Диссертация (1137397), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Âìåñòå ñ Òåîðåìîé 4.7 ìû ïîëó÷àåì ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ÷àñòè ïîòåíöèàëà ðîäà0.3.1. Ïîòåíöèàë òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà P16,3,2 .áàçèñ∆0 , ∆−1 , ∆ijêîëüöà∗Horb(P1a1 ,a2 ,a3 )∗Horb(P16,3,2 ) 'MÏóñòüa1 , a2 , a3 ∈ N.Ðàññìîòðèìòàêîé ÷òî:Q[∆0 ]3 ai −1MMQ[∆ij ]MQ[∆−1 ].i=1 j=1Êëàññû∆0è∆−1ñîîòâåòñòâóþò êëàññàì òî÷êè è ãèïåðïëîñêîñòè âÑïàðèâàíèå èìååò âèä:η(∆0 , ∆−1 ) = 1,η(∆ij , ∆kl ) =381δi,k δj+l,ai .aiH ∗ (P1 )ñîîòâåòñòâåííî.ÏóñòüFP16,3,2t0 , t−1 , tij ïîòåíöèàë ðîäà0 îðáèôîëäà P16,3,2 .Ýòî ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ îò10 ïåðåìåííûõñî ñëåäóþùèì ýéëåðîâûì ïîëåì:53X 6−k ∂X 3−k ∂∂1 ∂E = t0+++ t31,t1kt2k∂t0 k=16 ∂t1k k=13 ∂t2k2 ∂t31Èç óñëîâèÿ êâàçèîäíîðîäíîñòè ìû âèäèì, ÷òîÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì ðÿäîì ïîFP16,3,2E · FP16,3,2 = 2FP16,3,2 .çàâèñèò ïîëèíîìèàëüíî îòt0 , tijèexp(t−1 ).Ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû íàïèñàííîé â ïàêåòå Mathematica, ðåàëèçóþùåé Òåîðåìó 4.53FP16,3,2(äîñòóïíà íà [ ]) ìû ïîñ÷èòàëè ïîòåíöèàëòîëüêî äî âòîðîãî ïîðÿäêà ïîexp(t−1 ).äîexp(40t−1 ).Ìû ïðèâîäèì åãî çäåñü äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáÿòñÿ ÿâíûå âû÷èñëåíèÿñ áîëüøåé òî÷íîñòüþ îãðàíè÷åíèÿ ýòîãî ïîòåíöèàëà, à íå âñåé ôóíêöèè.
Íåìíîãî èçìåíÿÿîáîçíà÷åíèÿ ìû çàïèøåì ïîòåíöèàë â ïåðåìåííûõFP16,3,21= t20 t9 + t02t23t2 t4 t1 t5 t6 t7 t28++++126634{t0 , t1 , . . . , t8 , t9 } = {t0 , t1k , t2k , t31 , t−1 }.+t321t41t4+ t1 t2 t3 − 3 + t21 t4 − 836 6288 12961 2111 23t2 t44t64111t2 t3 t4 − t22 t24 − t1 t3 t24 +t3 t4 +−− t22 t3 t5 − t1 t23 t5 − t1 t2 t4 t53672724321296 38880 727236341 31t1 t t5 5t3 t4 t51 2211 2 21+t3 t4 t5 +t2 t3 t24 t5 + 4 −−t1 t5 +t2 t23 t25 +t2 t4 t5 +t1 t3 t4 t253241441296103681444324324325t2 t2 t2 t2 t3 t2t5 t2t1 t2 t35t3 t35t2 t3 t4 t35t1 t24 t3511t3 t34 t35t2 t4t1 t3 t45− 345− 45+ 45 +− 35 −−+− 25 −5184259234560129677767776155529331215552 31104422 44 4552 52 611t3 t4 t5t2 t4 t513t4 t511t2 t3 t5t1 t4 t591t3 t4 t511t3 t513t2 t4 t65++−++−−−18662431104 2239488933120933120 11197440 11197440 16796160773 6t1 t543t3 t4 t5t2 t8541t24 t8517t3 t9591t4 t5−++−−+201553920 235146240 201553920 201553920 2418647040 9674588160809t4 t10809t12t311t6755+−+ 6 − t26 t27 +t6 t47 −2612138803200 344802322022400 18 36648194401111et9 t4 t35 t6 t8 et9 t55 t6 t8+ et9 t1 t6 t8 + et9 t3 t4 t6 t8 + et9 t2 t5 t6 t8 + et9 t24 t5 t6 t8 + et9 t3 t25 t6 t8 ++6672721296155520t93 21111 t9 2 21 t9 2 2e t4 t5 t7 t8+ et9 t1 t27 t8 + et9 t3 t4 t27 t8 + et9 t2 t5 t27 t8 +e t4 t5 t7 t8 +e t3 t5 t7 t8 +636364324327776t9 5 2e t5 t7 t8++ O(e2t9 ).933120−3.2.
Îãðàíè÷åíèå ïîòåíöèàëà ðîäà 0 Òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàP16,3,2 .Ïðåäëîæåíèå 4.12 âìåñòå ñ Òåîðåìîé 4.7, Ïðåäëîæåíèåì 4.9 è Òåîðåìîé 4.10 ïîçâîëÿþòçàïèñàòü â ÿâíîì âèäå ÷àñòü ïîòåíöèàëà ðîäàÏóñòüP1F0 6,3,2 (t)ïåðåìåííûìètα ,ïîòåíöèàëðîäà00îðáèôîëäàòåîðèèñîîòâåòñòâóþùèìè êëàññàì∆αP16,3,2 .ÃðîìîâàÂèòòåíàêàê â Ðàçäåëå 3.1:t = {t0 , t−1 , t11 , t12 , t13 , t14 , t15 , t21 , t22 , t31 }.39îðáèôîëäàP16,3,2ñÐàññìîòðèì ôóíêöèþF 4:P1F 4 (t0 , t−1 , t13 , t31 ) := F0 6,3,2 |t11 =0,t12 =0,t14 =0,t15 =0,t21 =0,t22 =0 .Ïðåäëîæåíèå 4.14. ÔóíêöèÿF 4 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ WDVV è èìååò ñëåäóþùèéÿâíûé âèä:t213 t23111++ t413 f1 (3t−1 ) + t213 t231 f2 (3t−1 )12436181113+ t13 t31 f0 (3t−1 ) +f1 (3t−1 ) + f2 (3t−1 ) t431 .912181F = t20 t−1 + t024Äîêàçàòåëüñòâî.Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëàãàÿ â íîëü îïðåäåëåííûå ïåðåìåííûå íåíóëåâîéñòåïåíè â ôóíêöèè, ÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì WDVV, ìû ïîëó÷àåì ôóíêöèþ, êîòîðàÿ òîæåÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì WDVV.
Èñïîëüçóÿ êâàçèîäíîðîäíîñòü1F = t20 t−1 + t024t213 t231+124P1F0 6,3,2ôóíêöèÿF4èìååò âèä:+ t413 g1 (t−1 ) + t213 t231 g2 (t−1 )+ t13 t331 g3 (3t−1 ) + t31 t313 g4 (t−1 ) + t431 g5 (t−1 ),äëÿ íåêîòîðûõ íåèçâåñòíûõgk (t−1 ).Ïî Òåîðåìå 4.7 ìû èìååì, ÷òî ýòè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ êâàçèìîäóëÿðíûìè ïî ãðóïïåÎäíàêî èç Ïðåäëîæåíèå 4.12 âèäíî, ÷òî ôóíêöèèÏóñòüäëÿq = exp(t−1 ).g3 (t−1 )èg4 (t−1 )ìîäóëÿðíû (âåñàΓ(6).2).Èñïîëüçóÿ Òåîðåìó 4.5 ìû ïîäñ÷èòàëè ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿ â ðÿäF 4: 6q 12 q 24q1121830+++ q + 2q+ O(q ), g2 (q) =+ O(q 30 ),g1 (q) = −2881242 34q 98q 21 13q 27q15g3 (q) =++ 2q +++ O(q 30 ), g4 (q) = 0 + O(q 30 ),33331q 6 5q 1211q 24 418g5 (q) = − +++ 2q +t31 + O(q 30 ).96244Ãðàíè÷íîå ÷èñëî ØòóðìàLNäëÿΓ(6) åñòü: L6 = 4.Ñîãëàñíî Òåîðåìå 4.7 âåñ êàæäîé èç ýòèõôóíêöèé ðàâåí äâóì, ÷òî íàëàãàåò îãðàíè÷åíèå íà ðàçëîæåíèå èç Òåîðåìû 4.10.
Ñðàâíèâàÿêîýôôèöèåíòû ðÿäîâ Ôóðüå ìû ïîëó÷àåì:1f0 (q 3 ) ≡ g3 (q),9g4 (q) ≡ 0.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðàçëîæåíèÿ Ôóðüå ôóíêöèéñ ðàçëîæåíèÿìè â ðÿäf1 (q 3 )/36, f2 (q 3 )/18èg1 , g2 , g5ñ òî÷íîñòüþ äîf1 (q 3 )/12 + f2 (q 3 )/18.q 30Îäíàêî ìû íå ìîæåìïðèìåíèòü çäåñü Ïðåäëîæåíèå 4.9.Ëåììà 4.15. Ðàññìîòðèì ôóíêöèèf˜k (q)òàêèå, ÷òî:g1 (q) = f˜1 (q 3 )/36, g2 (q) = f˜2 (q 3 )/18, g5 (q) = f˜1 (q 3 )/12 + f˜2 (q 3 )/18,40ñîâïàäàþòòîãäà óðàâíåíèå WDVV íàF4çàïèñàííîå ÷åðåçf˜k (q)ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå ÎÄÓ (4.1).Äîêàçàòåëüñòâî.
Ýòî ïîëó÷åíî ïðîñòûìè âû÷èñëåíèÿìè.Äàííàÿ ëåììà çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî Ïðåäëîæåíèÿ 4.14.3.2.1. Èäåÿ Ïðåäëîæåíèÿ 4.14. Äîêàçàòåëüñòâî Ïðåäëîæåíèÿ 4.14 íå âïîëíå ñëåäóåò èäååñàìîãî óòâåðæäåíèÿ.Ðàññìîòðèì äâà îðáèôîëäàX = P12,2,2,2èY = P16,3,2 .Îáà ýòè îðáèôîëäà ìîãóò áûòüïðåäñòàâëåíû êàê ôàêòîðû ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ ïî äåéñòâèþ êîíå÷íîé ãðóïïû:X = [E/Z2 ] ,Ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü òàêæå ôàêòîðñóùåñòâîâàíèå îòîáðàæåíèÿY = [E/Z6 ] .Y = X //Z3 .Åñòåñòâåííî áûëî áû ïðåäïîëîæèòü∗∗f ∗ : Horb(Y) → Horb(X ),êîòîðîå îäíàêî æå íå ìîæåò áûòüèçîìîðôèçìîì. Âìåñòî ýòîãî ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâîHs ⊂ H ∗ (IX )òàêîå, ÷òîHs ∼=f ∗ (H ∗ (IY)).Ïóñòüγ̃k ∈ Hsèγ̃k = f ∗ (γk )äëÿγk ∈ H ∗ (IY).hγ̃1 , .
. . , γ̃n iXn,g,β=nYÐàññìîòðèì êîððåëÿòîðû:evk∗ (γ̃k ). M g,n (X , β) ∈ C.i=1Ìû èìååì:hγ̃1 , . . . , γ̃n iXn,g,β =nYevk∗ (γk ).f∗ M g,n (X , β)i=1Ê ñîæàëåíèþ íåÿñíî, êàê âûãëÿäèò îáðàç âèðòóàëüíîãî ôóíäàìåíòàëüíîãî êëàññà ïîääåéñòâèåì îòîáðàæåíèåÂ÷àñòíîìf∗ñëó÷àå,êîððåëÿòîðîâ, èìåþùèõèç∗Horb(P12,2,2,2 ).(ââèäó ñëîæíîñòè êîíñòðóêöèè ïåðâîãî).îïèñàííîìâ∆0 ,∆−1 , ∆13èïðåäûäóùåì∆31èçðàçäåëå∗Horb(P16,3,2 ),îñìûñëåííîà òàêæåÑëåäóÿ îïèñàííîé âûøå ëîãèêå, ðàññìàòðèâàÿðàññìîòðåíèå˜ 0, ∆˜ −1 , ∆˜ 1, ∆˜ 2, ∆˜ 3, ∆˜4∆Y = X //Z3ìû ìîæåìïðåäïîëîæèòü ñâÿçü ìåæäó êîððåëÿòîðàìè:˜ 0 , ∆−1 ↔ 3∆˜ −1∆0 ↔ ∆è˜ 1 , ∆13 ↔ √1 ∆˜2 + ∆˜3 + ∆˜4 .∆31 ↔ ∆311òàê êàê òî÷êà ïîðÿäêà 6 íà P6,3,2 ñîáèðàåòñÿ èç 3 òðåõ òî÷åê ïîðÿäêà 2 íà P2,2,2,2êàê ÷åòâåðòàÿ îòîáðàæàåòñÿ â òî÷êó ïîðÿäêà412íàP16,3,2 .â òî âðåìÿÃËÀÂÀ 5Ôðîáåíèóñîâû ñòðóêòóðû îðáèôîëäîâûõ À è Á ìîäåëåéËàíäàóÃèíçáóðãàÂðàáîòå16][Ôàí-Äæàðâèñ-Ðóàíïîñòðîèëèêîãîìîëîãè÷åñêóþñîîòâåòñòâóþùóþ îðáèôîëäîâîé Àìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãà.òåîðèþïîëÿΛg,n ,Òàêàÿ êîãîìîëîãè÷åñêàÿòåîðèÿ ïîëÿ ÷àñòî íàçûâàåòñÿ ñîêðàùåííî FJRWòåîðèåé ïî ôàìèëèÿì àâòîðîâ, ãäå Wñîîòâåòñòâóåò Ý.Âèòòåíó, êîòîðûé ïðåäïîëîæèë ñóùåñòâîâàíèå òàêîé êîãîìîëîãè÷åñêîéòåîðèè ïîëÿ.
Êàê è òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà, òåîðèÿ FJRW çàäàåò íåêîòîðîå ôðîáåíèóñîâîìíîãîîáðàçèå (îãðàíè÷åíèåì íà ðîä íîëü).Îäíàêî òàêîå ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå íåÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì âîçìîæíûì, âîçíèêàþùèì êàê îðáèôîëäîâàÿ Àìîäåëü, à ñàìàòåîðèÿ FRJW íå îïðåäåëåíà â äîñòàòî÷íîé îáùíîñòè.Äðóãèì íåäîñòàòêîì òåîðèè FJRWÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî åå ñëîæíî âû÷èñëèòü ÿâíî.ÍàíàñòîÿùèéñîîòâåòñòâóþùåéìîìåíòíåîðáèôîëäîâîâñóùåñòâóåòÁìîäåëèîïðåäåëåíèÿôðîáåíèóñîâîéËàíäàóÃèíçáóðãà.ýòîì íàïðàâëåíèè áûëà ñäåëàíà Ð.Êàóôìàíîì è Ì.Êðàâèòöîì â [ñòðóêòóðû,Íåêîòîðàÿ24, 26],ðàáîòàâêîòîðûå äàëèîïðåäåëåíèå ôðîáåíèóñîâîé àëãåáðû â íóëå îðáèôîëäîâîé Áìîäåëè.
Òî åñòü òîëüêî ëèøüêóáè÷åñêóþ ÷àñòü ïî ïåðåìåííûìt âñåãî ïîòåíöèàëà F(t) ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðû.Ìû ïðåäëàãàåì íèæå àêñèîìàòèçàöèþ ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé îðáèôîëäîâûõ Àè Á ìîäåëåé ËàíäàóÃèíçáóðãà.Ïî îòíîøåíèþ ê ðàáîòàì Êàóôìàíà è Êðàâèòöà ìûðàññìàòðèâàåì òî æå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé,îäíàêî ìû íå èñïîëüçóåì êîíñòðóêöèþôðîáåíèóñîâîé àëãåáðû, ïðåäëîæåííîé âûøå óêàçàííûìè àâòîðàìè. Ïî îòíîøåíèþ â ðàáîòåÔàíÄæàðâèñÐóàí ìû ðàññìàòðèâàåì áîëåå îáùèé êëàññ ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé.Âñå àêñèîìû, êîòîðûå ìû ïðèâîäèì äëÿ íàøåé Àìîäåëè ëèáî óäîâëåòâîðÿþòñÿ, ëèáîïðåäïîëîæèòåëüíî óäîâëåòâîðÿþòñÿ âñÿêîé òåîðèåé FJRW. Îäíàêî æå â íàøåé ñëó÷àå ýòèõàêñèîì òðè, â òî âðåìÿ êàê àêñèîìû òåîðèè FJRW çàíèìàåò íåñêîëüêî ñòðàíèö.Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåíWçàäàåò îáðàòèìóþ îñîáåííîñòü.Ââåä¼ìîïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
