Автореферат (1137389), страница 2
Текст из файла (страница 2)
научн. сем. ПОМИ. 2015. № 5. С. 83—104. (432-я сер.)519А.В. Колесников(Д.Б. Букин2120, Д. Фейель и А.С. Устюнель) и теорией диффузионных процессов). В цитированных работах обычно рассматривались вероятностные распределения, абсолютно непрерывные относительно фиксированного гауссовского распределения и, как правило, в этой ситуации решение задачи Монжа существует и совпадаетс решением задачи Канторовича. В этом смысле транспортная задача на пространствеВинера похожа на конечномерную. В настоящей работе развивается подход для принципиально иной, но также естественной для приложений ситуации.
В инвариантной задачеКанторовича на бесконечномерных пространствах маргинальные вероятностные распределения, как правило, взаимно сингулярны, а вопрос о существовании решения Монжаочень сложен.Другая важная модификация задачи связана с моделированием финансовых активов. Фиксированные маргинальные распределения в этом случае можно интерпретироватькак распределения стоимости актива в определенные моменты времени, а оптимальныйтранспортный план — как совместное распределение модельного процесса. В таком случае естественно рассматривать транспортную задачу с конечным (не обязательно равнымдвум) числом маргиналов. Кроме этого, большинство вероятностных распределений в финансовых моделях являются мартингальными мерами.
Поэтому на транспортные планыестественно наложить условие мартингальности, которое также является линейным. Мартингальная задача Канторовича изучалась в работах М. Байглбека, В. Шахермайера исоавторов22. Эта задача тесно связана с потраекторными неравенствами для мартингалов, которые естественно интерпретируются как ограничения в задаче, двойственной к23мартингальной задаче Канторовича (см., например, Б. Буршар, М. Нутц и др.).Имея в виду два описанных выше примера модификации стандартной задачи Монжа – Канторовича, можно заметить, что в обоих случаях речь идет о наложении дополнительных условий на множество возможных решений, причем математически эти условия19 FeyelD., Üstünel A.
S. Monge-Kantorovich measure transportation and Monge-Ampère equation on Wienerspace // Prob. Theory and Related Fields. 2004. Vol. 128. Pp. 347–385; Kolesnikov A. V. Convexity inequalitiesand optimal transport of infinite-dimensional measures // J. Math. Pures Appl. 2004. Т. 83, № 11. С. 1373—1404; Bogachev V. I., Kolesnikov A. V. On the Monge–Ampère equation in infinite dimensions // Infin. Dimen.Anal. Quantum Probab.
Related Topics. 2005. Vol. 8, no. 4. Pp. 547–572; Bogachev V. I., Kolesnikov A. V.Sobolev regularity for the Monge-Ampere equation in the Wiener space // Kyoto J. Math. 2013. Vol. 53, no. 4.Pp. 713–738.20 Feyel D., Üstünel A. S. Monge-Kantorovich measure transportation and Monge-Ampère equation on Wienerspace // Prob.
Theory and Related Fields. 2004. Vol. 128. Pp. 347–385.21 Bukin D. B. On the Monge and Kantorovich problems for distributions of diffusion processes // Mathematical Notes. 2014. Vol. 96, no. 5–6. Pp. 864–870.22 Beiglboeck M., Goldstern M., Maresch G. Optimal and better transport plans // J. Funct. Anal. 2009.Vol. 256, no. 6. Pp. 1907–1927; Beiglboeck M., Leonard C., Schachermayer W. A general duality theorem forthe Monge-Kantorovich transport problem // Stud. Math.
2012. Vol. 209, no. 2. Pp. 151–167; Beiglboeck M.,Henry-Labordere P., Penkner F. Model-independent bounds for option prices – a mass transport approach //Finance and Stochastics. 2013. Vol. 17, no. 3. Pp. 477–5017; Bouchard B., Nutz M. Arbitrage and dualityin nondominated discretetime models // Ann. Appl. Pronbability. 2015.
Vol. 25, no. 2. Pp. 823–859;Beiglboeck M., Juillet N. On a problem of optimal transport under marginal martingale constraints // Annalsof Probability. 2016. Vol. 44, no. 1. Pp. 42–106.23 Beiglboeck M., Nutz M. Martingale inequalities and deterministic counterparts // Electron. J. Probab.2014. Vol. 19, no. 95. Pp. 1–15; Bouchard B., Nutz M. Arbitrage and duality in nondominated discretetimemodels // Ann.
Appl. Pronbability. 2015. Vol. 25, no. 2. Pp. 823–859.6можно описать как линейные бесконечномерные ограничения. Если говорить более точно,мы выделяем некоторое линейное подпространство функций и требуем, чтобы интересующие нас распределения принимали нулевые значения на этом пространстве.
Свойствазадачи с дополнительными ограничениями такого общего вида есть основной объект изучения в первой главе диссертации.Прогресс в исследовании задачи с ограничениями общего вида позволяет использовать разработанную теорию для частного случая инвариантной задачи. Ключевая задачав этой области: исследование взаимосвязи эргодичности и оптимальности в смысле Монжа – Канторовича. Эта задача уже рассматривалась специалистами в эргодической теории24(А.М. Вершик), однако в третьей главе диссертации предложен альтернативный подходк этому вопросу и описание ряда новых результатов. В доказательстве этих результатовмы опираемся на работы Е.Б. Дынкина25. Основным техническим инструментом здесь26является теория симплексов Дынкина (Дж.
Керстан и др.), в рамках которой можно доказать существование эргодических разложений для весьма широкого класса выпуклыхмножеств в пространстве вероятностных мер.Если = — достаточно хорошие метрические пространства (например польские), а в качестве функции стоимости рассматривается функция расстояния, то минимумв задаче Канторовича определяет значение функции расстояния на пространствероятностных распределений на.() веТакие расстояния называют расстояниями Канторовича. Их свойства хорошо изучены, а число приложений чрезвычайно велико (с ними можноознакомиться, например, по работе Л.
Амброзио с соавторами28лани27или по книге С. Вил). Однако на множестве инвариантных вероятностных распределений стандартноерасстояние Канторовича не всегда естественно. Поэтому в диссертации вводится понятиеинвариантного расстояния Канторовича, учитывающего симметрии, возникающие в модели.Цели и задачи диссертации.Цель работы состоит в исследовании свойств вероятностных распределений, являющихся решениями задачи Монжа – Канторовича с дополнительными ограничениями линейного типа.Задачи диссертационного исследования.1.
Сформулировать и доказать принцип двойственности для задачи Канторовича с линейными ограничениями на пространстве вероятностных распределений. Исследовать важные частные случаи, в том числе случай мартингальныхраспределений и распределений, инвариантных относительно заданной группыпреобразований.24 ВершикА. М. Оснащенные градуированные графы, проективные пределы симплексов и их границы //Зап. научн. сем.
ПОМИ. 2015. № 5. С. 83—104. (432-я сер.)25 Dynkin E. B. Sufficient statistics and extreme points // Ann. Probab. 1978. Vol. 6, no. 5. Pp. 705–730.26 Kerstan J., Wakolbinger A. Ergodic decomposition of probability laws // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 1981. Vol. 56, no. 3. Pp. 339–414.27 Ambrosio L., Gigli N., Savaré G. Gradient flows in metric spaces and in the Wasserstein spaces of probabilitymeasures.
Birkhäuser, 2008.28 Villani C. Optimal transport, old and new. Berlin : Springer-Verlag, 2009. (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften).72. Исследовать геометрические свойства носителя вероятностного распределения,являющегося решением задачи Канторовича с линейными ограничениями. Вчастности, исследовать аналоги свойства циклической монотонности (равносильного оптимальности в классической задаче Канторовича без ограничений),их необходимость и достаточность.3. В задаче Канторовича с инвариантными ограничениями исследовать связь эргодического разложения решения и эргодических разложений маргинальныхраспределений.4.
Получить достаточные условия существования оптимальной транспортировкивероятностных распределений на бесконечномерных линейных пространствахв случае распределений, инвариантных относительно заданной группы преобразований. Исследовать классические случаи инвариантности (в частности перестановочные распределения).Научная новизна.
Все представленные на защиту положения являются новыминаучными результатами. В частности, впервые исследуется задача Канторовича с линейными ограничениями общего вида, описываются свойства ее решения. Важным новым результатом работы является теорема об эргодическом разложении решения инвариантнойзадачи Канторовича. С ее помощью доказаны новые факты о задаче Монжа для перестановочных распределений наRN , а также получена новая характеризация перестановочныхравномерно логарифмически вогнутых распределений наRN .Положения, выносимые на защиту.1.
В задаче Канторовича с дополнительными линейными ограничениями описанявный вид двойственного функционала на соответствующем пространстве случайных величин. Доказано, что супремум двойственного функционала совпадает с минимумом функционала Канторовича (принцип двойственности). Описаны геометрические свойства носителя решения, в частности доказано, чторешение обладает свойством, аналогичным свойству циклической монотонности. Построен контрпример, показывающий, что это свойство недостаточно дляоптимальности.2. Для инвариантной задачи Канторовича с компактной группой симметрий описана специальная форма результата о двойственности на соответствующем пространстве инвариантных случайных величин. На пространстве инвариантныхвероятностных распределений введено понятие инвариантного расстояния Канторовича.3. Исследована связь между эргодическими разложениями инвариантных транспортных планов и их оптимальностью.
Доказано, что инвариантную задачуКанторовича можно свести к следующим задачам: инвариантной задаче Канторовича для маргиналов соответствующих эргодических компонент и задачеКанторовича для вероятностных распределений на пространстве эргодическихмер.84. Доказано существование оптимальной транспортировки для некоторых инвариантных вероятностных распределений на бесконечномерных пространствах.Описан явный вид оптимальной транспортировки в случае перестановочныхраспределений. Доказано, что перестановочная последовательность случайныхвеличин, имеющая равномерно логарифмически вогнутое распределение, является последовательностью независимых одинаково распределенных случайныхвеличин.Методология и методы диссертационного исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей, общей теории меры и функционального анализа.Теоретическая и практическая значимость.Диссертация имеет теоретический характер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
