Автореферат (1137389), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Полученные в диссертации результаты могут представлять интерес дляспециалистов в области теории вероятностей, случайных процессов, динамических систем,а также в различных разделах теоретической физики. В частности, задача Монжа дляперестановочных распределений наRNможет найти применение в моделях статистиче­ской физики, результат об эргодичности перестановочных равномерно логарифмическивогнутых распределений может быть важен при изучении вопросов концентрации мер.Мартингальная задача Канторовича имеет приложения в сфере финансового моделирова­ния, в связи с чем полученные автором результаты могут быть полезны при исследованиисуществующих финансовых моделей.Степень достоверности результатов диссертации.

Представленные на защи­ту результаты диссертации представляют собой математические утверждения и сопровож­даются строгими доказательствами.Личный вклад автора.Все представленные результаты получены автором са­мостоятельно.Апробация результатов диссертационного исследования. Основные резуль­таты диссертации были представлены автором лично на следующих семинарах и конфе­ренциях:–Семинар «Бесконечномерный анализ и стохастика» (МГУ, руководители Бо­гачев В.И., Толмачев Н.А., Шапошников С.В.), 2013. Доклад «Задача Мон­жа – Канторовича на бесконечномерных линейных пространствах».–Международнаяконференция“Stochasticprocessesandhighdimensionalprobability distributions” (Санкт-Петербург), 2014.

Доклад: “Monge – Kantorovichproblem with additional constraints: infinite-dimensional applications”.–ViennaSeminarinMathematicalFinanceandProbability(Вена,Австрия),2014. Доклад: “Monge – Kantorovich problem with additional constraints and itsapplications”.–Международнаяконференцияматематическоемоделирование»«Бесконечномерный(Москва),2014.жа – Канторовича с линейными ограничениями».9анализ,Доклад:стохастика,«ЗадачаМон­–Семинар Добрушинской математической лаборатории, ИППИ РАН (Москва),2016. Доклад: «Задача Монжа – Канторовича с линейными ограничениями».Также результаты диссертации многократно докладывались и обсуждались в рамках на­учно-исследовательского семинара «Теория вероятностей.

Экономические и аналитиче­ские приложения» (Москва, НИУ ВШЭ, руководители Колесников А.В., Конаков В.Д.) в2013-2016 годах.Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 печатныхработах, которые опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. Общий объём пуб­ликаций 6.5 п.л., личный вклад автора составляет 6 п.л.

Список публикаций приведен вконце автореферата.Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, четырехглав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Общий объем дис­сертации составляет 105 страниц. Список литературы включает 61 наименование.Используемая в автореферате нумерация теорем и формул не совпадает с соответ­ствующей нумерацией в диссертации.Благодарности. Автор благодарит научного руководителя А.В.

Колесникова запостановку задачи, поддержку, мотивацию, неоценимую помощь в исследованиях и накаждом этапе подготовки данной работы.Содержание работыВведение диссертации содержит обоснование актуальности рассматриваемых вдиссертации задач, обзор научной литературы по тематике исследования, а также краткийобзор современного состояния исследуемой области.Содержание главы 1В первой главе формулируется задача Канторовича с дополнительными линейны­ми ограничениями, доказываются критерий существования оптимального решения, утвер­ждение о двойственности типа Канторовича и необходимое геометрическое условие наноситель оптимальной меры, аналогичное стандартному условию-монотонности.В этой главе мы не ограничиваемся случаем лишь двух маргиналов и рассматрива­ем более общую «мультимаргинальную» задачу. Зафиксируем вероятностные распределе­ния на польских пространствах и выберем пространство функций на1 ×· · ·× .Рассмотрим следующую задачу оптимизации:∫︁ → inf ,1 ×···×∫︁(Pr )# = , = 01 ×···×для всех ∈ ,ра проектированиянекоторой функции стоимостиPr : 1 × · · · × → .

: 1 × · · · × → RЭту задачу можно назватьМонжа – Канторовича с дополнительными линейными ограничениями.10и операто­задачейСогласно стан­дартной терминологии, принятой в теории Монжа – Канторовича, распределения := 1 × · · · × с заданными маргиналами(Pr )# = наназываются транспортнымипланами.

В нашем случае мы ограничиваем множество транспортных планов, добавляяследующее линейное ограничение:∫︁ = 0, ∀ ∈ .Оказывается, что для такой задачи возможно сформулировать и доказать рядрезультатов, которые могут рассматриваться как обобщения соответствующих утвержде­ний о классической задаче Монжа – Канторовича.

Одним из таких утверждений являетсяследующий результат о двойственности.Определение 1. На пространстве := 1 × · · · × определим пространство функций () как векторное пространство{︃ℎ ∈ () : |ℎ| ≤∑︁}︃ ( ), ∈ 1 ( ) .(2)=1Теорема 1. Пусть ∈ , ⊆ . Тогда{︃ ∫︁∑︁∫︁inf∈Π =sup∈, ∈1 ( )=1 ( ) ,∑︁}︃ + ≤ ,=1где Π — множество всех транспортных планов , для которых интеграл∫︀ равеннулю для всякой функции ∈ .Этот результат обобщает классическую двойственность Канторовича (достаточноположить = 2, = {0}).Другой важный результат обобщает понятиеностных распределений ∼ ,на = 1 × · · · × Для двух вероят­определим отношение эквивалентности:если и только если1.2.(Pr )# () = (Pr )# () , ∀ = 1,...,,∫︀∫︀= , ∀ ∈ .Пустьс носителем(при, -монотонности.

— набор .източек в пространстве , Следующее определение обобщает понятие— дискретное распределение-циклическоймонотонности = {0}).Определение 2. Для измеримой функции стоимости : → R и линейного простран­ства функций множество Γ ⊂ назовем (, )-монотонным, если для всякого ∈ N,всякого ⊂ Γ, всякого вероятностного распределения , такого, что supp( ) = , ивсякого вероятностного распределения ∼ верно неравенство∫︁∫︁ ≤.11(3)Транспортный план(, )-монотонноемножество ∈ Π ()Γназовем(, )-монотонным, -меры: (Γ) = 1.полнойесли существуетТогда верен следующий резуль­тат.Теорема 2.

Пусть∫︀ ( ) = 0 для всякой функции ∈ ∩ 1 ( ), ∈ Π () —решение задачи Монжа – Канторовича с дополнительными линейными ограничениями,то есть∫︁inf∈ΠТогда ∫︁ = .— (, )-монотонный транспортный план.Заметим, что(, )-монотонностьтранспортного плана не является достаточнымусловием его оптимальности в отличие от классического условия-монотонности.Пример 1. Пусть = 2, = = S1 — окружности единичного радиуса, = Z дей­ствует поворотами (образующая группы соответствует положительному поворотуна некоторое фиксированное число , для которого / иррационально), (,) — непре­рывная ограниченная функция на S1 × S1 .

На множестве × группа действуетследующим образом: (,) → ((), ()), ∈ . Множество функций совпадает слинейной оболочкой множества {ℎ ∘ − ℎ : ∈ Z, ℎ ∈ ( × )}.Заметим, что любая нетривиальная знакопеременная мера c носителем, со­стоящим из конечного числа точек, не является -инвариантной. Действительно, этоследует из того, что для любого > 0 существует элемент ∈ , являющийся пово­ротом на угол, меньший, чем .

Очевидно, при достаточно малом мера ′ = ∘ −1не совпадает с . Отсюда следует, что произвольное множество Γ ⊂ S1 × S1 является(, )-монотонным. Действительно, класс эквивалентности любой меры с конечнымносителем ⊂ Γ имеет только один элемент, потому что для любой другой другоймеры ′ с конечным носителем мера − ′ не может быть -инвариантной. Из этого,очевидно, следует, что (, )-монотонности носителя недостаточно для оптимально­сти.Интересным и важным с точки зрения приложений частным случаем задачи Кан­торовича с дополнительными линейными ограничениями является мартингальная задача,в которой дополнительные ограничения соответствуют наложению условия мартингально­сти. Пусть1 = 2 = ... = = R, = R .распределения ∈ (R) ( ∈ {1,...,}),Рассмотрим маргинальные вероятностныеимеющие конечный первый момент.

Определимлинейное ограничение следующим образом:{︃ = ∈ () : =−1∑︁}︃ (1 ,..., )(+1 − ), (1 ,..., ) ∈ (R ) .(4)=1Легко показать, что в этом случае множество допустимых транспортных планов имееттакой вид:{︂Π (1 ,..., ) :=∫︁:+1 R121 ,...,}︂(+1 ) = (5)для почти всех+1 : условное распределение на∫︁(︁∫︁1 ×···× , ∈ {1,..., − 1}.относительно (1 , .

. . ,+1 )1 ,...,1 ,...,+1Здесь 1 ,...,— соответствующее∈ (+1 ),)︁−1)=( ∘ 1 ×···×∫︁= (1 , . . . ,+1 )(6)1 ×···×+1для любых ∈ (R+1 ).Рассмотрение этого примера завершает первую главу диссерта­ции. В частности, как следствие общего результата, мы получаем новое доказательствотеоремы о двойственности для мартингальной задачи, доказанной ранее в работе М. Бай­глбека и др.29Содержание главы 2Частным случаем задачи Канторовича с дополнительными линейными ограни­чениями является инвариантная задача Канторовича, которой посвящена вторая главадиссертации.Пустьпространств— некоторая группа, действующая непрерывно на каждом из польских1 ,..., . Предположим также, что действие определено на = 1 × · · · ×диагональным образом:(1 ,..., ) = (1 (1 ),..., ( )).Определим пространствоследующим образом. := span{ℎ ∘ − ℎ : ∈ , ℎ ∈ ()},(7)где через span обозначено пространство всевозможных конечных линейных комбинаций.Будем называть вероятностное распределение ∈ () инвариантным(илисим­метричным ) относительно действия группы , если # = для каждого элемента ∈ .∫︀Легко показать, что для ∈ () выполнено равенство = 0 для всякой функции ∈ ,если и только еслиВ случае, еслизадачей Канторовича— инвариантное распределение.определено формулой (7), мы будем называтьинвариантнойследующую задачу:∫︁ → inf , ∈ Π (),гдеΠ(8)— множество инвариантных транспортных планов с маргиналами := (1 , .

. . , ).Необходимым условием для существования решения в инвариантной задаче явля­ется инвариантность заданных маргинальных распределений29 Beiglboeckотносительно действияM., Juillet N. On a problem of optimal transport under marginal martingale constraints //Annals of Probability.

Характеристики

Список файлов диссертации