Диссертация (1137397), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Óñëîâèÿ âûøå ïðèâåäåííîãî ïðåäëîæåíèÿ ìîãóò áûòü îñëàáëåíû. Îäíàêîíàì îíà òðåáóåò òîëüêî â òàêîì âèäå.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèâåñòè ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ ôðîáåíèóñîâà ïîòåíöèàëà îðáèôîëäàP12,2,2,2âûïèøåì ôóíêöèèÎïðåäåëåíèå.fk (q)â ÿâíîì âèäå.Ðàññìîòðèìϑi (z, τ ),ôóíêöèèçàâèñÿùèåîòτ∈ Hèz∈ C,ïðåäñòàâëåííûå ñëåäóþùèìè ðÿäàìè Ôóðüå:ϑ1 (z, τ ) =√−1∞X2π(−1)n e(n−1/2)√√−1τ (2n−1)π −1ze,n=−∞ϑ2 (z, τ ) =∞Xe(n−1/2)2π√√−1τ (2n−1)π −1ze,n=−∞ϑ3 (z, τ ) =∞X2πen√√−1τ 2nπ −1ze,n=−∞ϑ4 (z, τ ) =∞X2π(−1)n en√√−1τ 2nπ −1ze.n=−∞Ìû áóäåì íàçûâàòü ýòè ôóíêöèè òåòàôóíêöèÿìè ßêîáè, èëè ïðîñòî òåòàôóíêöèÿìè.Èç ÿâíîãî âèäà ðÿäîâ Ôóðüå òåòàôóíêöèé ßêîáè ñëåäóåò ðàâåíñòâî:√ ∂ϑi (z, τ )∂ 2 ϑi (z, τ )= 4π −1,2∂z∂τÎïðåäåëåíèå. Òåòàêîíñòàíòàìè ßêîáèôóíêöèèϑi (τ ) := ϑi (0, τ ).31ϑi (τ )1 ≤ i ≤ 4.äëÿ âñåõi,ò.÷.2 ≤ i ≤ 4,íàçûâàþòñÿÇàìåòèì, ÷òîϑ1 (0, τ ) ≡ 0,ââèäó ÷åãî ìû íå ðàññìàòðèâàåì ýòó òåòàêîíñòàíòó âäàëüíåéøåì.4.1.

ÄëÿÎáîçíà÷åíèåóïðîùåíèÿçàïèñèìûáóäåìîïóñêàòüàðãóìåíòòåòàêîíñòàíò, åñëè îí ôèêñèðîâàí:ϑ0i (τ ) :=Îïðåäåëåíèå. Äëÿ âñÿêîãîτ ∈Hîïðåäåëèì:Xk∞ (τ ) := 2Òàêæå ðàññìîòðèì ôóíêöèèXk∞ (q),Xk∞∂ϑi (τ ).∂z∂log ϑk ,∂τ2 ≤ k ≤ 4.çàäàííûå êàê ôóíêöèè îò1(q) := √ Xk∞π −1τ√π −1√q = exp(π −1τ )..Òåîðåìà Ñàòàêå è Òàêàõàøè óòâåðæäàåò:Òåîðåìà 4.3 (Òåîðåìà 2.1 â [ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäà43]).P12,2,2,2 ,Ôóíêöèèfk (q),çàäàþùèå ïîòåíöèàë ðîäàòåîðèèèìåþò ñëåäóþùèé âèä:f0 (q) := 81 X3∞ (q) − 18 X4∞ (q),11f1 (q) := − 12X2∞ (q) − 48X3∞ (q) − f (q) := − 3 X ∞ (q) − 3 X ∞ (q).216 316 4(4.2)0Xk∞ (q),1X ∞ (q),48 4P1F0 2,2,2,2ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìåd(X2∞ (τ ) + X3∞ (τ )) = 2X2∞ (τ )X3∞ (τ ),dτd(X3∞ (τ ) + X4∞ (τ )) = 2X3∞ (τ )X4∞ (τ ),dτd(X ∞ (τ ) + X2∞ (τ )) = 2X4∞ (τ )X2∞ (τ ).dτ 4∞ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ôóíêöèè Xi çàäàþòðåøåíèå ýòîé ñèñòåìûÇàïèñàííîå ÷åðåç ôóíêöèèóðàâíåíèå WDVV íàóðàâíåíèé, èçâåñòíîé ïîä èìåíåì ñèñòåìû Àëüôàíà:(4.3)Õîðîøî èçâåñòíûì(ñì.íàïðèìåð [38]).Ìû íå ïðèâîäèì äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà ò.ê.îíî èñïîëüçóåòíåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå ñâîéñòâà òåòàêîíñòàíò, íå ïðåäñòàâëÿþùèå âàæíîñòü äëÿ íàñ.Ïðåäëîæåíèå4.4.Ïðèìåíÿÿëèíåéíóþçàìåíóïåðåìåííûõïîòåíöèàëçàïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:P1F0 2,2,2,2 (t−1 , t0 , t̃1 , t̃2 , t̃3 , t̃4 ) =4t20 t t0 X 21+(t̃i ) − (t̃21 t̃23 + t̃22 t̃24 ) X3∞ (t−1 )24 i=1164−(t̃21 t̃24+t̃22 t̃23 )1 ∞11 X 4 ∞X4 (t−1 ) − (t̃23 t̃24 + t̃21 t̃22 ) X2∞ (t−1 ) −(t̃i ) γ (t−1 )161664 i=132P1F0 2,2,2,2ñ òàêèì æå ýéëåðîâûì ïîëåì:E(t0 , t̃i ) = E(t0 , ti ),è ôóíêöèåéγ ∞ (t−1 ) =23PXi∞ (t−1 ).√P1F0 2,2,2,2 çàìåíó ïåðåìåííûõ t1 = (t̃4 − t̃3 )/ 2, t2 = (t̃4 +√√√t̃3 )/ 2, t3 = (t̃1 − t̃2 )/ 2, t4 = (t̃1 + t̃2 )/ 2, êîòîðàÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì ñîõðàíÿåò óðàâíåíèåÄîêàçàòåëüñòâî.

Ïðèìåíèì êη.WDVV è ìåòðèêóÏðîñòûå âû÷èñëåíèÿ äàþò:Xi∞ (q) = − 81 γ ∞ (q),1f (q)3 21+ f1 (q) = − 122f (q)3 2− f0 (q) = − 14 X3∞ (q),P2f (q) + f0 (q) = − 14 X4∞ (q),3 2 3f1 (q) − 1 f2 (q) = − 1 X ∞ (q).34 2Òðèâèàëüíûåâû÷èñëåíèÿïîêàçûâàþò,÷òîýéëåðîâîïîëåñîõðàíÿåòñÿâíîâûéêîîðäèíàòàõ.Xk∞ (q) ÷åðåç Xk∞ (t−1 ) è ïðèìåíÿÿ åùå îäíó çàìåíó ïåðåìåííûõ t̃−1 =p √√√t−1 /π −1, t̃0 = t0 π −1, t̃i = ti /(π −1)1/4 ìû ïîëó÷àåì òðåáóåìûé ïîòåíöèàë.Çàïèñûâàÿ ôóíêöèè2.

Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíàÇàäà÷àÿâíîãîêîððåëÿòîðîââû÷èñëåíèÿòåîðèèïîòåíöèàëàÃðîìîâàÂèòòåíà)ÃðîìîâàÂèòòåíàÿâëÿåòñÿíåðåøåííîé(èäàæåèñëîæíîéíåêîòîðûõâîáùåìñëó÷àå. Îäíàêî æå äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîâ, ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîé ðàáîòå, ìûìîæåì ïðèìåíèòü äâà ìîùíûõ èíñòðóìåíòà äëÿ ðåøåíèÿ ýòî çàäà÷è. Ýòî íåêîòîðàÿ òåîðåìà21]î åäèíñòâåííîñòè ÈøèáàøèØèðàèøèÒàêàõàøè [36].ÌèëàíîâàØåíÿ [ïîðÿäêà),è òåîðåìà î êâàçèìîäóëÿðíîñòèÏåðâàÿ òåîðåìà óäîáíà äëÿ ÿâíûõ âû÷èñëåíèé (äî îïðåäåëåííîãîà ñëåäñòâèåì âòîðîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ òî,÷òî ýòè âû÷èñëåíèÿ äîñòàòî÷íîïðîâîäèòü äî ôèêñèðîâàííîãî êîíå÷íîãî ïîðÿäêà.2.1.

Òåîðåìà î åäèíñòâåííîñòè ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ ýëëèïòè÷åñêèõîðáèôîëäîâ.Ïóñòüa1 , a2 , a3 ∈ Zòàêîâû, ÷òî3X1χA :=− 1,aii=12 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 .µA :=3XÏîëîæèì:ai − 1.i=1Òåîðåìà î åäèíñòâåííîñòè ÈøèáàøèØèðàèøèÒàêàõàøè óòâåðæäàåò:Òåîðåìàìíîãîîáðàçèå4.5M(Òåîðåìàðàçìåðíîñòè3.1µAâ21]).[Ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííîåñ ïëîñêèìè êîîðäèíàòàìè:{t1 , tµA , ti,j },ãäå1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ ai − 1.33ôðîáåíèóñîâîè ïîòåíöèàëîìFêîíôîðìíîé ðàçìåðíîñòè(1) Åäèíè÷íûé âåêòîðe1,è ýéëåðîâî ïîëåóäîâëåòâîðÿþùèì ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:Eèìåþò ñëåäóþùèé âèäa −13iXX∂∂ai − j∂∂e=, E = t1+ti,j+ χA.∂t1∂t1 i=1 j=1 ai∂ti,j∂tµA(2) Íåâûðîæäåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìàηη∂∂,∂t1 ∂tµA=η∂∂,∂ti1 ,j1 ∂ti2 ,j2(3) Ôðîáåíèóñîâ ïîòåíöèàëF=ηíàTMóäîâëåòâîðÿåò:∂∂= 1,,∂tµA ∂t1 1 i1 = i2 è j2 = ai − j1 ,1ai10â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.óäîâëåòâîðÿåò:EF|t1 =0 = 2F|t1 =0 ,F|t1 =0 ∈ C [t1,1 , .

. . , t1,a1 −1 , . . . , ti,j , . . . , t3,1 , . . . , t3,a3 −1 , etµA ] .(4) Ïóñòü âûïîëíåíî (3), òîãäà ìû èìååì:F|t1 =etµA =0 =3XG (i) ,G (i) ∈ C[[ti,1 , . . . , ti,ai −1 ]], 1 ≤ i ≤ 3.i=1(5) Ïóñòü âûïîëíåíî (3), òîãäà â áàçèñå◦óìíîæåíèå0. C-àëãåáðàìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî äî ïðåäåëà∂/∂ti,jT0 M ,t1 = t1,1 = · · · = t3,a3 −1 = etµA =ïîëó÷åííàÿ â ýòîì ïðåäåëå èçîìîðôíàC[x1 , x2 , x3 ]ãäå∂, ∂ , . . .

, ∂t3,a∂ −1 , ∂t∂µ ïðîñòðàíñòâà∂t1 ∂t1,13A.axi xj , ai xai i − aj xj jxjiîòîáðàæàþòñÿ âîòîáðàæàåòñÿ âäëÿ1≤i<j≤3,i = 1, . . . , 3, j = 1, . . . , ai − 1è∂/∂tµAa1 xa11 .(6) Ñëàãàåìîå3Y!ti,1 etµAi=1âõîäèò âFñ êîýôôèöèåíòîì1.Ýòà òåîðåìà îñîáåííî âàæíà ââèäó ñëåäóþùåé òåîðåìà ÈøèáàøèØèðàèøèÒàêàõàøè,óòâåðæäàþùåé, ÷òî òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîâ óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèÿì ïðèâåäåííîé âûøå òåîðåìû:Òåîðåìà 4.6 (Òåîðåìà 4.2 â [ðîäà021]).Óñëîâèÿ Òåîðåìû 4.5 óäîâëåòâîðåíû ïîòåíöèàëîìòåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàP1a1 ,a2 ,a3 .Äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîâ ìû èìååì:1i aiP= 1èχA = 0.Òàêèì îáðàçîìïîòåíöèàëû òåîðèé ÃðîìîâàÂèòòåíà ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîâ çàâèñÿò îò÷åì îò ïåðåìåííîét−1 .Òàêîå æå óòâåðæäåíèå âåðíî è äëÿ îðáèôîëäà34exp(t−1 )P12,2,2,2 .åæåëè2.2. Òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà è ìîäóëÿðíûå ôîðìû.ìû îïèñàëè â ÿâíîì âèäå ïîòåíöèàë òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà ïðåäûäóùåì ðàçäåëåP12,2,2,2÷åðåç ýëëèïòè÷åñêèåôóíêöèè.

Ìû ñäåëàåì ïîõîæåå óòâåðæäåíèå äëÿ ñëó÷àÿ ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîâ.Îïðåäåëåíèå. Ðàññìîòðèì ïîäãðóïïó êîíå÷íîãî èíäåêñààf (τ ) ôóíêöèÿ, ãîëîìîðôíàÿ íà• f (τ )Γ ⊂ SL(2, Z).Ïóñòük ∈ N≥0 ,H.kíàçûâàåòñÿ ìîäóëÿðíîé ôîðìîé âåñàåñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèìóñëîâèÿì:1f(cτ + d)k• f (τ )aτ + bcτ + d= f (τ )äëÿ âñåõíàçûâàåòñÿ êâàçèìîäóëÿðíîé ôîðìîé âåñàôóíêöèèf0 (τ ), . . .

, fm (τ ),1f(cτ + d)kaτ + bcτ + dãîëîìîðôíûå íà=mXfl (τ )l=0H,ccτ + dka b ∈ Γ.c dè ãëóáèíûmò.÷.:läëÿ âñåõa b ∈ Γ.c dÏðèìåðàìè (êâàçè)ìîäóëÿðíûõ ôîðì ÿâëÿþòñÿ ðÿäû Ýéçåíøòåéíà.ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿöåëîãî ÷èñëàSL(2, Z) ïîëíàÿ ìîäóëÿðíàÿ ãðóïïà.k≥1åñëè ñóùåñòâóþòÎáîçíà÷èì ÷åðåçÃðóïïîéΓâ ýòèõE2k (τ ) äëÿ âñÿêîãîðÿä Ýéçåíøòåéíà:∞√4k XE2k (τ ) := 1 −σ2k−1 (n)e2π −1nτ ,B2k n=1ãäåσk (n) =Xdk ,àB2k ÷èñëî Áåðíóëëè.  ÷àñòíîñòè ìû èìååìB2 = 1/6, B4 = −1/30,d|nB6 = 1/42.Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ðÿä Ýéçåíøòåéíàk ≥ 2.ìàòðèöû(4.4)k = 1 ýòî óñëîâèå äîëæíîa b ∈ SL(2, Z) âåðíî:c dÄëÿE2kóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ìîäóëÿðíîñòè ïðèáûòü èçìåíåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.Äëÿ âñÿêîéaτ + b6c− √,cτ + dπ −1(cτ + d)1aτ + bE2k (τ ) =E2k, k ≥ 2.(cτ + d)2kcτ + d1E2 (τ ) =E2(cτ + d)2Èç ýòèõ ðàâåíñòâ è îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò ìîìåíòàëüíî,ìîäóëÿðíûìè ôîðìàìè, àE2÷òîE2käëÿk ≥ 2ÿâëÿþòñÿ êâàçèìîäóëÿðíîé ôîðìîé. äàëüíåéøåì äëÿ íàñ áóäóò âàæíû ïîäãðóïïûêîíãðóýíòíûìè ïîäãðóïïàìè :35Γ(N ) ⊂ SL(2, Z),íàçûâàåìûå ãëàâíûìèÎïðåäåëåíèå.

Äëÿ âñÿêîãî ïîëîæèòåëüíîãîN ∈Nîïðåäåëèì:Γ(N ) := {A ∈ SL(2, Z) | A ≡ ±I modN }.Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò áûë äîêàçàí ÌèëàíîâûìØåíåì ñ ïîìîùüþ àíàëèçà òåîðèè Ñàèòîïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé:Òåîðåìà 4.7 (Òåîðåìà 1.2 è Ñëåäñòâèå 1.3 â [îðáèôîëä èÏðåäñòàâèìF 0 ( t)t ïîòåíöèàë ðîäàêàê∗Horb(X )F0 (t)ãäåt0ñîîòâåòñòâåííî.ïî ïåðåìåííûìÏóñòüX = P1a1 ,a2 ,a3 ýëëèïòè÷åñêèéñîîòâåòñòâóþùåé òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà.t = (t0 , t1 , . . . , tn t−1 ),è ãèïåðïëîñêîñòè âêîýôôèöèåíòû036]).èt−1ñîîòâåòñòâóþò êëàññàì òî÷êèfi1 ,...,in−1 (t−1 )Îïðåäåëèì ôóíêöèèêàêti11 . . .

tinnfi1 ,...,in−1 (t−1 ) := [ti11 . . . tinn ]F0X .exp(t−1 ) ôóíêöèé fi1 ,...,in−1 (t−1 ) ÿâëÿþòñÿ ðÿäàìèPnôîðì âåñàk=1 ik − 2 ïî ãðóïïå Γ ⊂ SL(2, Z), ãäåΓ(3), X = P13,3,3 ,Γ=Γ(4), X = P14,4,2 , Γ(6), X = P1 .6,3,2Òîãäà ðàçëîæåíèÿ ïîêâàçèìîäóëÿðíûõÔóðüå íåêîòîðûõÇàìå÷àíèå. Ðÿä Ôóðüå êâàçèìîäóëÿðíîé ôîðìû ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ïîâðåìÿ êàê ïîòåíöèàë òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàè áåñêîíå÷íûì ðÿäîì ïîexp(t−1 ).Xexp(πit),â òîÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ïît0Ïðèìåíÿÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ êàê â Ïðåäëîæåíèè 4.4,òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî êîýôôèöèåíòûF(t) ïî ïåðåìåííûì t0 ÿâëÿþòñÿ êâàçèìîäóëÿðíûìèôîðìàìè. äàëüíåéøåì íàì áóäåò âàæíî ñëåäñòâèå:Ñëåäñòâèå4.8.

Ïîòåíöèàëîïðåäåëåí è ãîëîìîðôåí äëÿ âñåõòåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîât−1 ∈ H.Îäíàêî æå îí íå îïðåäåëåí ïðèt−1 = 0.Òåîðåìà ÌèëàíîâàØåíÿ óäîáíà äëÿ âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷ ââèäó ñëåäóþùåãî ôàêòà.Ïóñòüf (τ ) è g(τ ) äâå ìîäóëÿðíûå ôîðìû âåñà k ïî îòíîøåíèþ ê ãðóïïå Γ(N ).ðÿäû Ôóðüåfèg:f (τ ) =Xfp q p , g(τ ) =Xp≥0gp q pãäå√q := exp(π −1τ )p≥0Ïðåäëîæåíèå 4.9 (Ðàçäåë 3.3 â [25]).Îïðåäåëèì ÷èñëîk Y1LN := N1+,12mm|N36Ðàññìîòðèìíàçûâàåìîå ãðàíè÷íûì ÷èñëîì Øòóðìà.fp − gp = 0Òîãäà åñëèäëÿ âñåõp ≤ LN ,òîf (τ ) − g(τ ) ≡ 0.Íåñëîæíîçàìåòèòü,÷òîïðîèçâåäåíèåäâóõìîäóëÿðíûõôîðìÿâëÿåòñÿòàêæåìîäóëÿðíîé ôîðìîé, à òàêæå ÷òî ïðîèçâåäåíèå êâàçèìîäóðÿíûõ ôîðì ÿâëÿåòñÿ òàêæåêâàçèìîäóëÿðíîé ôîðìîé.Îáîçíà÷èì ÷åðåçêâàçèìîäóëÿðíûõ ôîðì ïî ãðóïïåΓM (Γ)M̃ (Γ)èêîëüöà âñåõ ìîäóëÿðíûõ èñîîòâåòñòâåííî.Òåîðåìà 4.10 (Ïðåäëîæåíèå 1 â [28]).Äëÿ âñÿêîé ïîäãðóïïû êîíå÷íîãî èíäåêñàΓ âåðíî:M̃ (Γ) = M (Γ) ⊗ C[E2 ].2.3.

SL(2, C) äåéñòâèå íà ïðîñòðàíñòâå ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé.÷òîáû óñèëèòü óòâåðæäåíèå Òåîðåìû 4.7 îïðåäåëèì äåéñòâèåA ∈ SL(2, C)Äëÿ òîãî,íà ïîòåíöèàëåÃðîìîâàÂèòòåíà.  äàííîé ðàáîòå íàì ïîòðåáóåòñÿ òàêîå äåéñòâèå ëèøü â ðîäå0,îäíàêî5îíî áûëî îïðåäåëåíî â îáùåì ñëó÷àå â [ ].2.3.1. Ïðåîáðàçîâàíèå èíâåðñèè Äóáðîâèíà. Ïóñòü ïîòåíöèàë WDVVFçàïèñàí òàê ÷òî:X11ηp,q tp tq + H(t2 , .

. . , tn ),F(t) = t21 tn + t12|Aut(p, q)|p≤qäëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèèH = H(t2 , . . . , tn ).Ðàññìîòðèì ôóíêöèþFI."1F I (t̂) = (tn )−2 F(t) − t12(4.5)ãäå äëÿ âñåõ#Xηij ti tj ,i,j1 < α < n:1t̂1 :=2Pijηij ti tj,tnÏðåäëîæåíèå 4.11 (Ïðèëîæåíèå Á â [t̂α :=11]).tα,tnt̂n := −ÔóíêöèÿFI1.tnÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿWDVV è óäîâëåòâîðÿåò:∂ 3F I= ηab .∂ t̂1 ∂ t̂a ∂ t̂b2.3.2. Îáîáùåíèå íàSL(2, C).Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå îïðåäåëÿåò äåéñòâèåA ∈ SL(2, C)íà ïðîñòðàíñòâå ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé.Ïðåäëîæåíèå 4.12. ÏóñòüA=a b ∈ SL(2, C).c dÒîãäà ôóíêöèÿX11cF (t) := t21 tn + t1ηp,q tp tq +2|Aut(p, q)|8(ctn + d)p≤qA37Xp≤qFAîïðåäåëåííàÿ:1ηp,q tp tq|Aut(p, q)|!22+ (ctn + d) Ht2tn−1 atn + b,...,,ctn + dctn + d ctn + d.ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ WDVV.Äîêàçàòåëüñòâî.ÄåéñòâèåAíà ïåðåìåííîétnìîæåò áûòü ðàçëîæåíî ñëåäóþùèìîáðàçîì.atn + b= T2 · Sc2 · I · T1 · tn ,ctn + dA · tn =ãäåèT1çàäàåò ñäâèãI : tn → −1/tn .tn → tn + ac , Sc2tn → c2 tn , T2 åùå îäèí ñäâèãÏðîêâàíòóåì ýòîãî äåéñòâèÿ íà ïåðåìåííîéôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ.óðàâíåíèå WDVV.

Äåéñòâèå(ñì. ðàñòÿæåíèåÎ÷åâèäíî, ÷òî ñäâèãèIT1èT2tntn → tn + dcâ äåéñòâèå íà ïîòåíöèàëàñîõðàíÿþò ñïàðèâàíèåηpqèêâàíòóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíâåðñèè ÄóáðîâèíàÏðåäëîæåíèå 4.11 âûøå).Ðàññìàòðèâàÿ êîìïîçèöèþ ýòèõ äåéñòâèé ìû ïîëó÷àåìòðåáóåìîå.Óñëîâèå êâàçèìîäóðÿíîñòè Òåîðåìû 4.7 ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:F A = F,11]).Ïðèìåð 4.13 (Ïðèëîæåíèå C â [∀A ∈ Γ.Ðàññìîòðèì ïîòåíöèàë ðàíãà3:√t20 t−1 1 2 t41 π −1+ t0 t1 −E2 (t−1 ).F :=2216 33Èç êâàçèìîäóðÿíîñòè ðÿäàE2ñëåäóåò, ÷òîFA = Fäëÿ âñåõA ∈ SL(2, Z).3. Òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäà P16,3,2Ïî íàñòîÿùèé ìîìåíò îòêðûòîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ ÿâíàÿ ôîðìóëà äëÿ ïîòåíöèàëà ðîäà0òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíàP16,3,2 .Îäíàêî ìû ìîæåì âû÷èñëèòü åãî äî ëþáîé æåëàåìîéñòåïåíè ñ ïîìîùüþ Òåîðåìû 4.5.

Характеристики

Список файлов диссертации