∞=0 [ ∧ ëàäàåò åñòåñòâåííîé ñòðóêòóðîé ïðÿìûõ îáðàçîâ è ÿâëÿåòñÿ î.î.ò.ê.
â ñìûñëåîïðåäåëåíèÿ 2.1.3.Åñëè : → C âëîæåíèå ïîëåé, òî ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííàÿ êîíñòðóêöèÿ (ôóíêòîð íà ïîäõîäÿùåé êàòåãîðèè) * , ñîïîñòàâëÿþùàÿ êàæäîéìîòèâíîé îðèåíòèðîâàííîé òåîðèè êîãîìîëîãèé îáîáø¼ííóþ îðèåíòèðîâàííóþòåîðèþ êîìîãîëîãèé â àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè.2.2 Классы Черна ориентированных теорийÊëàññè÷åñêàÿ êîíñòðóêöèÿ êëàññîâ ×åðíà âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé ñî çíà÷åíèÿìè â ãðóïïàõ ×æîó ([15]) ìîæåò áûòü îáîáùåíà äëÿ çíà÷åíèé â ïðîèçâîëüíîé27î.î.ò.ê. Ìû ñóììèðóåì îñíîâíûå ñâîéñòâà ýòîé êîíñòðóêöèè â ñëåäóþùåé òåîðåìå.Теорема 2.2.1 (Cì., íàïðèìåð, [24, Òåîðåìà 3.3.3]). Пусть * – о.о.т.к. То-гда для векторного расслоения на гладком многообразии можно опре*делить элементы () ∈ () для ≥ 1 , называющиеся классами Черна .
Элементы должны удовлетворять следующим свойствам и однозначно ими определяются:1. если = () – линейное расслоение, соответствующее гладкому дивизору : ˓→ , то 1 () = * 1 ;2. для любого линейного расслоения на c нулевым сечением : → *верно, что 1 () = * 1 ;3. классы Черна согласованы с пуллбэками, т.е. для любого отображения гладких многообразий : → и векторного расслоения на выполнено равенство** ( ) = ();4.
для любой точной последовательности векторных расслоений 0 → ′ → → ′′ → 0 и любого натурального числа ≥ 2 выполнена формулаКартана:′′′ () = ( ) + ( ) +−1∑︁′′ ()− ( );=15. если векторное расслоение имеет ранг , то () = 0 при > ;*6. элементы () являются нильпотентами кольца () .*Èñïîëüçóÿ ïåðâûå êëàññû ×åðíà 1 ñ êàæäîé î.î.ò.ê. ìîæíî ñâÿçàòüôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí ñëåäóþùèì îáðàçîì.Теорема 2.2.2 ([20, Ëåììà 1.1.3]).
Пусть * – о.о.т.к., обозначим :=* (Spec ) – кольцо её коэффициентов.28Тогда существует и единственнен формальный ряд ∈ [[, ]] , т.ч.для любых линейных расслоений , на гладком многообразии 61 ( ⊗ ) = (1 (), 1 ( )).Ряд удовлетворяет следующим свойствам и таким образом задаёт (коммутативный, одномерный) формальный групповой закон (ф.г.з.) надкольцом :1. (, 0) = (0, ) = ;2. (, ) = (, ) ;3.
(, (, )) = ( (, ), ) .Определение 2.2.3. Êîëüöîì Ëàçàðà L íàçûâàåòñÿ ïàðà, ñîñòîÿùàÿ èç êîì-∑︀ ìóòàòèâíîãî êîëüöà L è ô.ã.ç. íàä íèì (, ) =, , ò.÷. äëÿ∑︀ëþáîãî ôîðìàëüíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà (, ) = íàä êîëüöîì ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ìîðôèçì êîëåö : L → , óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ ( ) = äëÿ ëþáûõ , ≥ 1 .Çàìåòèì, ÷òî êîëüöî Ëàçàðà îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà.Ðàññìîòðèì ôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû (ô.ã.ç.), âîçíèêàþùèå â ïðèìåðàõ î.î.ò.ê., ðàññìîòðåííûõ âûøå.1.
Êîëüöî êîýôôèöèåíòîâ * ðàâíî Z . Ïåðâûé êëàññ ×åðíà : → 11ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ôóíêòîðîâ àáåëåâûõ ãðóïï, ïîýòîìó (, ) = + . Äàííûé ô.ã.ç. íàçûâàåòñÿ àääèòèâíûì.02. Êîëüöî êîýôôèöèåíòîâ 0 ðàâíî Z . Ïåðâûé êëàññ ×åðíà 1 () ñî-ãëàñíî ñâîéñòâó 2 Òåîðåìû 2.2.1 ðàâåí [] − [] . Èç ñîîòíîøåíèÿ [ ⊗ ]−[] = ([]−[])([ ]−[])+[]+[ ]−2[] ïîëó÷àåì, ÷òî 0 (, ) = + + . Äàííûé ô.ã.ç. íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíûì.6 Выражение2.2.1.в правой части равенства корректно определено согласно свойству 6 теоремы293. Êîëüöî êîýôôèöèåíòîâ Ω* êàíîíè÷åñêè èçîìîðôíî êîëüöó Ëàçàðà L .Ñîîòâåòñòâóþùèé ô.ã.ç. íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíûì.Åñòåñòâåííûé âîïðîñ, êîòîðûé âîçíèêàåò ïîñëå àññîöèèðîâàíèÿ ô.ã.ç. ñêàæäîé îðèåíòèðîâàííîé òåîðèåé êîãîìîëîãèé, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: âñå ëèôîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû ðåàëèçóþòñÿ òàêèì îáðàçîì?Определение 2.2.4 ([20, Çàìå÷àíèå 2.4.14]).
Ïóñòü êîëüöî, ô.ã.ç.íàä .Òîãäà ôóíêòîð * := Ω* ⊗L íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé òåîðèåé.Предложение 2.2.5 (loc.cit.). Структура прямых образов на алгебраическихкобордизмов индуцирует структуру прямых образов на свободных теориях.Таким образом свободные теории являются о.о.т.к.Доказательство. Ïóñòü ñâîáîäíàÿ òåîðèÿ çàäàíà ïàðîé (, ) .Ïóñòü : → ñîáñòâåííîå îòîáðàæåíèÿ ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèéêîðàçìåðíîñòè . Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèÿ * := *Ω ⊗ : * () := Ω* () ⊗L → Ω*+ ( ) ⊗L , ÿâëÿþùèåñÿ ìîðôèçìàìè àáåëåâûõ ãðóïï. Äîêàæåì, ÷òîýòè îòîáðàæåíèÿ çàäàþò ñòðóêòóðó ïðÿìûõ îáðàçîâ íà * .Ñâîéñòâà 1-3 è 5 ñòðóêòóðû ïðÿìûõ îáðàçîâ äëÿ íàáîðà (* ) âûïîëíÿþòñÿ, ïîñêîëüêó òåíçîðíîå óìíîæåíèå óâàæàåò ðàâåíñòâà.Ñâîéñòâî 4 âûïîëíÿåòñÿ, ò.ê.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
