Диссертация (1137390), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

ПустьРассмотрим вероятностныеконечный первый момент. Определим: ={︃ −1∑︁}︃(1 ,..., )(+1 − ) : (1 ,..., ) ∈ () .=1Предложение 1.20. ⊂ ().Доказательство.−1∑︁|(1 ,..., )(+1 − )| ≤=1−1∑︁, |+1 − | ≤=1−1∑︁, (|+1 | + | |) ,=1∫︁, | | < ∞для каждого ∈ {1,...,}.Последнее неравенство следует из того факта, что всеимеют конечный пер­вый момент.Предложение 1.21.{︂Π (1 ,..., ) =∫︁:R}︂+1 1 ,..., (+1 ) = .33для почти всех 1 ,..., — соответствующаяЗдесь∫︁(︁∫︁1 ×···×(1,..., )# ()относительно (1 , .

. . ,+1 )для любогоусловная мера на1 ,...,+1)︁+1 : ∈ {1,..., − 1}. 1 ,..., ∈ (+1 ):−1( ∘ )=1 ×···×∫︁= (1 , . . . ,+1 )(1.8)1 ×···×+1для любых ∈ (R+1 ).Доказательство. Действительно,∫︁+1 1 ,..., (+1 ) = для почти всех относительно (1,..., )# () ⇐⇒R∫︁∫︁⇐⇒(1 ,..., ) +1 1 ,..., (+1 )+1 =∫︁= (1 ,..., )+1 для любого ∈ (1 × ... × ) ⇐⇒∫︁⇐⇒(1 ,..., )(+1 − ) для любого ∈ (1 × ... × ).Так как непрерывность очевидна, доказательство окончено.Замечание 1.22.Нетрудно убедиться в том, что множествоΠ (1 ,..., )в точности является множеством совместных распределений мартингалов1 , . . . , с дискретным временем и фиксированными маргинальными распре­делениями ∼ .Такая задача имеет название мартингальной задачи Монжа—Канторо­вича.

Заметим, что существование решения в этой задаче не гарантируется.Подстановкой конкретного подпространствав общее утверждение одвойственности 1.8 мы сразу получаем следующее утверждение:Теорема 1.23. В мартингальной задаче Монжа—Канторовича имеет местоследующее утверждение о двойственности:∫︁inf∈Π(1 ,..., ) ={︃ ∫︁}︃−1∑︁∑︁∑︁= sup( ) : ( ) +(1 ,..., )(+1 − ) ≤ ,=1R=1=134где( )=1 ∈ ( ( ))=1 , (1 ,..., ) ∈ (R ).Этот результат впервые был получен М. Бейглбеком и др. в [22]. Такжеони показали (предложение 4.1 в [22]), что экстремальное значение двойствен­ной задачи в общем случае не достигается. Кроме того, в работе [23] доказано,что(, )—монотонностьность.носителя транспортного плана влечет его оптималь­35Глава 2. Инвариантная задача Монжа—КанторовичаВ этой главе мы подробно рассмотрим один из частных случаев задачис ограничениями: инвариантную задачу Монжа—Канторовича.

Оказывается,что для такого специального типа ограничений возможно сформулировать идоказать более сильные утверждения, чем в случае общей задачи с линейны­ми ограничениями. Основные результаты этой главы опубликованы в работахавтора [9] и [10].2.1Инвариантная задача КанторовичаЧастным случаем задачи Канторовича с дополнительными линейнымиограничениями является инвариантная задача Канторовича.

— некоторая группа, действующая непрерывно на каждом изпольских пространств 1 ,..., . Предположим также, что действие опре­делено на = 1 × · · · × диагональным образом:Пусть(1 ,..., ) = (1 (1 ),..., ( )).Определим пространствоследующим образом: := span{ℎ ∘ − ℎ : ∈ , ℎ ∈ ()},(2.1)где «span» означает пространство всевозможных конечных линейных комбина­ций.Будем называть вероятностное распределениеотносительно действия группы,если# = ∈ ()инвариантнымдля каждого элемента ∈ .Докажем следующую характеризацию распределений, которые зануляются на:Предложение 2.1.Для каждого ∈ () | = 0,инвариантное вероятностное распределение.если и только если—36Доказательство.∫︁∫︁⇐⇒ℎ# = ℎ ∀ℎ ∈ (), ∀ ∈ ⇐⇒∫︁∫︁⇐⇒ℎ ∘ = ℎ ∀ℎ ∈ (), ∀ ∈ ⇐⇒∫︁⇐⇒(ℎ ∘ − ℎ) = 0 ∀ℎ ∈ (), ∀ ∈ ⇐⇒ | = 0.инвариантноВ случае, если = span{ℎ∘ −ℎ : ∈ , ℎ ∈ ()}, мы будем называтьследующую задачу:∫︁ →inf ,(2.2)∈Π ()Π — множество инвариантных транспортных планов с маргиналами :=(1 , .

. . , ), инвариантной задачей Канторовича.Вследствие диагональности действия мы получаем, что ∘ Pr ∘ = ∘ ∘ Pr игде ∩ =⨁︁{ ∈ ( ) : ∘ ∘ − ∘ ∈ }.=1Это означает, что необходимое условие для существования решения в инвари­антной задаче — инвариантность заданных маргинальных распределенийносительно действияот­ на соответствующих . Можно доказать, что эти усло­вия также и достаточны.Теорема 2.2.Инвариантная задача Канторовича с инвариантными марги­налами и функцией стоимости ∈ (1 × · · · × )имеет решение.Доказательство.

Множество инвариантных транспортных планов компактнов топологии слабой сходимости, и, следовательно, минимизируемый функцио­нал будет достигать оптимального значения, если имеется хотя бы один инва­риантный транспортный план. Достаточно показать, что ⊗ ∈ Π (,).

Для37любогоℎ ∈ :∫︁(ℎ ∘ −ℎ)(⊗=1 )(︂∫︁∫︁=)︂ℎ(()) − ℎ()1 (1 ) (⊗=2 ) =1(︂∫︁2 ×···×=(ℎ(()) − ℎ(1 (1 ),2 ,... ))+2 ×···×1)︂+ (ℎ(1 (1 ),2 ,..., ) − ℎ())1 (1 ) (⊗=2 ) =(︂∫︁)︂∫︁=ℎ(()) − ℎ(1 (1 ),2 ,... )1 (1 ) (⊗=2 ) =×···×1)︂∫︁ 2(︂∫︁=ℎ(()) − ℎ(1 (1 ),2 ,... ) ⊗=2 1 (1 ) = ...12 ×···×∫︁ ∫︁∫︁... =···(ℎ(()) − ℎ(1 (1 ),...,−1 (−1 , )) ( )...1 (1 ) = 0∫︁12Известно (см. [51]), что если в задаче Канторовича оба маргинала и функ­-инвариантны,ция стоимости-инвариантен((), ()).Пример 2.3.го числаR1 , также × : (,) =то оптимальный транспортный планотносительно диагонального действияна = 2, 1 = 2 = RN — прямое произведение счетно­(,) = |1 − 1 |2 , = ∞ — группа конечных перестановок,Пустьдействующая перестановками координат. Вероятностные распределения, ин­вариантные относительно таких перестановок, называются «exchangeable»(перестановочные).

Каак мы показали, оптимальный план на множестве пе­рестановочных распределений существует если и только если маргинальныераспределения также инвариантны. Подробному описанию и исследованиюэтой задачи посвященаПример 2.4.стваглава 4диссертации.Рассмотрим группу{1, . . . , },всех возможных перестановок множе­которая действует наRследующим образом: () = ((1) , (2) , · · · , () ), ∈ .

⊂ — некоторая подгруппа, обладающая тем свойством,каждой пары , существует элемент ∈ , такой что () = .Пустьчто для38Рассмотрим инвариантную задачу Канторовича на|1 − 1 |2 .группыRотносительнос определенным выше действием и функцией стоимости() = .Пусть∫︁(,) =Получаем следующие соотношения∫︁∫︁⟨ , ⟩⟨ , ⟩ ∫︁∫︁= ⟨ , ⟩⟨ , ⟩ = . =⟨ , ⟩⟨ , ⟩ =Следовательно,22 (,)∫︁=2‖−‖ = ∫︁∑︁2∫︁( − ) = ( − )2 , ∀ = 1, . . . ,.=1(2.3)Сформулируем следующее утверждение о конечномерной задаче Канто­ровича с квадратичной функцией стоимости (квадратичной задаче Канторо­вича ):Предложение 2.5.

Стандартная квадратичная задача Канторовича на R-инвариантнымисмаргиналами эквивалентна инвариантной транспортнойзадаче с функцией стоимостиДоказательство. Пусть|1 − 1 |2 . — решение квадратичной задачи Канторовича с мар­, , а ˜ — вероятностных распределение, на котором функционал ↦→ |1 − 1 |2 достигает минимума среди всех -инвариантных вероят­ностных распределений с теми же маргиналами.

Из оптимальности следует,гиналами∫︀что∫︁2‖ − ‖ ≤∫︁‖ − ‖2 ˜.∫︀∫︀и˜ оба -инвариантны, (2.3) влечет, что |1 −1 |2 ≤ |1 −1 |2 ˜.∫︀∫︀Из оптимальности ˜ получаем, что |1 − 1 |2 = |1 − 1 |2 ˜ , и, наконец,∫︀∫︀‖ − ‖2 = ‖ − ‖2 ˜ . Это означает, что ˜ является решением классиче­ской квадратичной задачи Канторовича, а — решением задачи КанторовичаТак какв классе инвариантных вероятностных распределений.Напомним, что вероятностное распределениеназывается эргодическим,если оно инвариантно и для любого измеримого инвариантного множества39() равно 0 или 1 (см.

[61]). Как уже упоминалось выше, эргодические распре­деления являются экстремальными точками в выпуклом множестве всех инва­риантных распределений. Отсюда же следует, что два различных эргодическихвероятностных распределения обязаны быть взаимно сингулярными. Также ин­вариантные распределения можно представлять как смеси эргодических:Предложение 2.6. — -инвариантное борелевское вероятностноерспределение на польском пространстве . Тогда существует борелевское ве­роятностное распределение ˜ на множестве всех борелевских вероятност­ных распределений на , сосредоточенное на подмножестве -эргодическихПустьраспределений, причем∫︁∫︁(︁∫︁ =Erg()для всех ограниченных непрерывныхностных-эргодических,)︁ ˜,Erg() — множествона .гдераспределенийБолее подробно об эргодических разложениях речь пойдет ввсех вероят­главе 3 дис­сертации.Завершим этот параграф, доказав несколько утверждений об эргодично­сти оптимальных транспортных планов в инвариантной задаче Канторовича.Предложение 2.7.Пусть вероятностные распределенияотносительно действияи эргодичны,, инвариантны : × → R — некотораяинва­риантная полунепрерывная и ограниченная снизу функция стоимости.

Тогдасуществует эргодический оптимальный план в классе инвариантных транс­портных планов.Доказательство. Существование некоторого оптимального транспортного пла­на в множестве инвариантных планов следует из компактности такого множе­ства. Инвариантный план может быть представлен как смесь эргодических рас­пределений на ×:∫︁= ().Erg(× )Сначала докажем, что∘- почти все−1 — транспортные∫︁=Erg(× )планы. ∘ −1 ().40Заметим, что ∘ −1 = .Обозначив ∘ −1через ,мы получим:∫︁= ().Erg(× )Все -инвариантны:для любого измеримого ⊂ , ∈ ( −1 ) = ( −1 ( −1 )) = ({(, ) : () ∈ }) == ({(, ) : ((),()) ∈ −1 ()}) == ( −1 ( −1 ())) = ( −1 ()) = ().Используем тот факт, что эргодическое распределение является экстре­мальной точкой множества всех инвариантных распределений.

Так кактремально,ние можноэкс­({ : = }) = 1. Точно таким же рассуждением это утвержде­получить для и проекций на . Отсюда получаем, что для почти — транспортные планы.Обозначим через () значение функционала Канторовича на :∫︀() = × (,) . Если оптимальна, то не существует таких , что( ) < (). Следовательно, ({ : ( ) < ()}) = 0. Так­же верно, что ({ : ( ) > ()}) = 0. Действительно, представле­ние меры как смеси: ({ : ( ) > ()}) > 0 влечет неравенство({ : ( ) < ()}) > 0, но последнее недопустимо.Получаем, что ({ : ( ) = ()}) = 1, и, следовательно, дляпочти всех является оптимальным транспортным планом среди всех инва­всехриантных.Имеет место также следующее утверждение:Предложение 2.8.Пусть — вероятностноеское относительно измеримого биективного действия группыинвариантное вероятностное распределение наравнамеры.Тогда множество ×,что его проекция на ∈ , таких, чтоимеет -меру 1 или 0.точексостоит из одной точки,Доказательство.

От противного. Пусть мера множествацы и нуля. Докажем, что множество , эргодиче­, — такоераспределение наноситель условнойотлична от едини­инвариантно и получим противоречие с41эргодичностью.Действительно, если ∈ ,то −1 () ∈ ,иначе действиене было бы биекцией.2.2Случай компактной группы симметрийСнабдим группутакой топологией, что функционал(,) : → R, → ( ∘ )() -алгебры для каждой парыгруппа компактна, то можноокажется измеримым относительно борелевской(,) ∈ () × .Если топологическаяопределить отображение → ¯() :=∫︁( ∘ )()(), ∈ () и — лево-инвариантная вероятностная мера Хаара на группе .Легко проверить, что ¯ ∈ (): подынтегральное выражение непрерывно попеременной ∈ и ограничено по ∈ и ∈ , что влечет непрерывность¯.гдеОпределим еще одно подпространство в :∫︁1 = span{ ∈ , − ∘ ()}.Мы хотим доказать, что для нашей задачи нет никакой разницы между огра­ничениями, задаваемымии1 .Предложение 2.9.|1 = 0 ⇐⇒ | = 0.|1 = 0 ⇒ | = 0 очевидно.

Докажем обратное.∫︀ℎ∘= ℎ для любого ℎ ∈ (), ∈ .Доказательство. СледствиеИз| = 0следует, что∫︀42Тогда∫︁ (︂∫︁)︂ℎ ∘ () =)︂)︂∫︁ (︂∫︁∫︁ (︂∫︁∫︁=ℎ ∘ () =ℎ () =ℎ.(2.4)Следовательно,)︂∫︁∫︁ (︂ℎ−ℎ ∘ () = 0для каждогоℎ ∈ (). 1 ∈ () — замыкание 1 в равномерной топологии. Так какэта топология сильнее, чем 1 ()-топология для любого ∈ Π, то верно, чтоограничения, задаваемые 1 и 1 эквивалентны: | = 0 ⇐⇒ |1 = 0, и1Π1 = Π 1 .В случае, если топологическая группа компактна, можно определитьлинейный оператор Pr : () → 1 формулой:1Пусть∫︁Pr 1 ( ) := −где — лево-инвариантнаяПредложение 2.10.Pr 1 — непрерывная( ∘ )(),вероятностная мера Хаара на группеЕсли — компактная.группа, то линейный операторпроекция на подпространство 1.Доказательство. Сначала докажем непрерывность оператора относительно ().

Характеристики

Список файлов диссертации