Диссертация (1137397)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå àâòîíîìíîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåâûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿÍàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåòÂûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêèÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 515.179.2Áàñàëàåâ Àëåêñåé Àíäðååâè÷Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿäëÿ ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåéñ äåéñòâèåì ãðóïïû01.01.06 ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåëÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈßíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëüäîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÑ.Ê.

Ëàíäî.Ìîñêâà, 2016ÎãëàâëåíèåÃëàâà 1.Ââåäåíèå1Ãëàâà 2.Ãèïîòåçû çåðêàëüíîé ñèììåòðèè5Ãëàâà 3.Ãëîáàëüíàÿ çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ äëÿ ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé17Ãëàâà 4.Òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîâ29Ãëàâà 5.Ôðîáåíèóñîâû ñòðóêòóðû îðáèôîëäîâûõ À è Á ìîäåëåé ËàíäàóÃèíçáóðãà43Ãëàâà 6.Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà CYLG äëÿ îðáèôîëäîâîé ìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãàÃëàâà 7.Òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäà47P12,2,2,2è ãóðâèöôðîáåíèóñîâûìíîãîîáðàçèÿ59Ãëàâà 8.Çàìåíà ïðèìèòèâíîé ôîðìû îðáèôîëäîâîé ìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãà73Ãëàâà 9.Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà LGLG äëÿ ïàðûÁèáëèîãðàôèÿ(Ẽ8 , Z3 )83101ÃËÀÂÀ 1ÂâåäåíèåÀêòóàëüíîñòü òåìû èññëåäîâàíèÿ.Çåðêàëüíàÿñèììåòðèÿ,èäåÿêîòîðîéïðèøëàèçíà÷àëüíîèçôèçèêè,ÿâëÿåòñÿâíàñòîÿùåå âðåìÿ áîëüøèì è èíòåðåñíûì ðàçäåëîì ìàòåìàòèêè.

Îïðåäåëÿåìàÿ èçíà÷àëüíîêàêñîîòâåòñòâèåìåæäóîáúåêòàìèìíîãîîáðàçèÿìè Êàëàáèßó (ñì.[îäíîãî30, 8]),èòîãîæåòèïà,êàêíàïðèìåðäâóìÿâ íàñòîÿùåå âðåìÿ çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿîáîáùåííî ôîðìóëèðóåòñÿ êàê íåêîòîðàÿ ñâÿçü ìåæäó îáúåêòàìè, èìåþùèìè ðàçëè÷íîåïðîèñõîæäåíèå, è ïîðîé îïðåäåëåííûìè ðàçëè÷íî (ñì. [48, 23, 46]).Îäíàêî æå â ëþáîé èç ôîðìóëèðîâîê çåðêàëüíîé ñèììåòðèè âàæíàÿ ðîëü îòâåäåíàòåîðèèîñîáåííîñòåé.Èäåîëîãè÷åñêè,çåðêàëüíàÿñèììåòðèÿÿâëÿåòñÿñîîòâåòñòâèåììåæäó Àìîäåëüþ è Áìîäåëüþ íåêîòîðîé ñóïåðñèììåòðè÷åñêîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ.8, 49]),Ñîãëàñíî ïîäõîäó ôèçèêîâ (ñì.

[ñåìåéñòâî íàä áàçîéS,ñïåöèàëüíûõ òî÷åês ∈ S.ò.÷.Áìîäåëü äîëæíà ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íåêîòîðîåçåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ èìååò ìåñòî òîëüêî äëÿ íåêîòîðûõÊàæäàÿ ñïåöèàëüíàÿ òî÷êà çàäàåò ñâîþ ôàçóñóïåðñèììåòðè÷åñêîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ.N = 2Áìîäåëü â òàêîé òî÷êå äîëæíà áûòüçåðêàëüíî ñèììåòðè÷íîé íåêîòîðîé Àìîäåëè, ïðè÷åì îäíîé è òîé æå ãëîáàëüíîé Áìîäåëè ìîãó ñîîòâåòñòâîâàòü ðàçëè÷íûå Àìîäåëè.Ðóàíà [Ìû áóäåì ñëåäîâàòü ïîäõîäó Êèîäî10], êîòîðûå ïðåäëîæèëè ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãóþ ïðîãðàììó ãëîáàëüíîé çåðêàëüíîéñèììåòðèè ñ Áìîäåëüþ, ïîñòðîåííîé ïî íåêîòîðîé îñîáåííîñòè.

 òàêîì ñëó÷àÿ ãëîáàëüíàÿÁìîäåëü íàçûâàåòñÿ Áìîäåëüþ ËàíäàóÃèíçáóðãà (ñì.47]).[ ôèçèêå ìîãóò èìåòüïðèëîæåíèÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü òå ïðèìåðû çåðêàëüíîé ñèììåòðèè, â êîòîðûõ ÀìîäåëüçàäàåòñÿòåîðèåéÃðîìîâàÂèòòåíàíåêîòîðîãîìíîãîîáðàçèÿÊàëàáèßó.Çåðêàëüíàÿñèììåòðèÿ òàêîãî òèïà íàçûâàåòñÿ êðàòêî çåðêàëüíîé ñèììåòðèé òèïà CYLG.Ïîñëåäíèå èññëåäîâàíèÿ â ôèçèêå ïðåäïîëàãàþò áîëåå îáùåå ïîíèìàíèå ÁìîäåëåéËàíäàóÃèíçáóðãà, ó÷èòûâàþùåå òàêæå èõ ãðóïïó ñèììåòðèé (ñì. [20]).Òàêèå Áìîäåëèíàçûâàþòñÿ îðáèôîëäîâûìè. Îäíàêî æå (ìàòåìàòè÷åñêîå) îïðåäåëåíèå îðáèôîëäîâûõ Áìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé ïðîáëåìîé.Ñòåïåíü ðàçðàáîòàííîñòè òåìû èññëåäîâàíèÿ. ñëó÷àå ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà CYLG áûëà43, 34, 35, 27].ïðåäúÿâëåíà â [Äðóãèì òèïîì çåðêàëüíîé ñèììåòðèè, óñòàíîâëåííûì â1òåõ æå ñòàòüÿõ, ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà ËàíäàóÃèíçáóðã ËàíäàóÃèíçáóðã.

Äëÿ ïàðûèG(W, G),ãäå ìíîãî÷ëåíWçàäàåò èçîëèðîâàííóþ îñîáåííîñòü, åãî ãðóïïà ñèììåòðèé, Àìîäåëü ËàíäàóÃèíçáóðãà áûëà ïîñòðîåíà â [16].Àìîäåëè òàêîãî òèïà èçâåñòíû â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïîä èìåíåì òåîðèé Ôàí-Äæàðâèñ-ÐóàíÂèòòåí (ñîêðàùåííî FJRW).  îòëè÷èå îò Áìîäåëåé, êîòîðûå ñòðîÿòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðèèîñîáåííîñòåé, òåîðèè FJRW íå ÿâëÿþòñÿ ãëîáàëüíûìè è äàæå èõ ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèéîïðåäåëÿåòñÿ îòëè÷íûì îáðàçîì.Ðàáîòàïîïîñòðîåíèþîðáèôîëäîâûõôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ è Ì.

Êðàâèòöîì â [ÁìîäåëåéâåëàñüÐ.Êàóôìàíîì26] ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ.â24][ñÎäíàêî æåëèøü ïåðâûå øàãè ïî íàïðàâëåíèþ ê çåðêàëüíîé ñèììåòðèè áûëè ñäåëàíû â ýòèõ ðàáîòàõ.Ñîâåðøåííî èíîé ïîäõîä, ïðèâåäøèé, âïðî÷åì, ê òåì æå çåðêàëüíûì ãèïîòåçàì, ÷òî áûëèñôîðìóëèðîâàíû Êàóôìàíîì ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, áûë ïðåäëîæåí Â. Ýáåëèíãîì èÀ. Òàêàõàøè â [15].Öåëè è çàäà÷è äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû.Îñíîâíîé öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ãëîáàëüíîé çåðêàëüíîé ñèììåòðèè äëÿîðáèôîëäîâûõ ìîäåëåé ËàíäàóÃèíçáóðãà.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè âêëþ÷àþòñëåäóþùèå:(1) ÀêñèîìàòèçàöèÿôðîáåíèóñîâàìíîãîîáðàçèÿîðáèôîëäîâûõÀèÁìîäåëåéËàíäàóÃèíçáóðãà,(2) Òåîðåìà î åäèíñòâåííîñòè ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî àêñèîìàìîðáèôîëäîâîé Áìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãà ïàðû(Ẽ8 , Z3 )(3) Òåîðåìà î çåðêàëüíîé ñèììåòðèè òèïà CYLG äëÿ ïàðû(Ẽ8 , Z3 ),(4) Òåîðåìà î çåðêàëüíîé ñèììåòðèè òèïà LGLG äëÿ ïàðû(Ẽ8 , Z3 ).Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.Ïðåäëîæåííàÿ â äàííîé äèññåðòàöèè àêñèîìàòèçàöèÿ îðáèôîëäîâûõ À è Áìîäåëåé,ïîäêðåïëåííàÿ äîêàçàííûìè ïðèìåðàìè çåðêàëüíîé ñèììåòðèè äëÿ ïàðûáûòüèñïîëüçîâàíàôîðìóëèðîâêå.äëÿäîêàçàòåëüñòâàãèïîòåçûçåðêàëüíîé(Ẽ8 , Z3 ),ñèììåòðèèâååìîæåòïîëíîéÒàêæå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èìåþò áîëüøóþ öåííîñòü äëÿ ïîñòðîåíèÿýêâèâàðèàíòíîé òåîðèè ïëîñêèõ ñòðóêòóð Ñàèòî, íå ñóùåñòâóþùåé ïî íàñòîÿùåå âðåìÿ.Ìåòîäîëîãèÿ è ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü ñîîòâåòñòâèå çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãèì,ìûáóäåìðàññìàòðèâàòüÀìîäåëèèÁìîäåëèâîáùåìêëàññåôðîáåíèóñîâûõìíîãîîáðàçèé, êîòîðûå áûëè ïðåäëîæåíû è äåòàëüíî èçó÷åííû Á.À.

Äóáðîâèíûì.  ðàçíûõ2ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ àâòîðîì èñïîëüçóþòñÿ òåîðèÿ ìîäóëÿðíûõ ôîðì è ýëëèïòè÷åñêèõêðèâûõ, òåîðèÿ ÷èñåë è àñïåêòû àëãåáðàè÷åñêîé íåçàâèñèìîñòè, à òàêæå êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿîñîáåííîñòåé.Ñòåïåíü äîñòîâåðíîñòè è àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ.Îñíîâíûåðåçóëüòàòûäèññåðòàöèèäîêëàäûâàëèñüíàñëåäóþùèõêîíôåðåíöèÿõèñåìèíàðàõ:•4th Workshop on Combinatorics of moduli spaces, cluster algebras and topological recursion, ã. Ìîñêâà, 2631 Ìàÿ 2014 ã.,•Symposium on singularities and their topology, ã. Ãàííîâåð, 1417 Èþëÿ 2014 ã.,•Íàó÷íîèññëåäîâàòåëüñêèéñåìèíàðGeometryandMathematicalPhysics,óíèâåðñèòåò ã.

Àìñòåðäàì, 9 Äåêàáðÿ 2014 ã.,•Oberwolfach Workshop Mirror Symmetry, Hodge Theory and Dierential Equations,Îáåðâîëüôàõ, 1925 Àïðåëÿ 2015 ã.,•Íàó÷íîèññëåäîâàòåëüñêèéñåìèíàðÕàðàêòåðèñòè÷åñêèåïåðåñå÷åíèé, ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè ÂØÝ, 20152014 ãã..3êëàññûèòåîðèÿÃËÀÂÀ 2Ãèïîòåçû çåðêàëüíîé ñèììåòðèèÄëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü ñîîòâåòñòâèå çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãèì,ìû äîëæíû ðàññìàòðèâàòü Àìîäåëè è Áìîäåëè êàê ýëåìåíòû íåêîòîðîãî îáùåãî êëàññà.Òàêèì êëàññîì ÿâëÿþòñÿ ôðîáåíèóñîâû ìíîãîîáðàçèÿ, ïðåäëîæåííûå è äåòàëüíî èçó÷åííûåÁ.À.

Äóáðîâèíûì. ïîëíîé îáú¼ìå òåîðèÿ ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé èçëîæåíà â11, 12, 19, 32],êëàññè÷åñêèõ êíèãàõ [40],ñòàòüå Ê.Ñàèòî [ñì.òàêæå å¼ ñîâðåìåííîå41].ïåðåîñìûñëåíèå â [Ôðîáåíèóñîâû ìíîãîîáðàçèÿ.äëÿ âñåõ òî÷åêp ∈ MÏóñòüM íåêîòîðàÿ îòêðûòàÿ îáëàñòü âíà êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâåíåâûðîæäåííàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìàTp MêMâ òî÷êåpCn .Ïóñòüîïðåäåëåíàηp ,ηp : Tp M × Tp M → C.ÏóñòüTp Mt1 , . . . , t n íåêîòîðûå êîîðäèíàòû íàâ êàæäîé òî÷êåp ∈ M;M.Âåêòîðàηijîáîçíà÷èì ÷åðåç∂/∂tiîáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâàêîìïîíåíòû áèëèíåéíîé ôîðìûηâ ýòîìáàçèñå.Ðàññìîòðèì êîìïëåêñíîçíà÷íóþ ôóíêöèþïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿôóíêöèÿX(2.1)p,qη ij :=PÏóñòüEp,qM. äàëüíåéøåì áóäåìåñëè äëÿ êàæäûõ4 ôèêñèðîâàííûõ èíäåêñîâñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîX ∂ 3F∂ 3F∂ 3F∂ 3Fη pq=η pq,∂ti ∂tj ∂tp∂tq ∂tk ∂tl∂ti ∂tk ∂tp∂tq ∂tj ∂tlp,qηpq δ pi δ qj .M , çàäàííîå â êîîðäèíàòàõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:n X∂∂E :=dk tk+ rk, dk , rk ∈ Q;∂t∂tkkk=1 íåêîòîðîå âåêòîðíîå ïîëå íàçäåñü ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òîrk 6= 0òîëüêî åñëèýéëåðîâûì ïîëåì.

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ïîëþ(2.2)íàïðåäñòàâëåíà ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì ïî t1 , . . . , tn . Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òîF(t) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ WDVVi, j, k, l, 1 ≤ i, j, k, l ≤ nãäåFF = F(t1 , . . . , tn )E,dk = 0.FÝòî âåêòîðíîå ïîëå íàçûâàåòñÿèìååò êîíôîðìíóþ ðàçìåðíîñòüåñëè âåðíî ñëåäóþùåå:E · F = (3 − d)F +êâàäðàòè÷íûå ÷ëåíû.5d∈QÏóñòü òàêæå äëÿ âñÿêèõ äâóõ èíäåêñîâi, jâåðíî:∂ 3F.∂t1 ∂ti ∂tjηij =Îïðåäåëåíèå. ÔóíêöèÿF , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðèâåäåííûì âûøå óñëîâèÿì, íàçûâàåòñÿôðîáåíèóñîâûì ïîòåíöèàëîì êîíôîðìíîé ðàçìåðíîñòèFÑ ïîìîùüþ ôóíêöèèàëãåáðû.Ïóñòückij (t) :=p cijp (Pckij (t)d.îïðåäåëèì íà êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû óìíîæåíèÿTp Mñòðóêòóðó◦ : Tp M × Tp M → Tp M ,ò.÷.t)η pk , ãäåcijk (t) :=Ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòûckij (t)∂ 3F,∂ti ∂tj ∂tk1 ≤ i, j, k ≤ n.îïðåäåëÿþò êîììóòàòèâíîå óìíîæåíèå ïî ïîñòðîåíèþ, â òîâðåìÿ êàê àññîöèàòèâíîñòü àëãåáðû ñ òàêèì óìíîæåíèåì ýêâèâàëåíòíà òîìó, ÷òî ôóíêöèÿF(t)óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ WDVV.Áèëèíåéíàÿ ôîðìàηâìåñòå ñ óìíîæåíèåìíà êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå êηÎïðåäåëåíèå.ñòðóêòóðóÍàáîðnìåðíîãîðàçìåðíîñòüþM◦çàäàþò ñòðóêòóðó ôðîáåíèóñîâîé àëãåáðûâ êàæäîé òî÷êå∂∂ ∂◦,∂ti ∂tj ∂tkη , ◦,=ηïîñòðîåííûép ∈ M:∂∂ ∂,◦∂ti ∂tj ∂tkïîMÊàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî êàêîîðäèíàòûtâ íà÷àëå êîîðäèíàò.ôðîáåíèóñîâóôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ íàìíîãîîáðàçèÿ,M.×èñëîMíàdïîòåíöèàëóFçàäàåòíàçûâàåòñÿ êîíôîðìíîéïëîñêèìèêîîðäèíàòàìè.t íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèéôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ.Èíîãäàìûèìååìóäîâëåòâîðÿþùóþòîëüêîóðàâíåíèþíåêîòîðîìó ýéëåðîâó ïîëþM.E,ëèøüWDVVôóíêöèþèóñëîâèþF,çàäàþùóþêâàçèîäíîðîäíîñòèïëîñêóþïîìåòðèêó,îòíîøåíèþêíî áåç ñâîéñòâà àíàëèòè÷íîñòè è áåç ÿâíîãî ïðîñòðàíñòâà òàêèõ ñëó÷àÿõ ôóíêöèÿFìîæåò âñå ðàâíî îïðåäåëÿòü ñòðóêòóðó ôðîáåíèóñîâàìíîãîîáðàçèÿ (èëè æå ðîñòîê), êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü ôîðìàëüíîé.

Ïðèìåðû òàêèõôðîáåíèóñîâûõìíîãîîáðàçèéâîçíèêàþò,íàïðèìåð,èçòåîðèéÃðîìîâàÂèòòåíà,äëÿêîòîðûõ àíàëèòè÷íîñòü ïîòåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì âîïðîñîì.Îáîçíà÷åíèå 2.1. Ñòðóêòóðà àëãåáðû íàckij |t=0 ,Tp M , çàäàííàÿ ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìèíàçûâàåòñÿ ôðîáåíèóñîâîé àëãåáðîé â íóëå è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçóêàçàíèå íà òî÷êóp ∈ MT M |t=0ìîæåò áûòü îïóùåíî, åñëè ìû ïîëàãàåì, ÷òîêîîðäèíàòàìè â îêðåñòíîñòè òî÷êèp).6t(ãäåÿâëÿþòñÿÑèììåòðèè óðàâíåíèÿ WDVV. Ïóñòü ôóíêöèÿWDVV. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿC ∈ GL(n, C)F(t)ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿt̃ = C t,è çàìåíû ïåðåìåííûõôóíêöèÿF(t̃)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ WDVV.

Òàêèå çàìåíû ïåðåìåííûõ ìû áóäåì íàçûâàòüñèììåòðèÿìè óðàâíåíèÿ WDVV.Ðàññìîòðèì äâà ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèÿ, ïîòåíöèàëû êîòîðûõ ñâÿçàíû ñèììåòðèåéóðàâíåíèÿWDVV.6∈ O(n, C)CÄëÿñïàðèâàíèå,ñîâïàäàåò ñî ñïàðèâàíèåì, îïðåäåëåííûì ïîòåíöèàëîìîïðåäåëåííîåF(t̃),ôóíêöèåéíåF(t), è äâå ôðîáåíèóñîâû ñòðóêòóðûðàçëè÷àþòñÿ!  äàëüíåéøåì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå èçîìîðôèçìà ôðîáåíèóñîâûõìíîãîîáðàçèé ñ òî÷êè çðåíèÿ ñèììåòðèé óðàâíåíèÿ WDVV.Îïðåäåëåíèå. Äâà ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèÿèõ ïîòåíöèàëûF(t)èF 0 (t̃)MèM0íàçîâåì èçîìîðôíûìè, åñëèñâÿçàíû ëèíåéíîé çàìåíîé ïåðåìåííûõt̃ = C t ñ C ∈ O(n, C):F(t) = F 0 (C t).Çàìåòèì,÷òî ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ WDVV íå ñâîäÿòñÿ ê òåì,êîòîðûå çàäàþòñÿ11]).ëèíåéíûìè çàìåíàìè ïåðåìåííûõ (ñì.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации