Автореферат (1137389), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2016. Vol. 44, no. 1. Pp. 42–106.13на соответствующих .Можно доказать, что это условие также и достаточно: инвариантная задача Канторовича с инвариантными маргиналами имеет решение.Если функция стоимостиинвариантна относительно действияв инвариантной и классической задачах Канторовича совпадают30,то инфимум.
В диссертации рассматривается общий случай, когда никаких предположений об инвариантности функциистоимости не делается. В такой общности инфимум инвариантной задачи может оказатьсястрого большим, чем в классическом случае.Так как инвариантная задача Канторовича является частным случаем более общей задачи, рассмотренной в первой главе диссертации, то все полученные там результатыприменимы и в данной ситуации. Тем не менее для инвариантной задачи возможны и более сильные утверждения.
Например, результат о двойственности Канторовича в случаекомпактной группы симметрий.Пусть теперьстояния.— некоторое польское метрическое пространство с функцией расПусть группадействует наОбозначим множество всехначерез (,)(,)-инвариантныхнепрерывно (необязательно изометрично).борелевских вероятностных распределений ( ). Рассмотрим следующий аналог -расстояний Канторовича на ( ):{︂ (︂∫︁)︂ 1: (, ):= inf ×}︂ ∈ ( × ), (Pr1 )# () = , (Pr2 )# () = ,где(9) ∈ [1,∞).
Во второй главе диссертации доказывается следующий результат о корректности введенного определения.Теорема 3. Определенная выше функция является функцией расстояния на подмножестве ( ) ⊆ ( ), состоящем из -инвариантных вероятностных распределений,для которых∫︁ (, 0 ) < +∞,для некоторого фиксированного 0 ∈ .Содержание главы 3Третья глава диссертации посвящена геометрии пространства инвариантных распределений и связи между эргодической декомпозицией инвариантных транспортных планов с их оптимальностью.Пустьпространстве.— группа, действующая непрерывными отображениями на польскомПусть— множество инвариантных относительновероятностных распределений и, ∈ .Обозначим черезΠ (,)борелевскихмножество всех-инвариантных транспортных планов с маргинальными распределениями и .
Предпо30 MoameniA. Invariance properties of the Monge-Kantorovich mass transport problem // Dis. Cont. Dyn.Sys. 2016. Vol. 36, no. 5. Pp. 2653–2671.14ложим, что функция стоимостиполунепрерывна снизу, аΠ (,)непусто и замкнуто втопологии слабой сходимости.Зафиксируем решениеОбозначим через.Erg()инвариантной задачи Канторовича с маргиналами, .множество всех инвариантных эргодических распределений наПредположим, что имеют место следующие разложения:∫︁∫︁Erg()дляи,где = , , , ==(10)Erg( )— вероятностные распределения наErg(), Erg( ),причем:имеет место разложение распределения∫︁ , .=(11)Erg(× )(напомним, что действие группы((),())).Легко показать, чтона -почти × все ,определяется диагонально:(,) →имеют эргодические маргиналы; взявпроекции в левой и правой частях равенства (11), мы получаем равенство (10). Более того,верно следующее утверждение, которое является центральным для этой главы диссертации.Теорема 4.
Для -почти всех (,) мера , является решением инвариантной задачиКанторовича с маргинальными распределениями , : ( , )∫︁∫︁= =inf∈Π ( , ) , ,××причем имеет место следующее представление:∫︁inf∈Π (,)∫︁ =× ( , ) .inf ∈Π( , )Erg(× )Таким образом, инвариантная задача Канторовича может быть разбита на двепоследовательные подзадачи:1. Построить решение инвариантной задачи Канторовича для эргодических распределений.2. Для пары инвариантных распределений, рассмотреть их эргодические разложения (10) и построить решение задачи Канторовича для распределенийнаErg() ,c функцией стоимости .Можно заметить, что из сформулированных результатов легко следует утверждение: если инвариантная задача Канторовича с эргодическими маргиналами имеет решение, то она имеет эргодическое решение.15Другим важным следствием результата о декомпозиции задачи Канторовича является возможность декомпозиции инвариантного расстояния Канторовича (9):∫︁ (,) = ( , ) .inf ∈Π( , )(12)Erg(× )Эту формулу можно интерпретировать следующим образом: зная инвариантное расстояние Канторовича на множестве эргодических вероятностных распределений, можно однозначно восстановить инвариантное расстояние Канторовича на множестве всех инвариантных вероятностных распределений.Оказывается, что описанные выше результаты верны и в более общем случае,когда инвариантность задана действием марковского оператора (марковского ядра) напространстве вероятностных распределений.
Это обобщение требует использования теории бесконечномерных симплексов (симплексов Дынкина) и общих результатов об эрго31дических разложениях вероятностных распределений (Е.Б. Дынкин32Ваколбингер, Дж. Керстан и А.). Примером такого симплекса является множество стационарных распределений марковского процесса. Подробное описание этого обобщения завершает третьюглаву диссертации.Содержание главы 4Четвертаяглавадиссертациижа – Канторовича на пространствах видапространство, аNпосвященаN, гдеинвариантнойзадачеМон— некоторое польское метрическое— прямое топологическое произведение счетного числа его копий.Результаты этой главы можно рассматривать как приложение теории, развитой в первыхтрех главах.Пусть, — польское топологическое пространство, действует непрерывно на ,— инвариантные борелевские вероятностные распределения.
Измеримое отображение : →называетсяинвариантнымотносительно,если ∘ = ∘ , ∀ ∈ .Отображениеназываетсятранспортным, если # = . Обозначим множество всех инвариантных транспортных отображений черезTrans (,).Инвариантная задача Монжаформулируется следующим образом:∫︁(, ()) → inf , ∈ Trans (,),где: × →R— некоторая измеримая функция стоимости.Важность инвариантной задачи Монжа можно продемонстрировать на классическом конечномерном примере. Пусть31 Dynkin32 Kerstan = R , (,) := || − ||2 , 1 (,) := |1 − 1 |2 ,E. B. Sufficient statistics and extreme points // Ann.
Probab. 1978. Vol. 6, no. 5. Pp. 705–730.J., Wakolbinger A. Ergodic decomposition of probability laws // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 1981. Vol. 56, no. 3. Pp. 339–414.16, — вероятностные меры, инвариантные относительно перестановок координат. Тогдаклассическая задача Монжа c функцией стоимостиМонжа с функцией стоимостиВ случае = Rно определенной, но1Nэквивалентна инвариантной задаче1 .квадратичная функция стоимостиперестает быть корректпо-прежнему корректно определено. Поэтому в бесконечномерномслучае имеет смысл рассматривать инвариантную задачу относительно бесконечной симметрической группыствующей наNRS∞ ,состоящей из конечных перестановок счетного множества и дейперестановками координат.Вероятностные распределения, инвариантные относительно такого действия, называютсяперестановочными(“exchangeable”).
Эргодические перестановочные распределения — в точности совместные распределения последовательностей независимых одинаковораспределенных случайных величин. Эргодическое разложение мер подобного вида является обобщением классической теоремы де Финетти: перестановочный случайный процессс дискретным временем является смесью последовательностей независимых одинаковораспределенных случайных величин.В случае перестановочных мер, наRNи функции стоимости1 (,) = |1 − 1 |2можно дать характеризацию решения инвариантной задачи Монжа.Теорема 5. Пусть имеются следующие эргодические разложения:∫︁∞=∫︁Π (), =(R)∞ Π (),(R)и пусть отображение удовлетворяет следующим условиям:1) = ∘ −1 ,2) ∘ = ∘ − п.н., ∀ ∈ S∞ ,∫︀3) |1 () − 1 |2 минимально среди всех отображений, удовлетворяющих 1)и 2).Тогда существует оптимальное отображение (решение инвариантной задачиМонжа) для распределений Π , Π и функции стоимости (, ) → 22 (, ) на пространстве (R), где 2 — квадратичное расстояние Канторовича на (R), , ∈ (R).
Приэтом для Π -почти всех (1 ,2 , . . . ) = ((1 ), (2 ), . . . )почти всюду относительно ∞ , где : R → R — одномерная оптимальная транспортировка распределения в распределение () для квадратичной функции стоимости(,) := | − |2 , , ∈ R.После описания явного вида транспортировки в диссертации показывается, чтоперестановочная задача Монжа наRNэквивалентна классической задаче Монжа на выпуклом подмножестве счетномерного гильбертова пространства. Для доказательства этогофакта применяется теорема о разложении, приведенная в главе 3 диссертации.17В конце главы формулируется достаточное условие существования оптимальнойперестановочной транспортировки.
Также описан случай, когда оптимальной транспортировки в инвариантной задаче не существует. Это случается, в частности, когда первыймаргинал является эргодическим, а второй нет.Полученные результаты позволяют дать явную характеризацию для перестановочных равномерно логарифмически вогнутых вероятностных распределений.
Это важный класс распределений, с обширными приложениями которых можно познакомится поцитированной книге33. В доказательстве используется теорема Каффарелли о сжатии,основанная на априорных оценках для уравнения Монжа – Ампераномерное вероятностное распределениеесли оно имеет плотностьR → R ∪ +∞. ),еслиТакже−наназывается. Напомним, что одлогарифмически вогнутым,относительно меры Лебега, где— выпуклая функцияравномерно логарифмически вогнутым(c константойдополнительно удовлетворяет условию(︂ () + () − 2для некоторого > 0.+2функционалаN * ∈ (R ))︂≥· | − |24Вероятностное распределениелогарифмически вогнутым, если для некоторогоконстантойназываетсяR34ее образ∘−1наRNназывается равномерно > 0 и всякого непрерывного линейного∈ (R)равномерно логарифмически вогнут с.Теорема 6. Всякое перестановочное равномерно логарифмически вогнутое распределение на RN является эргодическим, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
