Диссертация (1137397), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïðèëîæåíèå Á â [Ïëîñêèå ñòðóêòóðû Ñàèòî.Ïóñòü: CNW→ Cîïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàòWîòîáðàæàåò íà÷àëî êîîðäèíàòòî÷êå0 ∈ C.CNâ íóëü0 ∈ C0 ∈ CN .è ÷åðåçÁóäåì ïîëàãàòü, ÷òîX0 := {W = 0} ⊂ (CN , 0)êîîðäèíàò èìååò èçîëèðîâàííóþ îñîáóþ òî÷êó. Îáîçíà÷èì ÷åðåçCNôóíêöèÿ,è èìååò èçîëèðîâàííóþ îñîáåííîñòü âÄðóãèìè ñëîâàìè, ðîñòîê ãèïåðïîâåðõíîñòèêîîðäèíàòû âãîëîìîðôíàÿâ íà÷àëåx = (x1 , . . . , xN ) íåêîòîðûåC{x} êîëüöî ñõîäÿùèõñÿ ñòåïåííûõ ðÿäîâ îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn .Ðàññìîòðèì ëîêàëüíóþ àëãåáðó îñîáåííîñòèWLW := C{x1 , . . .
, xN }/(∂x1 W, . . . , ∂xN W ).Ïóñòüµ := dim LW ÷èñëî Ìèëíîðà îñîáåííîñòèW.Òîò ôàêò, ÷òî ôóíêöèÿîïðåäåëÿåò èçîëèðîâàííóþ îñîáåííîñòü, ýêâèâàëåíòåí êîíå÷íîñòè ÷èñëàðàçâåðòêîé îñîáåííîñòèWíàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿµ.W (x)ÓíèâåðñàëüíîéF : CN × Cµ → C îïðåäåëåííàÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì:F (x, s) := W (x) +µXsk φk (x),k=1ãäåφi (x)îáðàçóþò áàçèñ ëîêàëüíîé àëãåáðûLW .Ìû òàêæå ïîëàãàåì, ÷òîφ1 (x)ÿâëÿåòñÿåäèíèöåé ëîêàëüíîé àëãåáðû.Ïðåäïîëîæèì,÷òî ôóíêöèÿðàöèîíàëüíûå ÷èñëàW (x)q1 , . . .
, qN ∈ Q>0 ,êâàçèîäíîðîäíà.Ýòî îçíà÷àåò,òàêèå, ÷òî:W (λq1 x1 , . . . , λqN xN ) = λW (x),7∀λ ∈ C\{0}.÷òî ñóùåñòâóþòÏðèïèøåì ïåðåìåííîédeg(φ) :=Pai q i .xiâåñqi , à âñÿêîìó ìîíîìó φ(x) = xa11 . . . xaNN(ðàöèîíàëüíóþ) ñòåïåíü ëîêàëüíîì êîëüöå êâàçèîäíîðîäíîé ôóíêöèè ìîæíî âûáðàòü áàçèñ,ñîñòîÿùèé èç ìîíîìîâ, è ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü íèæå, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ ðàçâåðòêàïîñòðîåíà ïî òàêîìó áàçèñó. Ïðèïèøåì âåñà ïåðåìåííûìskF (x, s)ïî ïðàâèëódeg sk := 1 − deg φk (x).ÏóñòüS ⊂ CµèB ⊂ CNíåêîòîðûå ïîëíîðàçìåðíûå øàðû äîñòàòî÷íî ìàëîãî ðàäèóñà ñöåíòðàìè â íà÷àëå êîîðäèíàò.
Ìû âûáèðàåì ðàäèóñ øàðàîäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êóðîñòîê ãèïåðïîâåðõíîñòèx = 0 è ðàäèóñ øàðà Sîñîáåííîñòè. Ïîëîæèìêàê ðîñòîê ôóíêöèè âX := B × S .(X, 0).X0 .Cèìååò òîëüêîs∈Sèìååò òîëüêî èçîëèðîâàííûå îñîáûåÁóäåì íàçûâàòü øàðSáàçîéðàçâåðòêèFÎïðåäåëèì ïðîåêöèþ:(x, s) → (s).
êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî ðàçâåðòêè· · · = ∂xN F (x, s) = 0}.F (x, 0) äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðàçâåðòêóp : X → S,Ïóñòüòàê, ÷òîòàê, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ôèêñèðîâàííîãîXs := {F (x, s) = 0} ∈ (CN , 0)òî÷êè, ïîëó÷åííûå äåôîðìàöèåé îñîáåííîñòèBÒîãäà ìíîæåñòâîCF,ò.å.C := {(x, s) ∈ B × S | ∂x1 F (x, s) =ÿâëÿåòñÿ íîñèòåëåì ïó÷êàOC := OX,0 /(∂x1 F, . . . , ∂xN F ).Ïó÷îêp∗ O Cíàäåëåí åñòåñòâåííûì ïîñëîéíûì óìíîæåíèåì.φ(x, s), ψ(x, s) ∈ OC(∂x1 F, . .
. , ∂xN F ).îáîçíà÷èì ÷åðåçφ, ψ ∈ p∗ OCÒîãäà óìíîæåíèå íàp ∗ OCÄëÿ âñÿêèõ äâóõ ýëåìåíòîâñîîòâåòñòâóþùèå êëàññû âû÷åòîâ ïî ìîäóëþèìååò âèä:φ ◦s ψ := φ(x, s)ψ(x, s)mod(∂x1 F, . . . , ∂xN F ).Ââèäó óíèâåðñàëüíîñòè ðàçâåðòêè èìååòñÿ ñëåäóþùèé èçîìîðôèçì:TS,0 ∼= p∗ O C ,(2.3)ãäåX̃ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì, êàñàòåëüíûì êX → X̃ · F,B × S,òàêèì, ÷òîýòîãî èçîìîðôèçìà òàêæå è êàñàòåëüíûå ïðîñòðàíñòâàîò òî÷êès ∈ S.Ts Sp(X̃) = X ∈ TS,0 .ïîëó÷àþò óìíîæåíèå, çàâèñÿùååÝòî óìíîæåíèå ìû òàêæå áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîìÇàôèêñèðóåì ôîðìó îáúåìàω = g(s, x)dx1 . . . dxN ;Ñ ïîìîùüþ◦s .ýòà ôîðìà çàäàåò ñïàðèâàíèåηíàTSñëåäóþùèì îáðàçîì:1√ηkl (s) :=(2π −1)NãäåΓýòî ïîäìíîæåñòâî òî÷åê âäîñòàòî÷íî ìàëûõ.X,ZΓ∂ sk F ∂sl Fω,∂x1 F .
. . ∂xN Fçàäàííîå óðàâíåíèÿìè|∂x1 F | = · · · = |∂xN F | = äëÿÒàêîå ñïàðèâàíèå íàçûâàåòñÿ ðåçèäóàëüíûì ñïàðèâàíèåì è íå çàâèñèò8îò âûáîðà ïàðàìåòðà.Îïðåäåëåííîå òàêèì îáðàçîì ñïàðèâàíèå ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì,îäíàêî åãî ñâîéñòâà ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò âûáîðà ôîðìû îáúåìà.Òåîðåìà 2.1 (Ê. Ñàèòî).
Äëÿ âñÿêîé ãèïåðïîâåðõíîñòíîé êâàçèîäíîðîäíîé îñîáåííîñòèñóùåñòâóåò ôîðìà îáúåìàÔîðìàîáúåìà,ζ(s, x)dx,òàêàÿ, ÷òî ðåçèäóàëüíîå ñïàðèâàíèå ïëîñêî.ñóùåñòâîâàíèåêîòîðîéãàðàíòèðóåòñÿòåîðåìîé,íàçûâàåòñÿïðèìèòèâíîé ôîðìîé.Ñóùåñòâîâàíèåïðèìèòèâíîéôîðìûäëÿâñÿêîéèçîëèðîâàííîé42]îáÿçàòåëüíî êâàçèîäíîðîäíîé) áûëî äîêàçàíî Ì. Ñàèòî â [19]),èçëîæåíèå â [[39, 40],îäíàêî êîíñòðóêöèÿ ïðèìèòèâíîé ôîðìû, ïðåäëîæåííàÿ Ê.Ñàèòî âSôîðì Ñàèòî ïîçâîëÿåò ââåñòè íà áàçå ðàçâåðòêè2.2(Òåîðåìà7.5âîñîáåííîñòè, çàäàâàåìîé ôóíêöèåéóìíîæåíèå◦t(íå(ñì. òàêæå áîëåå ïîäðîáíîåìîæåò áûòü ïðèìåíåíà ëèøü â êâàçèîäíîðîäíîì ñëó÷àå.Òåîðåìàîñîáåííîñòè41]).[Sñòðóêòóðó ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ.âñÿêîéW : CN → C,è ðåçèäóàëüíîå ñïàðèâàíèåíà áàçîâîì ïðîñòðàíñòâåÄëÿηèçîëèðîâàííîéEêâàçèîäíîðîäíîéζ,è å¼ ïðèìèòèâíîé ôîðìû Ñàèòîçàäàþò ñòðóêòóðó ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿóíèâåðñàëüíîé ðàçâåðòêè (ðàçìåðíîñòèÝéëåðîâî âåêòîðíîå ïîëåÒåîðèÿ ïðèìèòèâíûõµ = dim S ).ýòîé ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿðàâåíñòâîì:(E(F )) |C = F |C .Ïî ñðàâíåíèþ ñ ôðîáåíèóñîâûìè ñòðóêòóðàìè, ïîñòðîåííûìè ïî òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà,áîëüøèì ïðåèìóùåñòâîì ñòðóêòóðû ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ, ïîñòðîåííîãî íà áàçîâîìïðîñòðàíñòâå ðàçâåðòêè îñîáåííîñòè, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíà îïðåäåëåíà äëÿ âñÿêîãîâûáîðîì ïîäõîäÿùåé ïðèìèòèâíîé ôîðìû â òî÷êås.s ∈ SÏîýòîìó ôðîáåíèóñîâû ñòðóêòóðûÑàèòî íàçûâàþòñÿ ãëîáàëüíûì (ìû ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî ñâîéñòâî íà ïðèìåðå ïðîñòûõýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé â äàëüíåéøåì).Òàêîå ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ óíèêàëüíûì äëÿäàííûõ ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð è íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ äðóãèõ ñòàíäàðòíûõ ïðèìåðîâôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé, òàêèõ, íàïðèìåð, êàê òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà.Òåîðèÿ ÃðîìîâàÂèòòåíà äëÿ îðáèôîëäîâ.òåîðèþ ÃðîìîâàÂèòòåíà äëÿ îðáèôîëäàâèäàíàYX = Y /G,ãäåYX.
ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, àMg,n (X , β),îòìå÷åííûìè òî÷êàìè âX,1, 9]àâòîðû îïðåäåëèëè äàííîé ðàáîòå ìû îãðàíè÷èìñÿ îðáèôîëäàìèýôôåêòèâíî. Ôèêñèðóåì íåêîòîðûé êëàññïðîñòðàíñòâî ìîäóëåé ðàáîòå [G êîíå÷íàÿ ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿβ ∈ H2 (X , Z).1, 9] [àâòîðû îïðåäåëÿþòñîñòîÿùåå èç ñòàáèëüíûõ îòîáðàæåíèé êðèâûõ ðîäàèìåþùèõ ñòåïåíüβ.9gñnÎñíîâíûì îáúåêòîì â îðáèôîëäîâîé òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà ÿâëÿåòñÿ ñòåê èíåðöèèîðáèôîëäàX.Ðàññìîòðèì äèàãîíàëüíîå îòîáðàæåíèåX → X × X.Ñòåê èíåðöèèIXîïðåäåëÿåòñÿ êàê ñëåäóþùåå ïîñëîéíîå ïðîèçâåäåíèåì:IX := X ×X ×X X .Äðóãèìè ñëîâàìè, òî÷êàìè ìíîæåñòâàX = Y /G,ñëó÷àå îðáèôîëäîâIXÿâëÿþòñÿ ïàðû(x, σ),ãäåx∈Xèσ ∈ Aut(x).Âñòåê èíåðöèè èìååò ïðîñòóþ ôîðìó:aIX =Y g /C(g),(g)∈G∗ãäåG∗G ìíîæåñòâî âñåõ êëàññîâ ñîïðÿæåííîñòè ãðóïïûñîñòîÿùàÿ èç âñåõ ýëåìåíòîâ, êîììóòèðóþùèõ ññ äåéñòâèåìhgi,g.èC(g) ïîäãðóïïà âÄåéñòâèå ïîäãðóïïûòàê êàê ïîñëåäíåå äåéñòâóåò òðèâèàëüíî íàC(g) := C(g)/hgi,èIX :=aY g.C(g)G,êîììóòèðóåòÐàññìîòðèì:Y g /C(g).(g)Ìû áóäåì íàçûâàòüIXñòðîãèì ñòåêîì èíåðöèè îðáèôîëäàX.Îïðåäåëåíèå.
Êîëüöîì êîãîìîëîãèé ×åíàÐóàíà îðáèôîëäàXíàçûâàåòñÿ êîëüöî∗Horb(X ) := H ∗ (IX , Q).Äëÿ êàæäîãîiâåäåì îòîáðàæåíèåîòîáðàæåíèþ êðèâîé ñnevi : Mg,n (X , β) → IX ,îòìå÷åííûìè òî÷êàìè âX,ñîïîñòàâëÿþùåå ñòàáèëüíîìóåãî çíà÷åíèå âiîéîòìå÷åííîé òî÷êå,i = 1, . . . , n.Ïóñòü∗γi1 , . . .
, γik ∈ Horb(X )gòî÷å÷íûå êîððåëÿòîðû ðîäà ýëåìåíòû êîëüöà êîãîìîëîãèé ×åíàÐóàíà. Îïðåäåëèìòåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàhγi1 , . . . , γik iXg,k,β :=Çäåñü[Mg,k (X , β)]virïðîñòðàíñòâàZ[Mg,k (X ,β)]íåêîòîðûéìîäóëåéñòàáèëüíûõvirXkñëåäóþùèì îáðàçîì:ev1∗ γi1 ∧ · · · ∧ evk∗ γik .ôèêñèðîâàííûéîòîáðàæåíèé,ñïåöèàëüíûéêëàññíàçûâàåìûéãîìîëîãèéâèðòóàëüíûìôóíäàìåíòàëüíûì êëàññîì.Ñãðóïïèðóåì îïðåäåëåííûå òàêèì îáðàçîì ÷èñëà â ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ, íàçûâàåìóþïîòåíöèàëîì ðîäàáàçèñîì êîëüöàgòåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà.∗Horb(X , Q).ïàðàìåòðàìè. Ïîòåíöèàë ðîäàÏîëîæèìgt :=Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òîPµi=1γi ti ,ãäåti{γi }µi=1ÿâëÿþòñÿ ôîðìàëüíûìèÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé:FgX (t1 , .
. . , tµ ) :=X 1ht, . . . , tiXg,n,β .n!n,β10ÿâëÿåòñÿÍàèáîëåå âàæíûì äëÿ íàñ áóäåò ïîòåíöèàë ðîäà íîëü. Ñëåäñòâèåì òîïîëîãè÷åñêèõ ñâîéñòâïðîñòðàíñòâà ìîäóëåé êðèâûõ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå âàæíîå ïðåäëîæåíèå.Ïðåäëîæåíèå2.31, 32]).Ïîòåíöèàë([ðîäàíîëüF0Xôîðìàëüíîãî ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ êîíôîðìíîé ðàçìåðíîñòèèçîìîðôíîéîïðåäåëÿåòñòðóêòóðódim(X ) ñ àëãåáðîé â íóëå,∗Horb(X ).Îáîçíà÷åíèå 2.2. Ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàáóäåì îáîçíà÷àòüMXGWèëè ïðîñòîMX .Äâîéñòâåííîñòü ÁåðãëþíäàÕóáøà.çàâèñÿùåãî îò ïåðåìåííûõx1 , . . .
, x N ,Äëÿ âñÿêîãî êâàçèîäíîðîäíîãî ìíîãî÷ëåíàîïðåäåëèì ìàòðèöóW (x1 , . . . , xN ) =MXaii=1Ñ ïîìîùüþ ìàòðèöûRÎïðåäåëåíèå. Êâàçèîäíîðîäíûé ìíîãî÷ëåíìíîãî÷ëåíW T (x1 , . . . , xN ),RWTWT,ñëåäóÿ ÁåðãëþíäóÕóáøó.çàäàåò îáðàòèìóþ îñîáåííîñòü åñëèQ.Êâàçèîäíîðîäíûéîïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîìíàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííûì êèrxj ij .j=1WNXi=1WW,ðàâåíñòâîì:ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíîé è îáðàòèìîé íàäW T (x1 , . .
. , xM ) :=îáà ìíîãî÷ëåíàNYR = {rij }îïðåäåëèì äâîéñòâåííûé ìíîãî÷ëåíñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöàXWaiNYrxj ji ,j=1ïî ÁåðãëþíäóÕóáøó. Ìû òàêæå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òîçàäàþò èçîëèðîâàííûå îñîáåííîñòè â íà÷àëå êîîðäèíàò0 ∈ C.Êîíñòðóêöèÿ ÁåðãëþíäàÕóáøà íå ãàðàíòèðóåò êàêèõ áû òî íè áûëî õîðîøèõ ñâîéñòâäâîéñòâåííîãîìíîãî÷ëåíàWT,äàæååñëèèñõîäíûéìíîãî÷ëåíWîáëàäàåòýòèìèñâîéñòâàìè.Ñèììåòðèè îáðàòèìûõ îñîáåííîñòåé.òîëüêî êâàçèîäíîðîäíûå ìíîãî÷ëåíûW,Âäàëüíåéøåììûáóäåìðàññìàòðèâàòüçàäàþùèå îáðàòèìûå îñîáåííîñòè.Îïðåäåëåíèå.•Ìàêñèìàëüíàÿ äèàãîíàëüíàÿ ãðóïïà ñèììåòðèé ìíîãî÷ëåíàW ýòî ãðóïïàGW := (α1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
