Диссертация (1137390), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Пусть sup∈ | () − ℎ()| < > 0. Тогдаравномерной топологии наторого фиксированного2 для неко­sup | Pr 1 ( − ℎ)()| =∈∫︁= sup | () − ℎ() +(( − ℎ) ∘ )()()| ≤ ∫︁≤ sup | () − ℎ()| + sup | ( − ℎ)(())()| ≤∈∈∫︁∫︁≤ + sup |( − ℎ)(())|() ≤ + sup() = .2 ∈ 2 ∈ 2∈43Таким образом, непрерывность доказана.Очевидно, что для любогоℎ ∈ () Pr 1 (ℎ) = ℎ −∫︀ (∘ )() ∈ 1 .

Чтобы доказать, что Pr 1 — проекция, нам осталось проверить следующее:Pr 1 (ℎ) = ℎ для каждого ℎ ∈ 1 . Если ℎ = ∘ 0 − , тоPr 1 ( ∘ 0 − ) =∫︁∫︁= ∘ 0 − −( ∘ 0 ∘ )() +Если жеℎ=−∫︀ (∘ )(),( ∘ )() = ∘ 0 − .то∫︁Pr 1 ( −( ∘ )()) =∫︁∫︁=−( ∘ )() −( ∘ )()+)︂∫︁ (︂∫︁∫︁+( ∘ )() ∘ )() = ∘ −( ∘ )().Используя линейность, мы получаем, чтоPr 1 = Idна1 .Из непрерывностиследует, что оператор единственным образом продолжается с подпространствана его замыкание, так чтоPr 1 = Id на 1 , что завершает доказательство.Соотношение двойственности для инвариантной задачи может быть по­лучено дедуктивно, подстановкой соответствующего подпространствавенство 1.12. Но в случае компактной группыв ра­двойственность может бытьсформулирована в более удобной форме.Обозначим черезℎ̂ := Pr 1 (ℎ)непрерывную проекциюℎ ∈ ()на 1,∫︁ℎ̄ := ( − Pr 1 )(ℎ) = ℎ − ℎ̂ =(ℎ ∘ )(). будет образом () относительно этой проекции.

Также ясно, что () = 1 ⊕ в смысле прямой суммы банаховых пространств. Подобныеобъекты могут быть определены и для функций ∈ ( ) или ∈ . Рольподпространства 1 в этих случаях будет играть равномерное замыкание под­пространств 1 ∩ ( ) и 1 ∩ соответственно.ПустьТеорема 2.11.Для инвариантной задачи с компактной группой симметрий, функцией стоимости ∈ () и инвариантными маргинальными мерами44верна следующая формулировка утверждения о двойственности:(︃∫︁inf() = sup∈Πгде ≤¯)︃ ∫︁∑︁ ()= sup(︃ ∫︁∑︁¯≤¯=1)︃¯ () ,=1⨁︀, ¯ ∈ = =1 ( ).Доказательство.

Из 1.12 мы получаем, что:∫︁inf = sup∈Πгде ∫︁∑︁ +≤=1 ( ) . ∈ , ∈ . ∫︁∑︁sup +≤=1 ( ) =(︃= sup,)︃ ∫︁∑︁=1 ( ) : ¯ + ˆ + ≤ ¯ + ˆ =(︃= sup¯,^, ∫︁∑︁=1)︃ ( ) : ¯ ≤ ¯ + (ˆ − − ˆ) . 1 -составляющейСледовательно ˜ :=¯() ≤ ¯() + ˜()Заметим, что максимизируемый функционал не зависит от , так что мы можем выбирать ˆ произвольным образом.ˆ − ˆ − ˆ — произвольная функция из 1 . Неравенствовыполняется поточечно, поэтому, воздействуя на него произвольным элементом ∈ ,мы получаем:(¯ ∘ )() ≤ (¯ ∘ + ˜ ∘ )() ⇐⇒ ¯() ≤ (¯ + ˜ ∘ ) ()для каждого фиксированного ∈ .Таким образом,(︂)︂¯() ≤ (¯ + ˜)() ⇐⇒ ¯() ≤ ¯ + inf (˜ ∘ ) ().∈Из определенияной точки.1следует, чтоДля элементов1inf ∈ (˜ ∘ )() ≤ 0для каждой фиксирован­это очевидно, и, так как равномерная сходи­мость влечет поточечную, это также верно для элементов замыкания.

Следова­45˜ ≡ 0. И, наконец, мы доказываем утвержде­тельно, супремум достигается приние:(︃sup¯,^,)︃ ∫︁∑︁=1 ( ) : ¯ ≤ ¯ + (ˆ − − ˆ)== sup(︃ ∫︁∑︁¯,^, ( ) : ¯ ≤ ¯ + inf ((ˆ − − ˆ) ∘ )∈=1= sup)︃(︃ ∫︁∑︁¯,^= sup)︃ ( ) : ¯ ≤ ¯ + inf (ˆ ∘ )∈=1(︃ ∫︁∑︁¯,^==1=)︃ ( ) : ¯ ≤ ¯ + ˆ =(︃= sup¯ ∫︁∑︁)︃ ( ) : ¯ ≤ ¯ .=1Заметим, что в случае инвариантной функции стоимости (()для любых= (()) ∈ , ∈ ) инвариантная двойственная задача совпадает с двой­ственной задачей для случая без дополнительных ограничений. Действительно,еслиинвариантна, то¯ = и{︂∫︁inf}︂= sup∈Π () ≤{︃ ∫︁∑︁}︃ .=1Известно (см., например, теорему 2.1.1 в [56]), что максимум в двойственнойзадаче для случая без ограничений достигается на некотором наборе функций.Эти функции инвариантны и являются максимизирующими для двойственнойзадачи с ограничением инвариантности.Следствие 2.12.инвариантны относительно действия{︂∫︁inf∈Π () игруппы ,Если функция стоимости}︂= sup ≤(︃ ∫︁∑︁=1все маргинальные мерыто)︃ {︂∫︁= inf∈Π()}︂46и решение инвариантной двойственной задачи совпадает решением классиче­ской двойственной задачи Канторовича.2.3ПустьИнвариантная задача Монжа — польскоепространство,действует непрерывно на , , —инвариантные борелевские вероятностные распределения.

Измеримое отобра­жение :→называется инвариантным относительно,если ∘ = ∘ , ∀ ∈ . называется транспортным, если # = , т.е. отображаетраспределение в распределение . Обозначим множество всех инвариантныхтранспортных отображений через Trans (,). Инвариантная задача МонжаОтображениеформулируется следующим образом:∫︁(, ()) → inf , ∈ Trans (,),где : × → R — некотораяизмеримая функция стоимости.Задача Монжа очень тесно связана с задачей Канторовича.

ПустьTrans (,). ∈Тогда можно определить вероятностное распределение = (, )# ,(2.5)являющееся инвариантным транспортным планом с маргиналами, = ∘ −1 .Ясно, что∫︁∫︁(, ()) =(,),×и, значит, инфимум в задаче Канторовича априори не больше инфимума в за­даче Монжа. В общем случае, однако, решение инвариантной задачи Канторо­вича может не являться решением инвариантной задачи Монжа.

Тем не менее,подобное верно в некоторых ситуациях.47Пример 2.13. Рассмотрим группу ства{1, · · · , },всех возможных перестановок множе­которая действует наRследующим образом: () = ((1) , (2) , · · · , () ), ∈ . ⊂ — некоторая подгруппа, обладающая тем свойством,каждой пары , существует элемент ∈ , такой что () = .Пустьчто дляНапомним известный факт о классической двойственности Канторови­ча вR (см, например, главу 2.4 в [59]). Супремум двойственного функционала∫︁{︁∫︁}︁sup() + (), () + () ≤ (,),(0 (), 0 ()), еслипринадлежит классу (,).достигается на паре интегрируемых случайных величин(,) ограничена снизу и2В случае (,) = || − || функцию 0 называют потенциалом Канторовича.функция стоимостиПотенциал определяет транспортное отображение = ∇0 ,которое оказывается решением соответствующей задачи Монжа.Предположим, что оба маргинала инвариантны относительно дей­ствия группы.При дополнительном предположении офункции стоимости(например, если = | − |2 )-инвариантностиможно показать,что решение классической двойственной задачи Канторовича,-инвариантно: 0 = 0 ∘ ∈ (см.

= ∇ имеетдля любого элементаСледовательно, оптимальная транспортировка0 ,также[51], [41]).следующиекоммутативные свойства: = * ( ∘ ) = −1 ∘ ∘ ,или, эквивалентно, ∘ = ∘ .Как и в случае инвариантной задачи Канторовича, в инвариантной задачеМонжа существует взаимосвязь между понятиями оптимальности и эргодично­сти решения. Например, из определения эргодичности легко следует, что не48существует взаимно-однозначного транспортного отображенияго эргодическое вероятностное распределениераспределение,переводяще­ в неэргодическое вероятностное.Естественный вопрос: “что можно сказать об оптимальной транспортиров­ке между двумя эргодическими вероятностными распределениями?”.Предложение 2.14.Пусть( )# = ,распределениеносительно диагонального действия группыинвариантно от­и эргодично, распределениеинвариантно и его носитель сосредоточен на графике некоторого отображе­ния : →.ТогдаДоказательство.

Пустьэргодично.не эргодично. Тогда существует нетривиальная вы­пуклая комбинация двух инвариантных вероятностных распределений: = 1 + (1 − )21 ̸= 2 , ⊂ (0,1) и 1 ,2 инвариантны. Значит, можно представить в виде: = 1 ∘ −1 + (1 − )2 ∘ −1 . Остается проверить, что 1 = 1 ∘ −1 и 2 =2 ∘ −1 инвариантны и различны.

Заметим, что 1 , 2 абсолютно непрерывныотносительно и также лежат на графике отображения .гдеСначала проверим инвариантность. Для любого измеримого подмноже­ства ⊂ , ∈ :1 ( −1 ) = 1 ( −1 ( −1 )) = 1 ({(, ) : () ∈ }) == 1 ({(, ) : ((),()) ∈ −1 ()}) == 1 ( −1 ( −1 ())) = 1 ( −1 ()) = 1 ().Аналогичным рассуждением доказывается инвариантность2 .1 и 2 не совпадают. Пусть — произ­вольное измеримое подмножество × , = { : (, ) ∈ } ⊂ измеримокак проекция измеримого множества. Предположим, что 1 = 2 . Тогда онидолжны совпадать на каждом измеримом множестве ∈ , следовательно:Следующим шагом проверим, что1 () = 1 ( ∩ {(, )}) = 1 ({(, ) : ∈ }) = 1 () == 2 () = 2 ({(, ) : ∈ }) = 2 ( ∩ {(, )}) = 2 ().49Этот факт противоречит выбору1 ,2 ,Мы показали, что распределениеследовательно1 ̸= 2 .может быть представлено как выпук­лая комбинация двух различных инвариантных вероятностных распределений,а, значит, оно не эргодично.

Это противоречие доказывает утверждение.Вглаве 4 диссертации мы подробно рассматриваем пример инвариантнойзадачи Монжа на бесконечномерных пространствах (например, на2.4RN ).Инвариантное расстояние КанторовичаНапомним определениеОпределение 2.15.Пусть -расстоянияКанторовича.(,) — метрическийкомпакт,() — множе­ство всех борелевских (= радоновских) вероятностных распределений на нем. ∈ [1,∞) соответствующая -метрика Канторо­ : () × () → R≥0 есть функция расстояния, определяемая фор­Тогда для всякого числавичамулой (,) :=)︂ 1}︁{︁(︂∫︁: ∈ ( × ), Pr1 () = , Pr2 () = .inf (, )Обозначим через ()множество борелевских вероятностных распре­делений, инвариантных относительно,а черезтранспортных планов, инвариантных относительнона × .(2.6) ( × ) — множестводиагонального действия В нашей ситуации естественно рассмотреть следующий аналог -расстоянийКанторовича на (): (,) :={︃(︂∫︁}︃)︂ 1inf (, ): ∈ ( × ), Pr1 () = , Pr2 () = .Известно (однако это нетривиальный факт), что в случае, когда метрикариантна относительно действияZ, функция (2.7) инва­совпадает с классическим рас­50стоянием Канторовичана ()(см.

Характеристики

Список файлов диссертации