Автореферат (1137389), страница 5
Текст из файла (страница 5)
является совместным распределением последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин.ЗаключениеВ диссертационной работе исследована задача Монжа—Канторовича на пространстве вероятностных распределений с дополнительными ограничениями линейного типа.Частными случаями такой задачи являются инвариантная и мартингальная задачи.Для задачи Канторовича с дополнительными линейными ограничениями общеговида сформулирован и доказан результат о двойственности.
С использованием доказанного результата о двойственности сформулировано и доказано необходимое геометрическоеусловие оптимальности транспортного плана в рассматриваемой задаче. Построен контрпример, демонстрирующий недостаточность такого условия. Приложением общего результата является доказательство двойственности для мартингальной задачи Канторовича,имеющей большое прикладное значение.В работе исследована связь между эргодическими разложениями инвариантныхтранспортных планов и их оптимальностью.
В сформулированной нами теореме о разложении утверждается, в частности, что инвариантную задачу Канторовича можно свести33 BakryD., Gentil I., Ledoux M. Analysis and geometry of Markov diffusion operators. Vol. 348. SpringerInternational Publishing, 2014. (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften).34 Caffarelli L. A. Monotonicity properties of optimal transportation and the FKG and related inequalities //Comm. Math. Phys.
2000. Vol. 214, no. 3. Pp. 547–563.18к решению двух оптимизационных задач: инвариантной задачи Канторовича между эргодическими компонентами и классической задачи Канторовича между смесями этих компонент. Для обоснования этого результата нами использована теория симплексов Дынкина.Одним из вспомогательных результатов, который может представлять независимый интерес, является утверждение об измеримости оптимального инвариантного транспортногоплана относительно его маргиналов.
Изучив выпуклую структуру симплекса инвариантных распределений, мы определяем на нем модифицированную метрику Канторовича идоказываем ее корректность.Доказанная теорема о разложении позволила, в частности, глубже изучить свойства инвариантной задачи Монжа. В работе получено явное описание решения перестановочной задачи Монжа, а также доказан результат о существовании оптимального транспортного отображения для перестановочной задачи Монжа при некоторых предположениях о регулярности маргинальных распределений. В качестве одного из приложений полученные результаты позволили по-новому охарактеризовать равномерно логарифмическивогнутые вероятностные распределения наRN .Публикации автора в журналах, рекомендованных ВАК1.Заев Д. А.
О задаче Монжа—Канторовича с дополнительными линейными ограничениями // Математические заметки. — 2015. — Т. 98. — С. 664—683. — 2.2 п.л.2.Заев Д. А. Об эргодических разложениях, связанных с задачей Канторовича // Зап.научн. сем. ПОМИ. — 2015. — Т. Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXVI, № 437. — С. 100—130. — 3.4 п.л.3.Kolesnikov A. V., Zaev D. A.Exchangeable optimal transportation and log-concavity //Theory of Stochastic Processes. — 2015.
— Т. 20, № 2. — С. 54—62. — 0.9 п.л. (личныйвклад автора 0.4 п.л.)Лицензия ЛР № 020832 от «15» октября 1993 г.Подписано в печать «»2017 г. Формат 60х84/16Бумага офсетная. Печать офсетная.Усл. печ. л. 1.Тираж 100 экз. Заказ №Типография НИУ ВШЭ,125319, г. Москва, Кочновский пр-д., д. 3.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
