Диссертация (1137397), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ïðèâåäåì èäåþ äîêàçàòåëüñòâà.Ïóñòü[Γ] ∈ H3 (X 0 , X − ).z.ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿÐàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü óðîâíÿÌû ìîæåì çàïèñàòü èíòåãðàëF/z = λJA (s, z)äëÿ âñÿêîãîèñïîëüçóÿ ôîðìóÃåëüôàíäàËåðå.ZF/zeZω=zΓÇäåñüìûèñïîëüçîâàëè0eλZe−∞sj φj z dj∂λ Γêâàçèîäíîðîäíîñòüèíòåãðàëà îò ôîðìàëüíîé ïåðåìåííîéPFäëÿωdfòîãî,dλ.÷òîáûèçìåíèòüçàâèñèìîñòüz.Ðàñêëàäûâàÿ ýêñïîíåíòó â ðÿä, ìû ìîæåì ïðîèíòåãðèðîâàòüλñ ïîìîùüþ Ãàììàôóíêöèé. Ïðèìåíÿÿ Ëåììó 3.4 ìû ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîñêèõ êîîðäèíàò.24ÏëîñêèåêîîðäèíàòûI.ìíîæåñòâîìèíäåêñÂν∗ ∈ IôðîáåíèóñîâàÅäèíñòâåííîé ïåðåìåííîé ñòåïåíèîäíîçíà÷íî îïðåäåëåí ðàâåíñòâîì÷àñòíîñòè,äëÿẼ8îñîáåííîñòè{00, 10, 20, 30, 40, 11, 21, 31, 41}.Ìû áóäåì òàêæå ïîëàãàòü0òàêæåt0∗ ,ÿâëÿåòñÿèíäåêñèðîâàíûãäå äëÿ âñÿêîãîν ∈ Iην,ν ∗ 6= 0.ïåðåìåííûåÏîñêîëüêóMẼNìíîãîîáðàçèÿφ41 = x41 x2 ,I=èäåíòèôèöèðóåòñÿ ñs41 .èíäåêñèðîâàíûïàðàìåòðσìíîæåñòâîìs−1 := s41 .Ôîðìóëû Íîóìèßìàäà äëÿ îñîáåííîñòèt−1 := t41 = s415,121,122 F12 F1Ẽ811;127;12äàþò:4;u3,2;u3u := −ãäå4s341.274.
CYLG è LGLG ñ òðèâèàëüíîé ãðóïïîé ñèììåòðèèÃèïîòåçû çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ñ âûáîðîì ãðóïïû ñèììåòðèé îñîáåííîñòèG = {id}áûëè äîêàçàíû äëÿ îáðàòèìûõ ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé ÑàòàêåÒàêàõàøè â [è ÊðàâèòöÌèëàíîâØåíü â ðàáîòàõ [43]27, 34, 35] (êðîìå íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àåâ).Äâîéñòâåííàÿ ãðóïïà â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîé ãðóïïîé ñèììåòðèéGT = GW .Ïîäõîäÿùåé Aìîäåëüþ ËàíäàóÃèíçáóðãà â äàííîì ñëó÷àå îêàçàëàñü òåîðèÿ FJRW.Òåîðåìà 3.10 (Òåîðåìà 3.6 â [ýëëèïòè÷åñêîé îñîáåííîñòèẼN43], Òåîðåìà 6.6 â [34] è Òåîðåìà 1.5 â [35]).Äëÿ ïðîñòîéèìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå èçîìîðôèçìû:MẼ6 ∼,= MPGW13,3,3MẼ7 ∼,= MPGW14,4,2MẼ8 ∼,= MPGW16,3,2êîòîðûå äîêàçûâàþò çåðêàëüíóþ ñèììåòðèþ CYLG.
Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ LGLGóñòàíàâëèâàåòñÿ ñëåäóþùèì èçîìîðôèçìîì:MẼN ∼= MẼFJRWN ,GmaxN = 6, 7, 8.Êëþ÷åâûì êîìïîíåíòîì âñÿêîãî çåðêàëüíîãî èçîìîðôèçìà ÿâëÿåòñÿ âûáîð ïðèìèòèâíîéôîðìû îñîáåííîñòè.Ìû íå ïðèâîäèì ïîäðîáíîñòåé âûáîðà âñåõ ïðèìèòèâíûõ ôîðìèñïîëüçîâàííûõ â òåîðåìå, êîòîðûå ìîãóò áûòü íàéäåíû â îðèãèíàëüíûõ ïóáëèêàöèÿõ.4.1. Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ äëÿ îñîáåííîñòè Ẽ8 ñ òðèâèàëüíîé ãðóïïîéñèììåòðèè.îñîáåííîñòèÍèæåẼ8 ,ìûïðèâîäèìÿâíûéêîòîðûé áûë íàéäåí â [35]).Òåîðåìà 3.11 (Òåîðåìà 1.5 â [çåðêàëüíîãîèçîìîðôèçìàCYLGäëÿ35].MẼ8ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå,MP16,3,2ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåÎáîçíà÷èì ÷åðåçàññîöèèðîâàííîå ñ ðàçâåðòêîé îñîáåííîñòèòåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàâèäẼ8 ,P16,3,2 .è ÷åðåçÒîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé çåðêàëüíûéèçîìîðôèçì:MP16,3,2 ∼= MẼ8 ,25ãäå ôðîáåíèóñîâà ñòðóêòóðà îñîáåííîñòè ôèêñèðîâàíà ïðèìèòèâíîé ôîðìîéσ = 32 (−2)1/3 ,çàäàííîé ïåðèîäîìπAπA (s−1 ) =0â òî÷êå(ñì.
Òåîðåìó 3.1):Ïëîñêèå êîîðäèíàòû ñòåïåíèζLCSL2 F11 74 3, ; 1; 1 + s−1 .12 1227ñâÿçàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:√t−1 = 2π −1t41 /6.35] [àâòîðû ïðèâîäÿò ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ çåðêàëüíîãî èçîìîðôèçìà, ñâÿçûâàþùèåáàçèñû äâóõ ôðîáåíèóñîâûõ àëãåáðà. Ýòè ôîðìóëû ïîíàäîáÿòñÿ íàì â äàëüíåéøåì è ïîòîìóìû ïðèâîäèì èõ íèæå â ÿâíîì âèäå.Îáîçíà÷èì ÷åðåç∆ijïîðîæäàþùèå êîëüöà êîãîìîëîãèé ×åíàÐóàíà îðáèôîëäàP16,3,2 :∆0 = {pt}, ∆−1 = P, ∆11 , ∆12 , ∆13 , ∆14 , ∆15 , ∆21 , ∆22 , ∆31 ,ãäåPîáîçíà÷àåò êëàññ ãèïåðïîâåðõíîñòè âP1 .Ìû îïèøåì ýòè ïîðîæäàþùèå áîëåå äåòàëüíîâ ñëåäóþùåì ðàçäåëå.Ïóñòü, êàê è ðàíåå,4 3s−1 .u := − 27Îïðåäåëèì ôóíêöèè(1)(1)F1,r (u), F2,r (u)äëÿr ∈ I(ñì.ïðåäûäóùèé ðàçäåë) ñëåäóþùèì îáðàçîì. (1) F1,r (u) = 2 F1 (αr , βr ; αr + βr − γr + 1; 1 − u) , F (1) (u) = F (γ − α , γ − β ; γ − α − β + 1; 1 − u) (1 − u)γr −αr −βr .2 1rr rr rrr2,rãäå âåñàα r , βrèγrïðèâåäåíû â Òàáëèöå 1.Table 1.
Âåñà ïåðèîäîâ îñîáåííîñòèẼ8φrx1x2x21x1 x2x31x21 x2x41x31 x2αr , βr , γr1 2 2, ,6 3 31 7 1, ,12 12 31 3 2, ,4 4 31 2 1, ,6 3 31 5 2, ,3 6 31 3 1, ,4 4 35 11 2, ,12 12 31 5 1, ,3 6 3Ïåðâàÿ÷àñòüçåðêàëüíîãîèçîìîðôèçìàÌèëàíîâàØåíÿîáðàçîì:∆0 7→ 1,∆−1 7→ 36(1 − u)φ41 πA2 ,26çàïèñûâàåòñÿñëåäóþùèìãäåπA îïðåäåëåí â âûøåïðèâåäåííîé Òåîðåìå.Îñòàëüíûå ïîðîæäàþùèå èäåíòèôèöèðîâàíûñëåäóþùèì îáðàçîì:∆11 7→ (1 − u)1/6 φ10 πA ,∆15 7→ (1 − u)5/6 φ31 πA ,(1)(1)1/3−1/3∆21 7→ (1 − u)F2,20 (u) φ01 + (−2)F2,01 (u) φ20 πA ,(1)(1)1/3−1/3∆12 7→ (1 − u)F1,20 (u) φ01 − 3(−2)F1,01 (u) φ20 πA ,(1)(1)∆31 7→ (1 − u)1/2 F2,30 (u) φ11 + (−2)−1/3 F2,11 (u) φ30 πA ,(1)(1)∆13 7→ (1 − u)1/2 F1,20 (u) φ11 − 2(−2)−1/3 F1,11 (u) φ30 πA ,(1)(1)∆22 7→ (1 − u)2/3 F2,40 (u) φ21 + (−2)−1/3 F2,21 (u) φ40 πA ,5(1)(1)2/3−1/3∆14 7→ (1 − u)F1,40 (u) φ21 − (−2)F1,21 (u) φ40 πA .3(3.7)Ìèëàíîâ, Ðóàí, Øåíü è Êðàâèòö ôèêñèðóþò ïðèìèòèâíóþ ôîðìó ÿâíûì ðåøåíèåìπ(σ)óðàâíåíèÿ ÏèêàðàÔóêñà.âîçìîæíîñòüèñïîëüçîâàíèÿïðèìèòèâíûõ ôîðì.îïðåäåëåíèå öèêëàAσ ,Òàêîé ïîäõîä ïðåäîñòàâëÿåò â êà÷åñòâå ïðåèìóùåñòâààíàëèçàñàìîãîóðàâíåíèÿÏèêàðàÔóêñàäëÿñàìèõÎäíàêî â òàêîì ñëó÷àå ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíûì ïðåäñòàâëÿåòñÿñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèþ27π(σ).ÃËÀÂÀ 4Òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîâÀëãåáðàè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ, âîçíèêàþùèå â êà÷åñòâåAìîäåëåéâñòðå÷àþòñÿ â ëèòåðàòóðå ïîä èìåíåì ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîâ.â äàííîì òåçèñå,Âñå òàêèå îðáèôîëäûP1 ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì k òî÷åê, èìåþùèõ ãðóïïîâóþPai ≥ 2 è1/ak = 1.
Òàêèå îðáèôîëäû íàçûâàþòñÿïðåäñòàâëÿþòñÿ êàê ïðîåêòèâíàÿ ïðÿìàÿñòðóêòóðó(Z/Za1 , . . . , Z/Zak )ãäåýëëèïòè÷åñêèìè ââèäó òîãî, ÷òî âñå îíè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ôàêòîðèçàöèåé ýëëèïòè÷åñêèõêðèâûõ ïî äåéñòâèþ êîíå÷íîé ãðóïïû. Òàêèì îáðàçîì ñóùåñòâóþò ëèøüîðáèôîëäà:4ýëëèïòè÷åñêèõP12,2,2,2 , P13,3,3 , P14,4,2 , P16,3,2 .Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü çåðêàëüíóþ ñèììåòðèþ òèïà CYLG âàæíî çíàòü ïîòåíöèàëðîäà0ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèôîëäîâ, êîòîðûé èçâåñòåí, îäíàêî æå, â ÿâíîì âèäå òîëüêî äëÿîðáèôîëäîâP12,2,2,2èP13,3,3(ñì. [43]).43] â òîì âèäå, â êàêîì îíè áóäóò èñïîëüçîâàíû äàííîé ãëàâå ìû ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû [íàìè â äàëüíåéøåì.Òàêæå ìû ïðèâåäåì ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ íåêîòîðîãî îãðàíè÷åíèÿòåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàP16,3,2 .1.
Òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäà P12,2,2,2Ôðîáåíèóñîâà ïîòåíöèàë äëÿMP12,2,2,243].áûë íàéäåí ÿâíî â ðàáîòå [èíåðöèè èìååò âèä:IP12,2,2,2 = P12,2,2,2Îáîçíà÷èì ÷åðåç∆0 , . . . , ∆5áàçèñaB(Z2 )a∗Horb(P12,2,2,2 )B(Z2 )aB(Z2 )aB(Z2 ).òàêîé ÷òî:01(P12,2,2,2 ) ' Q∆0 , Horb(P12,2,2,2 ) 'Horb4M2(P12,2,2,2 ) ' Q∆5 .Q∆i , Horbi=1Ñïàðèâàíèå çàäàíî ñâîèìè çíà÷åíèÿìè íà áàçèñå:η(∆0 , ∆5 ) = 1,1η(∆i , ∆j ) = δi,j , 1 ≤ i, j ≤ 4.2Ïîòåíöèàë ðîäà íîëü èìååò ñëåäóþùèé ÿâíûé âèä.4FP12,2,2,211 X 2(t0 , t1 , t2 , t3 , t4 , t−1 ) = t20 t−1 + t0 (t ) + (t1 t2 t3 t4 )f0 (q)24 i=1 i!!41 X 41 X 22+t f1 (q) +t t f2 (q), q := exp(t−1 ).4 i=1 i6 i<j i j29Ñòðîãèé ñòåêäëÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèéýéëåðîâûì ïîëåìfi ,çàâèñÿùèõ òîëüêî îòexp(t−1 ).Êâàçèîäíîðîäíîñòü çàäàíàE:4E := t01X 1 ∂∂+ti,∂t0 i=1 2 ∂ti11E · F P2,2,2,2 = 2F P2,2,2,2 .Óðàâíåíèå WDVV äëÿF P2,2,2,2(4.1)d8q f0 (q) = f0 (q)f2 (q) − 24f1 (q) ,dq3d2168q f1 (q) = − f0 (q)2 − f1 (q)f2 (q) + f2 (q)2 ,dq3398dq f2 (q) = 6f0 (q)2 − f2 (q)2 .dq3ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé:Èç ÿâíîãî âèäà óðàâíåíèÿ WDVV ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.Ïðåäëîæåíèå 4.1.
Ïóñòü ôóíêöèèÒýéëîðà â îêðåñòíîñòè÷èñëàìèq=0è âûïîëíåíî(f0 (q), f1 (q), f2 (q))f0 (0) = 0.(a)ckñëåäóþùèå ÷èñëà:fa (q) =Xk≥0Ëåììà 4.2. Ïóñòü ôóíêöèèn≥1(a) qckkk!f0 (q), f1 (q), f2 (q).óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå (4.1).Äëÿïîëîæèì:Kn(0):=Xp+q=n,p6=n,q6=nKn(1)Kn(2)ÒîãäàÒîãäà ýòè ðÿäû ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíû(f0 (0), f1 (0), f2 (0)).Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåçâñÿêîãîïðåäñòàâëåíû ñâîèìè ðÿäàìèêîýôôèöèåíòû8 (0) (2)(0) (1)c c − 24cp cq,3 p q2 (0) (0) 16 (1) (2) 8 (2) (2),:=− cp cq − cp cq + cp cq339p+q=n,p6=n,q6=nX8 (2) (2)(0) (0):=6cp cq − cp cq.3p+q=n,p6=n,q6=nXðàçëîæåíèÿôóíêöèèfa (q)óäîâëåòâîðÿþòñëåäóþùåéñèñòåìåóðàâíåíèé:8 (0) (2)(0) (2)(0) (1)(0) (1)(0)(0)ncn = Kn + (cn c0 + c0 cn ) − 24(c0 cn + cn c0 ),32 (0) (0) 16 (1) (2)8 (2) (2)(1)(1)(1) (2)ncn = Kn − c0 cn − (cn c0 + c0 cn ) + cn c0 ,3398 (2) (2)(2)(2)(0) (0) ncn = Kn + 6cn c0 − cn c0 .3n ≥ 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî ñëåäóåò ìîìåíòàëüíî ñðàâíåíèåì ðàçëîæåíèé ïî ñòåïåíÿìè ïðàâîé ÷àñòåé óðàâíåíèé (4.1).(0) (0)(2) (2)9c0 c0 − 4c0 c0 = 0.30Äëÿq=0qëåâîéóðàâíåíèå (4.1) äà¼ò:Òàêèì îáðàçîì ìå èìååì(2)c0 = 0.n=1Äëÿâûøå ïðèâåäåííàÿ Ëåììà óòâåðæäàåò:(0)(0) (1)c1 = −24c1 c0 .Ïóñòü(1)24c0(0)c1= 0òîãäà íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òîf0 (q) ≡ 0. ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû èìååì= −1.Óòâåðæäåíèå Ëåììû ïðèîáðåòàåò ñëåäóþùèé âèä:(0)(0)(0)(n − 1)cn = Kn , c1 6= 0,2 (2)(1)(1)ncn = Kn + Kn ,9n(2)(2) nc = K .nnn≥1Òàêàÿ ñèñòåìà çàäàåò ðåêóðñèþ, âîññòàíàâëèâàþùóþ âñå êîýôôèöèåíòû ôóíêöèéf1 (q), f2 (q).f0 (q),Çàìå÷àíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
