Диссертация (1137443), страница 5
Текст из файла (страница 5)
òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ñîõðàíÿåò ñâîéñòâîìîäóëÿ áûòü ñâîáîäíûì è åãî ðàíã.Ñâîéñòâî 6 âûïîëíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó ôóíêòîð òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ òî÷åí ñïðàâà.Замечание 2.2.6.  àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè è ìîòèâíîé òåîðèè ãîìîòîïèé ñîðèåíòèðîâàííîé òåîðèåé êîãîìîëîãèé òàêæå ìîæíî ñâÿçàòü ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí. Îäíàêî, íå âñåì ôîðìàëüíûì ãðóïïîâûì çàêîíàì ñîîòâåòñòâóåòñïåêòð, ðåàëèçóþùèé äàííûé ô.ã.ç.Åñòåñòâåííûì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü ìîðôèçìû ìåæäó ôîðìàëüíûìè ãðóïïîâûìè çàêîíàìè, äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîáîäíûõ òåîðèé ðàöèîíàëüíîãî îíè îòâå÷àþò ìóëüòèïëèêàòèâíûì îïåðàöèÿì. Ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿíàì ïîíàäîáÿòñÿ â äàëüíåéøåì ïðè èçó÷åíèè -òèïè÷åñêèõ ô.ã.ç.30Определение 2.2.7. Ìîðôèçìîì èç ô.ã.ç.
(, ) â ô.ã.ç. (, ) íàçûâàåò-ñÿ ïàðà (, ) , ñîñòîÿùàÿ èç ìîðôèçìà êîëåö : → è ðÿäà () ∈ [[]] ,ò.÷. ( )((), ()) = ( (, )) .Åñëè ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì, ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì îòíîñèòåëüíîêîìïîçèöèè ðÿäîì, òî ìîðôèçì ô.ã.ç. ÿâëÿåòñÿ èçîôîðìèçìîì.Èçîìîðôèçì íàçûâàòñÿ ñòðîãèì, åñëè ðÿä ∈ + 2 [[]] .2.3 Операции, поли-операции и их производныеОпределение 2.3.1. Ïóñòü , êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû èç êàòåãî-ðèè ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé íàä ïîëåì â êàòåãîðèþ êîììóòàòèâíûõ êîëåö.Îïåðàöèåé èç â íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ôóíêòîðîâ : , ∘ → ∘ , ãäå , : → çàáûâàþùèéôóíêòîð èç êàòåãîðèè êîëåö â êàòåãîðèþ ìíîæåñòâ. Ìíîæåñòâî âñåõ îïåðàöèéèç â îáîçíà÷àåòñÿ [, ] .Îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé, åñëè ñóùåñòâóåò (à, ñëåäîâàòåëüíî, åäèíñòâåííî) åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ¯ : → , ò.÷.
=, ∘ ¯ .Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ àääèòèâíûå îïåðàöèè ìåæäó êîíòðàâàðèàíòíûìè ôóíêòîðàìè êîëåö, à òàêæå îïåðàöèè è àääèòèâíûå îïåðàöèè ìåæäóêîíòðàâàðèàíòíûìè ôóíêòîðàìè àáåëåâûõ ãðóïï. Ìíîæåñòâî âñåõ àääèòèâíûõîïåðàöèé èç â îáîçíà÷èì ÷åðåç [, ] .Пример 1.1. Åñòåñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ Ω* → * (ãäå * î.î.ò.ê.), à*òàêæå * → ÿâëÿþòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíûìè îïåðàöèÿìè.2. Õàðàêòåð ×åðíà ℎ : 0 → * ⊗ Q ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé îïåðàöèåé ([5, Ïðèìåð 3.2.3]).*3. Êëàññû ×åðíà ÿâëÿþòñÿ îïåðàöèÿìè, íåàääèòèâíûìè ïðè : 0 → >1.4.
Ïóñòü ïðîñòîå ÷èñëî. Òîãäà íà êîëüöàõ ×æîó ïî ìîäóëþ ñóùåñòâóåò äåéñòâèå àëãåáðû Ñòèíðîäà, òàê ÷òî ïîðîæäàþùèå Ñòèíðîäà 31äåéñòâóþò èç / â +(−1) / ([31, 10]).2.3.1 Производные операцийÄëÿ òîãî, ÷òîáû èçó÷àòü "ñòåïåíü íåàääèòèâíîñòè" îïåðàöèè íàì ïîíàäîáèòñÿîïðåäåëèòü å¼ ïðîèçâîäíóþ. Îäíàêî, ïðîèçâîäíàÿ áóäåò óæå íå îïåðàöèåé, à2-îïåðàöèåé, ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîëè-îïåðàöèè.∏︀Îáîçíà÷èì ÷åðåç: (/)× → / ôóíêòîð, ñîïîñòàâëÿþùèéíàáîðó èç ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé èõ ïðîèçâåäåíèå.Определение 2.3.2. Ïóñòü , êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû èç êàòåãî-ðèè ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé íàä ïîëåì â êàòåãîðèþ êîììóòàòèâíûõ êîëåö.Ïîëè-îïåðàöèåé èç â íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå∏︀êîíòðàâàðèàíòíûõ ôóíêòîðîâ : , ∘ (× ) → , ∘ ∘ íàêàòåãîðèè (/)× . ×èñëî íàçûâàåòñÿ àðíîñòüþ îïåðàöèè. ÿâíîì âèäå, äëÿ êàæäîãî íàáîðà èç ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé 1 , .
. . , çàäàíî (ôóíêòîðèàëüíîå) îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâ1 ,..., : (1 ) × (2 ) × · · · × ( ) → (1 × 2 × · · · × ).Àíàëîãè÷íî 2.3.1 îïðåäåëÿþòñÿ ïîëè-àääèòèâíûå è ïîëè-ìóëüòèïëèêàòèâíûåïîëè-îïåðàöèè.Пример 2. Óìíîæåíèå â êîëüöåâîé òåîðèè êîãîìîëîãèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê ïîëè-îïåðàöèþ àðíîñòè 2.Определение 2.3.3. Ïóñòü , êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû èç êàòå-ãîðèè ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé íàä ïîëåì â êàòåãîðèþ êîììóòàòèâíûõ êîëåö.Ïóñòü ïîëè-îïåðàöèÿ èç â àðíîñòè .Ïóñòü 1 , . . .
, +1 ãëàäêèå ìíîãîîáðàçèÿ, ∈ ( ) ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû äëÿ : 1 ≤ ≤ + 1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç < := (1 , . . . , −1 ) ,>+1 := (+2 , . . . , +1 ) . Ïðîèçâîäíîé ïî -îé êîìïîíåíòå íàçûâàåòñÿ ïîëèîïåðàöèÿ 1 èç â àðíîñòè +1 , îïðåäåëÿåìàÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:1 (< , , +1 , >+1 ) := (< , ++1 , >+1 )−(< , , >+1 )−(< , +1 , >+1 ).32Ïðîèçâîäíûå îïåðàöèè èçìåðÿþò, íàñêîëüêî îíè íåàääèòèâíû.
Äåéñòâèòåëüíî, ïîëè-îïåðàöèÿ àðíîñòè ÿâëÿåòñÿ ïîëè-àääèòèâíîé òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà 1 = 0 äëÿ âñåõ 1 ≤ ≤ .Åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿþòñÿ ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå: 1 ,..., := 1 ∘ · · · 11 .Êàê è â ñëó÷àå ñ ïðîèçâîäíûìè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé, ñìåøàííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîëè-îïåðàöèè íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà âçÿòèÿ ïðîèçâîäíûõ. Ñôîðìóëèðóåì ýòî â âèäå ïðåäëîæåíèÿ.Предложение 2.3.4. Пусть – поли-операция из в .Тогда для любого набора 1 , . . . , и любой перестановки ∈ Σ 1 ,..., = 1 ,..., . ÷àñòíîñòè, âñå -ûå ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå îïåðàöèè ðàâíû, èìû áóäåì îáîçíà÷àòü èõ .2.3.2 Внешние произведения операцийОпределение 2.3.5.
Ïóñòü , ïîëè-îïåðàöèè èç * â * àðíîñòåé è ñîîòâåòñòâåííî.Òîãäà åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ôóíêòîðîâ , ∘(×+ ) → , ∘∏︀∏︀+ * ∘ + , ñîïîñòàâëÿþùåå ýëåìåíòó (1 , · · · , + ) ∈=1 ( ) ýëåìåíò**[1,](1 , · · · , ) · [+1,+](+1 , . . . , + ) . ãäå [,] ïðîåêöèÿ ïðîèçâå-äåíèÿ íà êîìïîíåíòû ñ -îé ïî -óþ, ÿâëÿåòñÿ + -îé ïîëè-îïåðàöèåé. Ìûáóäåì îáîçíà÷àòü å¼ · .⊙Òàêèì îáðàçîì, ó íàñ èìååòñÿ åñòâåñòâåííîå îòîáðàæåíèå [* , * ]⊗ −→∏︀[(* )× , * ∘] ] .  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèç∏︀ìîì, è ìû áóäåì ïèñàòü [(* )× , * ∘] ] = [* , * ]⊙ .332.4 Мультипликативные операцииÎäíèì èç ïåðâûõ ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ ìóëüòèïëèêàòèâíûõ îïåðàöèé èç î.î.ò.ê.* â î.î.ò.ê. * ÿâëÿåòñÿ èçìåíåíèå îðèåíòàöèè íà * , ïðåäëîæåííîå È.
Ïàíèíûì è À. Ñìèðíîâûì.Теорема 2.4.1 (Ïàíèí-Ñìèðíîâ, [25, Òåîðåìà 4.9.1]). Пусть * – о.о.т.к.,*– соответстующий первый класс Черна в , и пусть ∈1 : → · [[]] – обратимый относительно композиции ряд.Тогда на контравариантном функторе * существует и единственна(новая) структура прямых образов, т.ч. новый первый класс Черна связан состарым по формуле 1 () = (1 ()) для любого линейного расслоения .Соответствующую о.о.т.к. будем обозначать * . Её формальный групповой закон связан с ф.г.з. * по формуле: (, ) = ( −1 (), −1 ()).Ïóñòü òåïåðü : * → * ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ îïåðàöèÿ ìåæäó î.î.ò.ê.,òîãäà ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííåí ðÿä ∈ [[]] , íàçûâàåìûé îáðàòíûì ðÿäîì Òîäà, ò.÷. (1 ()) = (1 ()) è (, ) = ( )((), ()) .
Òàêèìîáðàçîì, (| , ) çàäà¼ò ìîðôèçì ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ èç (, )â (, ) .Çàìåòèì, ÷òî ðÿä , ñâÿçàííûé ñ îïåðàöèåé , âîâñå íå îáÿçàí áûòüîáðàòèìûì. Åñëè îí ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì, à * ÿâëÿåòñÿ ëîêàëèçàöèåé àëãåáðàè÷åñêèåõ êîáîðäèçìîâ, òî Òåîðåìà 2.4.1 â ñîâîêóïíîñòè ñ óíèâåðñàëüíîñòüþàëãåáðàè÷åñêèõ êîáîðäèçìîâ ïîçâîëÿåò òàêóþ îïåðàöèþ ïîñòðîèòü.Îäíàêî, òåîðåìà Âèøèêà, êîòîðóþ ìû ïðèâåä¼ì â äàëüíåéøåì, ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ìóëüòèïëèêàòèâíóþ îïåðàöèþ äëÿ ëþáîãî ðÿäà , çàäàþùåãîìîðôèçì ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ. Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ýòèì ðåçóëüòàòîì, ñôîðìóëèðîâàííûì â âèäå ñëåäóþùåé òåîðåìû, íà ïðîòÿæåíèè âñåéäèññåðòàöèè.Теорема 2.4.2 (cf.
[32, Òåîðåìà 3.7]). Пусть * – о.о.т.к., ∈ · [[]]– обратимый относительно композиции ряд, и пусть * – локализация ал-34гебраических кобордизмов, и существует морфизм колец : → , т.ч.( , ) – морфизм ф.г.з. из (, ) в (, ) .Тогда существует единственная мультипликативная операция : * → * , т.ч. = , | = .2.5 Операции из теорий рационального типаÏîñòðîåíèå îïåðàöèé ìåæäó îðèåíòèðîâàííûìè òåîðèÿìè êîãîìîëîãèé â àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè áûëî îñëîæíåíî äî íåêîòîðîãî âðåìåíè òåì, ÷òî ãîìîòîïè÷åñêèå êîíñòðóêöèè ìîðôèçìîâ ñïåêòðîâ íå ìîãóò áûòü ïåðåíåñåíû verbatimâ ìîòèâíûé ìèð.Òåì íå ìåíåå, àíàëîã îïåðàöèé Ñòèíðîäà áûë ïîñòðîåí â ìîòèâíûõ êîãîìîëîãèÿõ Â.
Âîåâîäñêèì. À ïîçäíåå Ï. Áðîñíàíîì áûëà ïðåäúÿâëåíà ãåîìåòðè÷åñêàÿ êîíñòðóêöèÿ îïåðàöèé Ñòèíðîäà íà ãðóïïàõ ×æîó àíàëîãè÷íàÿêîíñòðóêöèè òîì Äèêà. Íàïîìíèì, ÷òî ãðóïïû ×æîó ÿâëÿþòñÿ ÷àñòüþ ìîòèâíûõ êîãîìîëîãèé, è òàêèì îáðàçîì íîâûõ îïåðàöèé ïîñòðîåíî íå áûëî, îäíàêî,èõ ãåîìåòðè÷åñêîå îïèñàíèå îêàçàëîñü âåñüìà ïîëåçíî.Ïîñêîëüêó àëãåáðàè÷åñêèå êîáîðäèçìû Ëåâèíà-Ìîðåëÿ êàê è ãðóïïû×æîó èìåþò áîëåå ÿâíîå ãåîìåòðè÷åñêîå îïèñàíèå, ÷åì àëãåáðàè÷åñêèå êîáîðäèçìû Âîåâîäñêîãî, òî ñëåäîâàëî îæèäàòü, ÷òî ìíîãèå îïåðàöèè â ýòîé òåîðèèìîãóò áûòü îïèñàíû ñ ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé, íå èñïîëüçóþùèõ ãîìîòîïè÷åñêóþ íàóêó. Ýòà çàäà÷à áûëà ðåøåíà À.
Âèøèêîì â ðàáîòàõ[32, 33], â êîòîðûõ ïîñòðîåíèå îïåðàöèé ìåæäó òåîðèÿìè òèïà àëãåáðàè÷åñêèõêîáîðäèçìîâ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íåêîòîðîé ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû çàäàþò îïåðàöèè íà ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîåêòèâíûõïðîñòðàíñòâ, à êîíñòðóêöèÿ îïåðàöèè íà ïðîèçâîëüíîì ìíîãîîáðàçèè îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ðèìàíà-Ðîõà äëÿ çàìêíóòûõ âëîæåíèé. Ýòà êëàññèôèêàöèÿ îïåðàöèé Âèøèêà ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâîé äëÿ âñåõ íàøèõ âû÷èñëåíèé.Определение 2.5.1 ([20, Îïð.
4.4.1], ñì. òàêæå [32, Îïð. 2.1]). Î.î.ò.ê. * óäî-âëåòâîðÿåò àêèñîìå (CONST), åñëè äëÿ ëþáîãî íåïðèâîäèìîãî ãëàäêîãî ìíîãî-35îáðàçèÿ åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå* (()) := lim * ( ) → * (Spec ) = ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì, ãäå èíäóêòèâíûé ïðåäåë áåð¼òñÿ ïî âñåì îòêðûòûìïîäìíîãîîáðàçèÿì , ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.Определение 2.5.2. Ïóñòü L → ìîðôèçì êîëåö.Òîãäà òåîðèÿ Ω* ⊗L íàçûâàåòñÿ òåîðèåé ðàöèîíàëüíîãî òèïà.Замечание 2.5.3.  ðàáîòå [32] ïðèâîäèòñÿ äðóãîå îïðåäåëåíèå òåîðèè ðàöè-îíàëüíîãî òèïà, êàê î.î.ò.ê. óäîâëåòâîðÿþùåé àêñèîìå (CONST) è èìåþùåéîïðåäåë¼ííîå èíäóêòèâíîå îïèñàíèå ([Îïð. 4.1, op.
cit.]). Òîò ôàêò, ÷òî òåîðèè ðàöèîíàëüíîãî òèïà ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîñòè òåîðèèÿìè, ïîëó÷àþùèìèñÿ ëîêàëèçàöèåé àëãåáðàè÷åñêèõ êîáîðäèçìîâ, ÿâëÿåòñÿ íåïðîñòûì óòâåðæäåíèåì([Ïðåäë. 4.9, op.cit.]).Òåîðèè ðàöèîíàëüíîãî òèïà íàçûâàþòñÿ òàêæå ñâîáîäíûìè òåîðèÿìè âðàáîòå [20, Çàì. 2.1.14].Предложение 2.5.4. Пусть * – теория рационального типа, тогда име-ется изоморфизм функторов абелевых групп * = ⊕ ˜* , где – "постоянный" функтор, сопоставляющий неприводимому многообразию абелевугруппу , а ˜ – подфунктор в * , состоящий из элементов, которые зануляются в общих точках многообразий.Пусть * – контравариантный функтор из категории гладких многообразий в категорию абелевых групп.Тогда имеются следующие естественные изоморфизмы:[* , * ] =∏︁[˜* , * ],[* , * ] = (, ) ⊕ [˜* , * ] .(2.1)Аналогичные изоморфизмы верны также для поли-операций.Доказательство.
Ïîäôóíêòîð ˜* ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì îãðàíè÷åíèÿ â îáùóþ òî÷*êó * → , êîòîðîå èìååò êàíîíè÷åñêîå ñå÷åíèå = * (Spec ) −→ * () .Ðàçëîæåíèå * = ⊕ ˜* òàêèì îáðàçîì äîêàçàíî.36Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîé ÷àñòè ïðåäëîæåíèÿ çàìåòèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ îïåðàöèÿ èç òåîðèè ⊕ ˜ ìîæåò áûòü çàäàíà íåçàâèñèìî äëÿ êàæäîãîïîäôóíêòîðà ìíîæåñòâ ⊕ ˜ ⊂ ⊕ ˜ , ïðè ýòîì âñå ýòè ïîäôóíêòîðû èçîìîðôíû ìåæäó ñîáîé. Ïîñêîëüêó îïåðàöèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òàêèìèîãðàíè÷åíèÿìè, ýòî äîêàçûâàåò ïåðâûé èç èçîìîðôèçìîâ 2.1.Ñëó÷àé àääèòèâíûõ îïåðàöèé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Äëÿ ôîðìóëèðîâêè ñëåäóþùèõ ðåçóëüòàòîâ íàì áóäåò óäîáíî èñïîëüçîâàòü "áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðîåêòèâíîå ïðîñòðàíñòâî", êîòîðîå ìû îáîçíà÷àåì P∞ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
