Автореферат (1137396)
Текст из файла
Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 515.179.2Áàñàëàåâ Àëåêñåé Àíäðååâè÷Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿäëÿ ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåéñ äåéñòâèåì ãðóïïû01.01.06 ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåëàâòîðåôåðàò äèññåðòàöèèíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëüäîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÑ.Ê. Ëàíäî.Ìîñêâà 2016Ðàáîòà âûïîëíåíà íà ôàêóëüòåòå ìàòåìàòèêè Íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãîóíèâåðñèòåòà Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, Ñåðãåé Êîíñòàíòèíîâè÷ Ëàíäî, ïðîôåññîð ôàêóëüòåòà ìàòåìàòèêè Íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî óíèâåðñèòåòà Âûñøàÿ øêîëàýêîíîìèêè.Îôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:•äîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, Ñàáèð Ìåäæèäîâè÷ ÃóñåéíÇàäå, ïðîôåññîð ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ìîñêîâñêîãî Ãîñóäàðñòâåííîãîóíèâåðñèòåòà.•äîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Ëåîíèä Îëåãîâè÷ ×åõîâ, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê îòäåëà ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì.Â.
À. Ñòåêëîâà Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê.Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ: Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ñèáèðñêîãî îòäåëåíèÿ Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê, ã. Íîâîñèáèðñê.Çàùèòà äèññåðòàöèÿ ñîñòîèòñÿíà çàñå-äàíèè äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 002.077.03 ïðè Èíñòèòóòå ïðîáëåì ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè èì. À. À. Õàðêåâè÷à ÐÀÍ, ðàñïîëîæåííîì ïî àäðåñó: 127051, ã. Ìîñêâà, ÁîëüøîéÊàðåòíûé ïåðåóëîê, 19, ñòð. 1.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â áèáëèîòåêå Èíñòèòóòà ïðîáëåì ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè èì. À.À.
Õàðêåâè÷à ÐÀÍ è íà ñàéòå iitp.ru.Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí ¾¿2016 ãîäàÓ÷åíûé ñåêðåòàðüäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòàÀ. Í. Ñîáîëåâñêèéäîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê1Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÀêòóàëüíîñòü òåìû èññëåäîâàíèÿ.Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ, èäåÿ êîòîðîé ïðèøëà èçíà÷àëüíî èç ôèçèêè, ÿâëÿåòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ áîëüøèì è èíòåðåñíûì ðàçäåëîì ìàòåìàòèêè. Îïðåäåëÿåìàÿ èçíà÷àëüíî êàê ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îáúåêòàìè îäíîãî è òîãî æå òèïà, íàïðèìåð, ìåæäó äâóìÿìíîãîîáðàçèÿìè Êàëàáèßó (ñì. [15, 4]), â íàñòîÿùåå âðåìÿ çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿîáîáùåííî ôîðìóëèðóåòñÿ êàê íåêîòîðàÿ ñâÿçü ìåæäó îáúåêòàìè, èìåþùèìè, âîîáùåãîâîðÿ, ðàçëè÷íîå ïðîèñõîæäåíèå, è ïîðîé îïðåäåëåííûìè ðàçëè÷íî (ñì.
[23, 10, 21]).Âíå çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ôîðìóëèðîâêè çåðêàëüíîé ñèììåòðèè âàæíàÿ ðîëü â íåéîòâåäåíà òåîðèè îñîáåííîñòåé. Èäåîëîãè÷åñêè, çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâèåì ìåæäó Àìîäåëüþ è Áìîäåëüþ íåêîòîðîé ñóïåðñèììåòðè÷åñêîé êâàíòîâîéòåîðèè ïîëÿ. Ñîãëàñíî ïîäõîäó ôèçèêîâ (ñì. [4, 24]), Áìîäåëü äîëæíà ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íåêîòîðîå ñåìåéñòâî íàä áàçîéS,òàêîå, ÷òî çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ èìååò ìåñòîòîëüêî äëÿ íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ òî÷åêñâîþ ôàçóN = 2s ∈ S.Êàæäàÿ ñïåöèàëüíàÿ òî÷êà çàäàåòñóïåðñèììåòðè÷åñêîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Áìîäåëü â òàêîéòî÷êå äîëæíà áûòü çåðêàëüíî ñèììåòðè÷íîé íåêîòîðîé Àìîäåëè, ïðè÷åì ðàçëè÷íûìñïåöèàëüíûì òî÷êàì îäíîé è òîé æå ãëîáàëüíîé Áìîäåëè ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòüðàçëè÷íûå Àìîäåëè. Ìû áóäåì ñëåäîâàòü ïîäõîäó ÊèîäîÐóàíà [5], ïðåäëîæèâøèõìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãóþ ïðîãðàììó ãëîáàëüíîé çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ñ Áìîäåëüþ,ïîñòðîåííîé ïî íåêîòîðîé îñîáåííîñòè.
 òàêîì ñëó÷àÿ ãëîáàëüíàÿ Áìîäåëü íàçûâàåòñÿ Áìîäåëüþ ËàíäàóÃèíçáóðãà (ñì. [22]).  ôèçèêå ìîãóò èìåòü ïðèëîæåíèÿ âïåðâóþ î÷åðåäü òå ïðèìåðû çåðêàëüíîé ñèììåòðèè, â êîòîðûõ Àìîäåëü çàäàåòñÿ òåîðèåé ÃðîìîâàÂèòòåíà íåêîòîðîãî ìíîãîîáðàçèÿ Êàëàáèßó. Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿòàêîãî òèïà íàçûâàåòñÿ êðàòêî çåðêàëüíîé ñèììåòðèé òèïà CYLG.Ïîñëåäíèå èññëåäîâàíèÿ â ôèçèêå ïðåäïîëàãàþò áîëåå îáùåå ïîíèìàíèå ÁìîäåëåéËàíäàóÃèíçáóðãà, ó÷èòûâàþùåå òàêæå èõ ãðóïïó ñèììåòðèé (ñì. [8]). Òàêèå Áìîäåëèíàçûâàþòñÿ îðáèôîëäîâûìè.
Îäíàêî (ìàòåìàòè÷åñêîå) îïðåäåëåíèå îðáèôîëäîâûõÁìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé ïðîáëåìîé.Ñòåïåíü ðàçðàáîòàííîñòè òåìû èññëåäîâàíèÿ. ñëó÷àå ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà CYLGáûëà ïðåäúÿâëåíà â [20, 16, 17, 13].
Äðóãèì òèïîì çåðêàëüíîé ñèììåòðèè, èçó÷åííûì âòåõ æå ñòàòüÿõ, ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà ËàíäàóÃèíçáóðã ËàíäàóÃèíçáóðã. Äëÿ ïàðû(W, G),ðîâàííóþ îñîáåííîñòü, è ãðóïïûGñîñòîÿùåé èç ìíîãî÷ëåíàW,çàäàþùåãî èçîëè-åãî ñèììåòðèé, Àìîäåëü ËàíäàóÃèíçáóðãà áûëàïîñòðîåíà â [7]. Àìîäåëè òàêîãî òèïà èçâåñòíû â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïîä èìåíåì òåîðèéÔàíàÄæàðâèñàÐóàíàÂèòòåíà (ñîêðàùåííî FJRW).  îòëè÷èå îò Áìîäåëåé, êîòîðûå ñòðîÿòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðèè îñîáåííîñòåé, òåîðèè FJRW íå ÿâëÿþòñÿ ãëîáàëüíûìèè äàæå èõ ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé îïðåäåëÿåòñÿ èíà÷å.2Ðàáîòà ïî ïîñòðîåíèþ îðáèôîëäîâûõ Áìîäåëåé âåëàñü Ð. Êàóôìàíîì ([11]) ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ è Ì.Êðàâèòöîì ([12]) ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Îäíàêîæå â ýòèõ ðàáîòàõ ñäåëàíû ëèøü ïåðâûå øàãè ïî íàïðàâëåíèþ ê çåðêàëüíîé ñèììåòðèè.
Ñîâåðøåííî èíîé ïîäõîä, ïðèâåäøèé, âïðî÷åì, ê òåì æå çåðêàëüíûì ãèïîòåçàì,÷òî áûëè ñôîðìóëèðîâàíû Êàóôìàíîì ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, áûë ïðåäëîæåí Â.Ýáåëèíãîì è À. Òàêàõàøè â [6].Öåëè è çàäà÷è äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû.Îñíîâíîé öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ãëîáàëüíîé çåðêàëüíîé ñèììåòðèè äëÿ îðáèôîëäîâûõ ìîäåëåé ËàíäàóÃèíçáóðãà.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ýòî(1) Àêñèîìàòèçàöèÿ ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ îðáèôîëäîâûõ À è ÁìîäåëåéËàíäàóÃèíçáóðãà(2) Òåîðåìà î åäèíñòâåííîñòè ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî àêñèîìàì îðáèôîëäîâîé Áìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãà ïàðû(Ẽ8 , Z3 )(3) Òåîðåìà î çåðêàëüíîé ñèììåòðèè òèïà CYLG äëÿ ïàðû(Ẽ8 , Z3 ),(4) Òåîðåìà î çåðêàëüíîé ñèììåòðèè òèïà LGLG äëÿ ïàðû(Ẽ8 , Z3 ).Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.ÏðåäëîæåííàÿâäàííîéäèññåðòàöèèàêñèîìàòèçàöèÿîðáèôîëäîâûõÀèÁìîäåëåé, ïîäêðåïëåííàÿ äîêàçàííûìè ïðèìåðàìè çåðêàëüíîé ñèììåòðèè äëÿ ïàðû(Ẽ8 , Z3 ), ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ãèïîòåçû çåðêàëüíîé ñèììåòðèèâ åå ïîëíîé ôîðìóëèðîâêå.
Òàêæå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò íàéòè ïðèìåíåíèå âïîñòðîåíèè ýêâèâàðèàíòíîé òåîðèè ïëîñêèõ ñòðóêòóð Ñàèòî, íå ñóùåñòâóþùåé â íàñòîÿùåå âðåìÿ.Ìåòîäîëîãèÿ è ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü ñîîòâåòñòâèå çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãèì, ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü Àìîäåëè è Áìîäåëè â îáùåì êëàññå ôðîáåíèóñîâûõìíîãîîáðàçèé, ââåäåííûõ è äåòàëüíî èçó÷åííûõ Á.À. Äóáðîâèíûì. Ìû èñïîëüçóåì òåîðèè ìîäóëÿðíûõ ôîðì è ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ, òåîðèþ ÷èñåë è ðàçëè÷íûå àñïåêòûàëãåáðàè÷åñêîé íåçàâèñèìîñòè, à òàêæå êëàññè÷åñêóþ òåîðèþ îñîáåííîñòåé.Ñòåïåíü äîñòîâåðíîñòè è àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà ñëåäóþùèõ êîíôåðåíöèÿõ èñåìèíàðàõ:•4th Workshop on Combinatorics of moduli spaces, cluster algebras and topologicalrecursion, ã.
Ìîñêâà, 2631 Ìàÿ 2014 ã.,•Symposium on singularities and their topology, Ãàííîâåð, Ãåðìàíèÿ, 1417 Èþëÿ2014 ã.,3•Íàó÷íîèññëåäîâàòåëüñêèé ñåìèíàð Geometry and Mathematical Physics, óíèâåðñèòåò Àìñòåðäàìà, Íèäåðëàíäû, 9 Äåêàáðÿ 2014 ã.,•OberwolfachWorkshopMirrorSymmetry,HodgeTheoryandDierentialEquations, Îáåðâîëüôàõ, Ãåðìàíèÿ, 1925 Àïðåëÿ 2015 ã.,•Íàó÷íîèññëåäîâàòåëüñêèé ñåìèíàð Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êëàññû è òåîðèÿ ïåðåñå÷åíèé, ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè ÍÈÓ ÂØÝ, 20142015 ãã..Ïóáëèêàöèè.Ìàòåðèàëû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â2ïå÷àòíûõ ðàáîòàõ, èç íèõ2ñòàòüè âðåöåíçèðóåìûõ æóðíàëàõ, âõîäÿùèõ â ñïèñîê ÂÀÊ.Ëè÷íûé âêëàä àâòîðà.Ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèè è îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó, îòðàæàþòïåðñîíàëüíûé âêëàä àâòîðà â îïóáëèêîâàííûå ðàáîòû. Ïîäãîòîâêà ê ïóáëèêàöèè ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ïðîâîäèëàñü ñîâìåñòíî ñ ñîàâòîðàìè, ïðè÷åì âêëàä äèññåðòàíòàáûë îïðåäåëÿþùèì.
 ÷àñòíîñòè ðàçäåë 2 ãëàâû 8 ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì ñîâìåñòíîéðàáîòû ñ ïðîô. À. Òàêàõàøè. Âñå ïðåäñòàâëåííûå â äèññåðòàöèè îñíîâíûå ðåçóëüòàòûïîëó÷åíû ëè÷íî àâòîðîì.Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèè.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, îáçîðà ëèòåðàòóðû,îáúåì äèññåðòàöèèíàèìåíîâàíèé íà2Pñòðàíèö, èç íèõp18 ãëàâ è áèáëèîãðàôèè. Îáùèéñòðàíèöû òåêñòà. Áèáëèîãðàôèÿ âêëþ÷àåò50ñòðàíèöàõ.Êðàòêîå ñîäåðæàíèå ðàáîòûÑîäåðæàíèå ãëàâû 1. ïåðâîé ãëàâå ôîðìóëèðóþòñÿ ãèïîòåçû çåðêàëüíîé ñèììåòðèè, äîêàçàòåëüñòâó÷àñòíîãî ñëó÷àÿ êîòîðûõ ïîñâÿùåíà äàííàÿ äèññåðòàöèÿ.
 íåé ââîäÿòñÿ îñíîâíûåïîíÿòèÿ è îïðåäåëÿþòñÿ îáúåêòû äèññåðòàöèè.  ÷àñòíîñòè, äàþòñÿ îïðåäåëåíèÿ Ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðû, ïëîñêîé ñòðóêòóðû Ñàèòî îñîáåííîñòè è òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà. Òàêæå, ñëåäóÿ [3], äëÿ âñÿêîãî ìíîãî÷ëåíàîïðåäåëÿåì äâîéñòâåííûé ìíîãî÷ëåíR = {rij }WTW (x1 , . . . , xN ) ∈ C[x1 , . .
. , xN ]ìûñëåäóþùèì îáðàçîì. Îïðåäåëèì ìàòðèöóðàâåíñòâîìW (x1 , . . . , xN ) =MXi=1Ñ ïîìîùüþ ìàòðèöûRaiNYrxj ij .j=1îïðåäåëèì äâîéñòâåííûé ìíîãî÷ëåí4WTñëåäóþùèì îáðàçîì.Îïðåäåëåíèå. Êâàçèîäíîðîäíûé ìíîãî÷ëåíñîîòâåòñòâóþùàÿ åìó ìàòðèöàðîäíûé ìíîãî÷ëåíRWçàäàåò îáðàòèìóþ îñîáåííîñòü, åñëèÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíîé è îáðàòèìîé íàäTW (x1 , . .
. , xN ),NXaii=1WÊâàçèîäíî-îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîìW T (x1 , . . . , xN ) :=íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííûì êQ.NYrxj ji ,j=1ïî ÁåðãëþíäóÕóáøó.Ìû òàêæå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îáà ìíîãî÷ëåíàîñîáåííîñòè â íà÷àëå êîîðäèíàò0 ∈ C.WèWTçàäàþò èçîëèðîâàííûåÄëÿ âñÿêîãî ìíîãî÷ëåíàW (x)ðàññìîòðèìñëåäóþùèå ãðóïïû åãî ñèììåòðèé.Îïðåäåëåíèå.•W := (α1 , . . . , αN ) ∈ (C∗ )N | W (α1 x1 , . . . , αN xN ) = W (x) .Ìàêñèìàëüíàÿ äèàãîíàëüíàÿ ãðóïïà ñèììåòðèé ìíîãî÷ëåíàGWÅå ïîäãðóïïó•ÏóñòüW (x)JW := (e2πiq1÷àòüñÿ ÷åðåçSLW ⊆ GWîïðåäåëèì ðàâåíñòâîìêâàçèîäíîðîäåí ñ âåñàìè,...,e2πiqN).ýòî ãðóïïàSLW = GW ∩ SLN .q 1 , .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
