Автореферат (1137396), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . , q N ∈ Q.Îïðåäåëèì îïåðàòîðÏîðîæäåííàÿ èì öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà áóäåò îáîçíà-G0 :G0 := hJW i.•Äëÿ âñÿêîé ïîäãðóïïûG ⊆ GWîïðåäåëèì äâîéñòâåííóþ ê íåé ãðóïïó :GT := Hom(GW /G, C∗ ).Ïóñòü ìíîãî÷ëåíWçàäàåò îáðàòèìóþ îñîáåííîñòü ñ íåêîòîðîé ãðóïïîé ñèììåòðèéG, ò.÷. G0 ⊆ G.
Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ìíîãî÷ëåí W óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ÊàëàáèPßó:qi = 1. Ðàññìîòðèì òåîðèþ ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäà XW,G :.XW,G := x ∈ CN | W (x) = 0(G/G0 ) .Ãèïîòåçà 0.1 (çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà CYLG). Äëÿ âñÿêîãî îáðàòèìîãî ìíîãî-÷ëåíàWñ ãðóïïîé ñèììåòðèéóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé äëÿ ïàðûG ⊆ SLW(W, G),ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî ñòðóêòóð ôðîáåíè-ôèêñèðóåìîå ïðèìèòèâíîé ôîðìîéñòâóåò òàêæå âûáîð ïðèìèòèâíîé ôîðìûζ∞ζG .Ñóùå-â ñïåöèàëüíîé òî÷êå, òàêîé, ÷òî ïî-òåíöèàë ñîîòâåòñòâóþùåé Ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðû ñîâïàäàåò ñ òî÷íîñòüþ äî ëèíåéíîé çàìåíû ïåðåìåííûõ ñ ôðîáåíèóñîâûì ïîòåíöèàëîì òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíàîðáèôîëäàXW T ,GT .Âûáîð ïðèìèòèâíîé ôîðìû, óñòàíàâëèâàþùèé ïðèâåäåííóþ âûøå çåðêàëüíóþ ñèììåòðèþ, íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíîé ôîðìîé â LCSL.5Ãèïîòåçà 0.2 (çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà LGLG).
Äëÿ âñÿêîãî îáðàòèìîãî ìíîãî-÷ëåíàWG ⊆ SLWñ ãðóïïîé ñèììåòðèé(W, G),óñîâûõ ìíîãîîáðàçèé äëÿ ïàðûñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî ñòðóêòóð ôðîáåíè-ôèêñèðóåìîå ïðèìèòèâíîé ôîðìîéñòâóåò òàêæå ôðîáåíèóñîâà ñòðóêòóðà äëÿ ïàðûôîðìûζ∞(W T , GT )ζG .Ñóùå-è âûáîð ïðèìèòèâíîéâ ñïåöèàëüíîé òî÷êå, òàêîé, ÷òî ïîòåíöèàë ñîîòâåòñòâóþùåé ôðîáå-íèóñîâîé ñòðóêòóðû ñîâïàäàåò ñ òî÷íîñòüþ äî ëèíåéíîé çàìåíû ïåðåìåííûõ ñ ôðî-(W T , GT ).áåíèóñîâûì ïîòåíöèàëîì ïàðûÃèïîòåçà 0.3 (ñîîòâåòñòâèå CY/LG). Ñóùåñòâóåò äåéñòâèå ãðóïïû íà ïðîñòðàíñòâåâñåõ ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð, òàêîå, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà ýòîé ãðóïïûRèìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:AGWR̂ · FW,T ,GT = FXW T ,GTãäåR̂îáîçíà÷àåò äåéñòâèå ýëåìåíòàRíà ïîòåíöèàëå ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðû.Ñîäåðæàíèå ãëàâû 2.Äàííàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ôðîáåíèóñîâûì ìíîãîîáðàçèÿì è çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ñòðèâèàëüíîé ãðóïïîéG = {id}ìû ðàññìàòðèâàåì îñîáåííîñòèäëÿ ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé.
 ÷àñòíîñòèẼ6 , Ẽ7 , Ẽ8 ,çàäàííûå ìíîãî÷ëåíàìèẼ6 : Wσ (x) = x31 + x32 + x33 + σx1 x2 x3 ,Ẽ7 : Wσ (x) = x41 + x42 + x23 + σx21 x22 ,(1)Ẽ8 : Wσ (x) = x61 + x32 + x23 + σx41 x2 .ãäåσ∈C êîìïëåêñíûé ïàðàìåòð. Ïðèìèòèâíàÿ ôîðìàζòàêèõ îñîáåííîñòåé èìååòñëåäóþùèé ïðîñòîé âèä ([19]):ζ = ζ(σ) =ãäåd3 x,πA (σ)πA (σ) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ÏèêàðàÔóêñà, çàäàâàåìîãî ñåìåéñòâîì ýëëèïòè÷åñêèõêðèâûõ{Wσ (x) = 0}.ðåøåíèÿπAÒàêîå ðåøåíèå íå åäèíñòâåííî è, ñîîòâåòñòâåííî, ðàçíûé âûáîðäàåò ðàçíûå ïðèìèòèâíûå ôîðìû, çàäàþùèå àïðèîðè ðàçíûå ôðîáåíèó-ñîâû ñòðóêòóðû äëÿ îäíîé ôèêñèðîâàííîé îñîáåííîñòèWσ (x).Íåñêîëüêî ðàçäåëîâ âòîðîé ãëàâû ïîñâÿùåíû èìåííî âîïðîñó âûáîðà ïðèìèòèâíîéôîðìû ïðîñòîé ýëëèïòè÷åñêîé îñîáåííîñòè è ôðîáåíèóñîâûì ñòðóêòóðàì, êîòîðûå ïîíèì ñòðîÿòñÿ.Äëÿ òàêèõ ïàð(Wσ , {id})ãèïîòåçû çåðêàëüíîé ñèììåòðèè áûëè äîêàçàíû â ðàáîòàõÑàòàêåÒàêàõàøè, ÒàêàõàøèØèðàèøè, ÌèëàíîâÐóàí è ÌèëàíîâØåíü ([20, 20, 16,17]).Òåîðåìà 0.1 (Òåîðåìà 3.6 â [20], Òåîðåìà 6.6 â [16] è Òåîðåìà 1.5 â [17]).
Äëÿ ïðîñòîéýëëèïòè÷åñêîé îñîáåííîñòèẼNèìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå èçîìîðôèçìû:MẼ6 ∼,= MPGW13,3,3MẼ7 ∼,= MPGW14,4,26MẼ8 ∼,= MPGW16,3,2êîòîðûå äîêàçûâàþò çåðêàëüíóþ ñèììåòðèþ CYLG. Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ LGLGóñòàíàâëèâàåòñÿ ñëåäóþùèì èçîìîðôèçìîì:MẼN ∼= MẼFJRWN ,GmaxN = 6, 7, 8,ãäå FJRW îáîçíà÷àåò òåîðèþ ÔàíàÄæàðâèñàÐóàíàÂèòòåíà.Äàííàÿ òåîðåìà óòâåðæäàåò òàêæå ñóùåñòâîâàíèå ïîäõîäÿùåé ïðèìèòèâíîé ôîðìûäëÿ âñåõ ïðèâåäåííûõ âûøå èçîìîðôèçìîâ.  ÷àñòíîñòè äëÿ îñîáåííîñòèẼ8òàêàÿïðèìèòèâíàÿ ôîðìà èìååò âèäζLCSLd3 x,=π∞ (σ)ãäåπ∞ =2 F11 74 3, ; 1; 1 + σ .12 1227Ñîäåðæàíèå ãëàâû 3.Îòäåëüíàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà òàê íàçûâàåìûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîâ. Ýòî ÷åòûðå îðáèôîëäàP12,2,2,2 , P13,3,3 , P14,4,2 , P16,3,2 ,ïîëó÷àåìûå ôàê-òîðèçàöèåé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé ïî äåéñòâèþ êîíå÷íûõ ãðóïï ïîðÿäêîâ2,3,4,6ñîîò-âåòñòâåííî. Ñàòàêå è Òàêàõàøè îáíàðóæèëè â [20], ÷òî ôðîáåíèóñîâ ïîòåíöèàë îðáèôîëäàP12,2,2,2èìååò ñëåäóþùèé ÿâíûé âèä (ïðè îïðåäåëåííîì âûáîðå áàçèñà â êîëüöåêîãîìîëîãèé):P1F0 2,2,2,2 (t−1 , t0 , t1 , t2 , t3 , t4 ) =4t0 X 21t20 t−1+(ti ) − (t21 t23 + t22 t24 ) X3∞ (t−1 )24 i=1164− (t21 t24 + t22 t23 )ãäå1 ∞11 X 4 ∞X4 (t−1 ) − (t23 t24 + t21 t22 ) X2∞ (t−1 ) −(ti ) γ (t−1 ),161664 i=1∂log ϑk ,Xk∞ (τ ) ëîãàðèôìè÷åñêèå ïðîèçâîäíûå òåòàêîíñòàíò ßêîáè: Xk∞ (τ ) := 2 ∂τäëÿ2 ≤ k ≤ 4.Âàæíûì ñâîéñòâîì ýòèõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ ðåøå-íèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé Àëüôàíà:ÑàòàêåèÒàêàõàøè{X2 (τ ), X3 (τ ), X4 (τ )},ëÿÿXk (τ )d(X ∞ (τ ) + X3∞ (τ )) = 2X2∞ (τ )X3∞ (τ ),dτ 2d(X ∞ (τ ) + X4∞ (τ )) = 2X3∞ (τ )X4∞ (τ ),dτ 3d(X ∞ (τ ) + X2∞ (τ )) = 2X4∞ (τ )X2∞ (τ ).dτ 4çàìåòèëè,òàêæå÷òîäëÿÿâëÿþùåéñÿâñÿêîéðåøåíèåì∞âìåñòî Xk (τ ) â âûðàæåíèè äëÿ ïîòåíöèàëàäðóãîéòðîéêèôóíêöèéñèñòåìûÀëüôàíà, ïîäñòàâP12,2,2,2F0, ìû ïîëó÷àåì íîâûåôðîáåíèóñîâû ñòðóêòóðû.
Ìû èñïîëüçóåì â äàëüíåéøåì ýòîò ôàêò äëÿ ïîñòðîåíèÿñåìåéñòâà ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé ïàðû7(Ẽ8 , Z3 ). äàëüíåéøåì íàì áóäåò âàæåí ôðîáåíèóñîâ ïîòåíöèàë òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíàP16,3,2 . Îäíàêî ýòîò ôðîáåíèóñîâ ïîòåíöèàë åùå íå âû÷èñëåí ÿâíî. Ñ ïîìîùüþ íåêîòîðûõ óòâåðæäåíèé î êâàçèìîäóëÿðíîñòè êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî ôðîáåíèóñîâà ïîòåíöèàëà (îáíàðóæåííûõ â [18]) è íåêîòîðîé òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè ([9]) â ãëàâå 3 ïðèâîäÿòñÿ ïåðâûå ÷ëåíû ðÿäà Ôóðüå ôðîáåíèóñîâà ïîòåíöèàëà òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíàP16,3,2 .Ñîäåðæàíèå ãëàâû 4.Íàïîìíèì, ÷òî ÷àñòüþ ãèïîòåç î çåðêàëüíîé ñèììåòðèè áûëè òàêæå ïðåäïîëîæåíèÿî ñóùåñòâîâàíèè îïðåäåëåííûõ ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð, àññîöèèðîâàííûõ ñ ïàðîé(W, G)è(W T , GT ). äàííîé ãëàâå ìû ïðåäëàãàåì àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ýòèõôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð.
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåíg ∈ G ⊆ GWîñîáåííîñòü. Äëÿ âñÿêîãîx=x} è íàòóðàëüíîå ÷èñëîîãðàíè÷åíèå ìíîãî÷ëåíàWNgîïðåäåëèì ìíîæåñòâîðàâåíñòâîìηgà ÷åðåçòàêæåζg ∈ Gçàäàåò îáðàòèìóþFix(g) := {x ∈ CN | g ·Ng := dim Fix(g).Îáîçíà÷èì ÷åðåçíà ïîäïðîñòðàíñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê ýëåìåíòàîáîçíà÷èì ÷åðåçLWgg ∈ G:ðåçèäóàëüíîå ñïàðèâàíèå îñîáåííîñòèëîêàëüíóþ àëãåáðó îñîáåííîñòèWg ,îãðàíè÷åííîå íà íåêîòîðàÿ ïðèìèòèâíàÿ ôîðìà Ñàèòî îñîáåííîñòèìû îïðåäåëÿåì ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåM(W,G),ζWèG(LWg )G ⊆ SLW .Wg ,. Ïóñòü ãëàâå 4àêñèîìàòè÷åñêè.Îïðåäåëåíèå.
Ôðîáåíèóñîâûì ìíîãîîáðàçèåì Áìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãàñîãëàñîâàííûì ñ ïðèìèòèâíîé ôîðìîéWgWg : CNg → C.Wg := W |Fix(g) ,Òàêæå äëÿ âñÿêîãîW(W, G),ζ , íàçûâàåòñÿ ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå, óäî-âëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì àêñèîìàì.•ÄëÿG = {id}âûïîëíåíî:M(W,G),ζ = M(W,{id}),ζ ∼= MW,ζ .•Ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé:T M(W,G),ζ |t=0 ∼= H :=M(LWg )G .g∈G•Ñïàðèâàíèå ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðûηHM(W,G),ζñîâïàäàåò â ïëîñêèõ êîîðäèíà-H.G η (u, v), äëÿ u ∈ (L )G , v ∈ (LWg−1 ) ,gWgu, v ∈ H ⇒ η H (u, v) = 0 âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.òàõ ñî ñïàðèâàíèåì•Îãðàíè÷åíèåM(W,G),ζíàíà(LW )Gèçîìîðôíîñîâîé ñòðóêòóðû Ñàèòî îñîáåííîñòèGèíâàðèàíòíîéW:G∼= (MW,ζ ) .M(W,G),ζ |LGW8÷àñòè ôðîáåíèó-•Ñóùåñòâóåò ïîíÿòèå çàìåíû ïðèìèòèâíîé ôîðìû äëÿM(W,G),ζ ,ñîâàíî ñ çàìåíîé ïðèìèòèâíîé ôîðìû Ñàèòî â îãðàíè÷åíèè íàêîòîðîå ñîãëà-(LW )G.•Ñóùåñòâóåò ïîíÿòèå ñïåöèàëüíîé òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå ïðèìèòèâíûõ ôîðì.•ÏóñòüGF(t) ïîòåíöèàë ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðû.
Ïóñòü e åäèíèöà ãðóïïûè ýëåìåíòûgi ∈ Gâûïîëíåíî:äëÿ âñåõ1≤i≤kòàêîâû, ÷òîg1 · · · · · gk 6= e ∈ G.Òîãäà∂kF|t=0 = 0 ∀i1 , . . . , ik .∂tg1 ,i1 . . . ∂tgk ,ikÂâèäó òîãî, ÷òî â ïðèâåäåííóþ âûøå ñèñòåìó àêñèîì âõîäèò òàêæå ïðèìèòèâíàÿôîðìà ñàìîé îñîáåííîñòèâñÿêîé ïàðûW,ìû èìååì ñåìåéñòâî ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé äëÿ(W, G). Îäíàêî èç äàííîé àêñèîìàòèçàöèè íå ñëåäóåò, ÷òî ïðè âñÿêîé ôèê-ñèðîâàííîé ïðèìèòèâíîé ôîðìåÎïðåäåëåíèå. Ïóñòü ãðóïïàζôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåM(W,G),ζåäèíñòâåííî.G òàêîâà, ÷òî G0 ⊆ G ⊆ GW .
Ôðîáåíèóñîâûìçèåì îðáèôîëäîâîé Àìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãà ïàðûìíîãîîáðà-(W, G) íàçûâàåòñÿ ôðîáåíèóñîâîAìíîãîîáðàçèå MW,G , óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì àêñèîìàì:•Äëÿ âñÿêîãîh∈GHh := ΩNh (CNh )/(dWh ∧ ΩNh −1 ),!GM|t=0 ∼Hh.= HW,G :=ïîëîæèìAT MW,Gòîãäàh∈G•ÏîòåíöèàëF(t)ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðûAMW,Gèìååò ðàçëîæåíèå â ðÿä ñðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.•Ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåÃðîìîâàÂèòòåíàXWAMW,Gñâÿçàíî ñ ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðîé òåîðèèíåêîòîðûì äåéñòâèåì íà ïðîñòðàíñòâå âñåõ ôðîáåíèóñî-âûõ ìíîãîîáðàçèé, ñîîòâåòñòâóþùèì çàìåíå ïðèìèòèâíîé ôîðìû äëÿG = GW . äàëüíåéøèõ ãëàâàõ ìû äåìîíñòðèðóåì ñîñòîÿòåëüíîñòü äàííîé àêñèîìàòèêè, äîêàçûâàÿ ñ åå ïîìîùüþ âñå ãèïîòåçû î çåðêàëüíîé ñèììåòðèè äëÿ ïàðû(Ẽ8 , Z3 ).Ñîäåðæàíèå ãëàâû 5.Ãëàâà 5 ïîëíîñòüþ ïîñâÿùåíà äîêàçàòåëüñòâó ãèïîòåçû çåðêàëüíîé ñèììåòðèè òèïàCYLG äëÿ ïàðûz 2 + σx4 y(Ẽ8 , Z3 ).  ÷àñòíîñòè ìû ðàññìàòðèâàåì ìíîãî÷ëåí Wσ (x) = x6 +y 3 +ñ äåéñòâèåì öèêëè÷åñêîé ãðóïïûG = hhi,ãäå äëÿξ 3 = 1, ξ 6= 1,ìû ïîëàãàåìh : (x, y, z) → (ξx, ξ 2 y, z).Ïåðâàÿ òåîðåìà äàííîé äèññåðòàöèè î çåðêàëüíîé ñèììåòðèè óòâåðæäàåò:Òåîðåìà.
ÏóñòüζLCSL ïðèìèòèâíàÿ ôîðìà îñîáåííîñòèî çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ñáèôîëäîâîé ÁìîäåëèG = {id}).(Ẽ8 , Z3 )Ẽ8â LCSL (ñì. òåîðåìóÒîãäà ïîòåíöèàë ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ îð-ñ ïðèìèòèâíîé ôîðìîé, ñîãëàñîâàííîé ñ9ζLCSL ,èìååòâèä:FZ3t21,2t21,1+124!1 4t f1 (t1,3 )36 1,11111+ t21,1 t21,2 f2 (t1,3 ) + t1,1 t31,2 f0 (t1,3 ) + t41,2f1 (t1,3 ) + f2 (t1,3 )18912182 22222 2+ th th2t f2 (t1,3 ) + 2t1,2 f1 (t1,3 ) − t1,1 t1,2 f0 (t1,3 ) + th th2f2 (t1,3 ) + 2f1 (t1,3 )9 1,1331= t21,0 t1,3 + t1,02+ t1,0 th th2 ++ (t3h + t3h2 ) (t1,1 f0 (t1,3 ) + t1,2 (3f1 (t1,3 ) − f2 (t1,3 ))) ,ãäå ôóíêöèèf0 ,f1 ,f2 çàäàíû ÿâíî:f0 (τ ) := 81 X3∞ (τ ) − 18 X4∞ (τ ),11X2∞ (τ ) − 48X3∞ (τ ) −f1 (τ ) := − 12 f (τ ) := − 3 X ∞ (τ ) − 3 X ∞ (τ ).2163161∞48 X4 (τ ),4Èç ýòîé òåîðåìû âûòåêàåò òåîðåìà î çåðêàëüíîé ñèììåòðèè òèïà CYLG.Òåîðåìà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
