Автореферат (1137389)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиЗаев Данила АндреевичЗАДАЧА МОНЖА–КАНТОРОВИЧА СЛИНЕЙНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИСпециальность 01.01.05 —Теория вероятностей и математическая статистика(физико-математические науки)Авторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2017Общая характеристика работыАктуальность темы и степень ее разработанности.ЗадачаМон­жа – Канторовича, или задача об оптимальной транспортировке вероятностных мер, впоследние два десятилетия пользуется большим вниманием специалистов из различныхобластей математики: теории вероятностей, анализа, геометрии, теории динамических си­стем.

Помимо чисто теоретических задач, возникающих на стыке различных областей ма­тематики, развитие теории Монжа – Канторовича стимулируется многочисленными прило­жениями, включающими модели статистической физики, финансовых рынков, динамикижидкостей. Кроме того, задача представляет заметный интерес для экономических и тех­нических приложений.Базовые результаты транспортной теории были получены Л.В. Канторовичем в1940-е годы. Задача оптимальной транспортировки интенсивно развивалась во второйполовине XX – начале XXI века в работах В.Н.

Судакова, С. Виллани, Л. Амброзио,А.М. Вершика и других крупных ученых. Современная формулировка (которую уместно1называть «задачей Канторовича») была предложена Канторовичем . Он рассмотрел зада­чу нахождения вероятностного распределения на прямом произведении двух пространствс фиксированными проекциями (маргиналами), минимизирующего некоторый линейныйфункционал. Используя линейность задачи и свои результаты в теории линейного про­граммирования, Канторович нашел достаточные условия существования решения и сфор­мулировал фундаментальный принцип двойственности.Важно отметить, что рассматриваемая Канторовичем задача тесно связана с клас­сической (нелинейной) задачей о перемещении масс, предложенной Г. Монжем2в 1781году (задача Монжа): имеются куча песка и яма одинаковых объемов.

Как засыпать пес­ком яму, потратив наименьшие усилия на транспортировку массы? В формулировке Кан­торовича фиксированные маргиналы — распределение куч песка и ям на плоскости, аоптимальное вероятностное распределение — обобщение понятия транспортировки, назы­ваемое транспортным планом. Известно, что наRв довольно общей ситуации решениезадачи Канторовича является решением в смысле Монжа: оно сосредоточено на графикенекоторого отображения.В современных работах задача Монжа – Канторовича обычно рассматривается ввесьма общей постановке: пространства, на которых определены маргинальные распреде­ления, предполагаются польскими (полными сепарабельными метрическими), а функциястоимости, задающая критерий оптимальности — полунепрерывной снизу или даже боре­1 Канторович2 Monge1781.Л.

В.О перемещении масс // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2004. Т. 312, № XI. С. 11—14.G. Mémoire sur la théorie des déblais et de remblais // Mémoires de Mathématique et de Physique.33левской (см., например, работу В.Л. Левина и А.А. Милютина , а также обзор В.И. Бога­4чева и А.В. Колесникова ).Задача Канторовича формулируется следующим образом. Найти минимум функ­ционала∫︁→(,),(1)×на множествеΠ(,)вероятностных распределений на ×с фиксированными марги­налами:(Pr )# = , (Pr )# = .Здесь : ×называют# = — функция, называемая функцией стоимости. Элементы множестватранспортными планами.называютИзмеримые отображениятранспортными отображениямиили : →Π(,)со свойствомтранспортировками.ЗадачаКанторовича заключается в поиске оптимального транспортного плана, а задача Монжа— в поиске оптимального транспортного отображения.

Классический принцип двойствен­ности утверждает, что минимум в задаче (1) совпадает с супремумом функционала∫︁∫︁который ищется на парах функций() ≤ (,).((),()),Носитель распределениярическим свойством, +(,) =удовлетворяющих ограничению() =характеризуется, как правило, важным геомет­циклической монотонности,из которого в ряде случаев можно вы­вести, что решение задачи Канторовича однозначно определяет решение задачи Монжа.В такой постановке задача оказывается связанной со многими приложениями, на­56пример с геометрией метрических пространств (Л. Амброзио , С. Виллани ), гидродина­78микой (Я. Бренье ), динамическими системами (А.М.

Вершик ), статистический физикой910(Р. Л. Добрушин ), теорией марковских цепей (Я. Оливье). Обширные вероятностные11приложения представлены в книгах С.Т. Рачева и Л. Рюшендорфа3 Левин, а также Д. Бакри,В. Л., Милютин А. А. Задача о перемещении масс с разрывной функцией стоимости и массоваяпостановка проблемы двойственности выпуклых экстремальных задач // УМН. 1979.

Т. 34, 3(207). С. 3—68.4 Богачев В. И., Колесников А. В. Задача Монжа–Канторовича: достижения, связи и перспективы //УМН. 2012. Т. 67, № 5. С. 3—110.5 Ambrosio L., Gigli N. A user’s guide to optimal transport // Modelling and Optimisation of Flows onNetworks. Lecture Notes in Math. 2013. Vol.

2062, no. 5. Pp. 1–155.6 Villani C. Optimal transport, old and new. Berlin : Springer-Verlag, 2009. (Grundlehren der Mathematis­chen Wissenschaften).7 Brenier Y. Connections between optimal transport, combinatorial optimization and hydrodynamics //ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2015. Vol. 49, no. 6. Pp. 1593–1605.8 Вершик А. М. Метрика Канторовича: начальная история и малоизвестные применения // Зап. научн.сем. ПОМИ. 2004. Т. 312. С.

69—85.9 Добрушин Р. Л. Задание системы случайных величин при помощи условных распределений // ТВП.1970. Т. 15, № 3. С. 469—497.10 Olivier Y. // Ricci curvature of Markov chains on metric spaces. 2009. Vol. 256, no. 3. Pp. 810–864.11 Rachev S. T., Ruschendorf L. Mass transportation problems, Vol.I: Theory, Vol. II: Applications.Springer-Verlag, 1998. (Probability and its applications).4И. Жантиля и М.

Леду12. В последней книге продемонстрирована тесная взаимосвязьвероятностных и аналитических задач, где техника транспортной задачи выступает од­ним из главных инструментов изучения неравенств концентрации, неравенств Соболева,энтропийных оценок.Имеются важные ситуации, когда вместо стандартной транспортной задачи имеетсмысл рассматривать ее некоторые модификации. Одной из такой модификаций явля­ется ее инвариантный аналог. В этом случае мы рассматриваем некую группу преобра­зований пространств, действующую на них непрерывно (или, более общим образом, из­меримо). Фиксированные маргинальные распределения предполагаются инвариантнымиотносительно действия этой группы, а поиск оптимального решения производится толь­ко среди инвариантных транспортных планов. Для задачи в такой постановке известнылишь частичные результаты: например, подробно исследован случай, когда функция сто­13имости также инвариантна (А. Моамени).

Однако такие вопросы, как формулировкадвойственной задачи Канторовича, связь между задачей Монжа и Канторовича (когдарешение задачи Канторовича будет решением задачи Монжа?), свойство циклической мо­нотонности, взаимосвязь между эргодичностью решения и его оптимальностью представ­ляют большой интерес для исследования. Достаточные условия существования решенияинвариантной задачи Монжа не столь очевидны, как для инвариантной задачи Канторови­ча и тесно связаны с теорией эргодических разложений и изучением структуры крайних14точек бистохастических распределений (А.М.

Вершик15, В.Н. Судаков16, Р. МакКэн).Среди потенциальных приложений отметим теорию случайных процессов (в частности,стационарных, Л. Рюшендорф1718), теорию мер на графах (А.М. Вершик).Отметим, что исследования по бесконечномерной задаче Монжа-Канторовича мо­тивированы, в частности, задачами анализа на пространстве Винера (В.И. Богачев и12 BakryD., Gentil I., Ledoux M. Analysis and geometry of Markov diffusion operators.

Vol. 348. SpringerInternational Publishing, 2014. (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften).13 Moameni A. Invariance properties of the Monge-Kantorovich mass transport problem // Dis. Cont. Dyn.Sys. 2016. Vol. 36, no. 5. Pp. 2653–2671.14 Вершик А. М. Задача о центральных мерах на пространствах путей градуированных графов // Функц.анализ и его прил. 2014. Т. 48, № 4. С. 26—46.15 Судаков В. Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений //Тр. МИАН СССР. 1976.

Т. 141. С. 3—191.16 Chiappori P., McCann R., Nesheim L. P. Invariance properties of the Monge-Kantorovich mass transportproblem // Econ Theory. 2010. Vol. 42, issue 2. Pp. 317–354.17 Rüschendorf L., Sei T. On optimal stationary couplings between stationary processes // Electron. J.Probab. 2012. Vol. 17, no. 17.18 Вершик А. М. Оснащенные градуированные графы, проективные пределы симплексов и их границы //Зап.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации