Диссертация (1137390), страница 8
Текст из файла (страница 8)
[51], теорема 1.7). Однако в дальнейшем мы не будем предполагать инвариантность метрикина их общей области определения. В этом параграфе мыудовлетворяет аксиомам функции расстояния наПусть, ≥ проверим, что ,так что ().— локально-компактные польские пространства. Группадействует на них непрерывно. МножествоΩ := span({ − ∘ : ∀ ∈ ( × ), ∀ ∈ })определяет дополнительное линейное ограничение инвариантности. Определим(, )# ∈ Π(,) как единственный транспортный план,сосредоточенный на диагональном множестве {(,) : ∈ } ⊆ × иимеющий маргиналы .
Транспонированный транспортный план ∈ Π(,)для ∈ Π(,) определим как единственный транспортный план, удовлетворятранспортный планющий соотношению:∫︁∫︁ =××для каждой пары борелевских множеств ⊆ , ⊆ .Предложение 2.16.1.2.3.((, )# )() = 0 ∀ ∈ ().( ⊗ )() = 0 ∀, ∈ ().() = 0 =⇒ () = 0 ∀ ∈ Π(,), ∀, ∈ (),гдеопределено соотношением∫︁ (,) =∫︁ (,) ∀ ∈ ( × ).Доказательство.1. Заметим, что(,)# ( (,) − ((),())) = ( (,) − ((,)))= ( (,)) − # ( (,)) = 0,если ∈ (), ∈ ( × ), ∈ , ( ) :=∫︀ .512. Заметим, что( ⊗ )( (,) − ((),()) =)︂∫︁ (︂∫︁ (,) − ((),)() ()+)︂∫︁ (︂∫︁+ ((),) − ((),())() () = 0,∀, ∈ (), ∈ ( × ), ∈ . (,) − ((), ()) ∈ следует, что (,) − ((), ()) ∈ для всех ∈ ( × ), то последнее условие из3.
Так как из включенияопределения метрического ограничения выполнено.Теперь докажем основное утверждение данного параграфа.Предложение 2.17.стояния наФункцияявляется[0, +∞]-значнойфункцией рас ().∫︀ = (,)# ∈ Π (,), = 0 для этого ,и (,) = 0. По схожим причинам ( = 0 только на диагонали {(,)},причем только планы вида (,)# сосредоточены на ней) (,) ̸= 0, если ̸= . Функция инвариантна, так как из включения ∈ Π (,) следует,∫︀ ∫︀что ∈ Π (,) и = . Неравенство треугольника доказываетДоказательство.
Так какся стандартным образом (см., например, [17], теорема 2.2) с использованиемспециальной версии леммы о склеивании, которую мы формулируем ниже.Лемма 2.18.(Лемма об инвариантном склеивании)Для любых вероятност1 , 2 , 3 ∈ (), 12 ∈ ( × ), 23 ∈ ( × )существует вероятностное распределение ∈ ( × × ) такая, что(Pr12 )# () = 12 , (Pr23 )# () = 23 , (Pr13 )# () ∈ Π (1 ,3 ).ных распределенийДоказательство. Модифицируем доказательство классической леммы о склеивании.
Определим подпространство ⊂ ( × × ) следующим образом:{︁}︁ := 12 (1 ,2 ) + 23 (2 ,3 ) + 13 (1 ,3 ) : 12 , 23 ∈ ( × ), 13 ∈ Ω . (12 + 23 + 13 ) := 12 (12 ) + 23 (23 ). Проверим, что корректноопределен на . Рассмотрим два представления некоторого элемента из : 12 +Пусть5223 + 13 = ˜12 + ˜23 + ˜ 13 .
Заметим, что 13 (1 ,3 ) − ˜ 13 (1 ,3 ) = 1 (1 ) + 3 (3 )для некоторых 1 , 3 ∈ Ω. Тогда 12 − ˜12 + 1 = ˜23 − 23 − 3 , и, следовательно,обе части равенства зависят только от 2 . Получаем:12 (12 − ˜12 + 1 ) = 2 (12 − ˜12 ) = 2 (˜23 − 23 ) = 23 (˜23 − 23 − 3 ),что доказывает корректность определенияна .
Легко проверить, что — положительный линейный ограниченный функционал. Соответствующая версиятеоремы Хана-Банаха (теорема 1.25 в [16]) утверждает, что такой функционалможно продолжить до положительного ограниченного функционала на всем ( × × ).В силу того, что на подпространствах ( )действиесов , мы можем применитьтеорему Рисса (теорема 7.10.6 в [26]) для продолжения (предположения теорепадает с интегрированием по соответствующим мераммы выполняются, достаточно рассмотреть произведения компактов).
Полученная мера будет удовлетворять всем свойствам из формулировки доказываемойлеммы.Замечание 2.19. Естественно задаться вопросом: “на каком подмножестве ()× () функция будет принимать конечные значения и являтьсяфункцией расстояния в строгом смысле этого слова?”. Легко понять, что этомножество состоит из инвариантных вероятностных распределенийкоторых∫︁,для (, 0 ) < +∞при некотором фиксированномвыбора00 ∈ .В силу неравенства треугольника отэто множество не меняется.Замечание 2.20.Имея заданное действие группы на пространствеможем по-разному определять ее действие на пространстве × :,мы“диагональный” способ, рассматриваемый выше, далеко не единственен.
Например, ⊕ на пространстве(1 ,2 )(1 , 2 ) := (1 (1 ), 2 (2 )). Однако, заможно рассмотреть действие прямой суммы групп × ,заданное соотношением:метим, что именно “диагональность” действия группы обеспечивает выполнение аксиом расстояния для функции .53Глава 3. Эргодические разложения и задача КанторовичаКак мы уже заметили в предыдущей главе, многие вопросы транспортной теории (например, вопрос существования оптимального отображения) длявероятностных распределений на бесконечномерных пространствах ведут естественным образом к изучению транспортировки эргодических вероятностныхраспределений и зависимости структуры оптимальных транспортных плановот эргодических разложений.
Действительно, в некоторых специальных ситуациях теория оптимальной транспортировки на бесконечномерных пространствах имеет много аналогов с конечномерной теорией. К таким специальнымситуациям относится транспортная задача на пространстве Винера ([27], [28],[39], [47]). В частности, в этих работах было показано, что, как правило, решения задач Канторовича и Монжа на пространстве Винера совпадают. В тоже время описание достаточных условий существования решения инвариантной задачи Монжа, в отличие от инвариантной задачи Канторовича, являетсясложной проблемой, естественным образом ведущей к таким геометрическимвопросам теории меры и теории вероятностей, как эргодические разложения иизучение структуры крайних точек бистохастических распределений ([3], [14],[34]). Среди потенциальных приложений отметим теорию случайных процессов(в частности, стационарных, [58]), теорию мер на графах ([4]).В настоящей главе изучен вопрос: существует ли естественное разложение транспортного плана, порожденного эргодическим разложением маргиналов? Основные результаты этой главы опубликованы в работе автора [10].
Вкачестве технического инструмента мы будем использовать теорию симплексовДынкина, предложенную в Е.Б. Дынкиным ([38]) и развитую впоследствии вработах других авторов ([46]). Симплексы Дынкина дают геометрическую интерпретацию понятия -достаточных статистик и имеют приложение в теориистационарных марковских процессов и случайных полей.Рассмотрим следующий базовый пример. Пусть группагомеоморфизмами на метрическом компактедении пространств×(,).(Z, +)действуетЕе действие на произвеопределим «диагональным» способом:(1 ,2 ) :=((1 ),(2 )), где — действие элемента 1Z ∈ Z на .
Вероятностное распреде−1ление на (,) называется инвариантным относительно Z, если ∘ = .54 () ⊆ () множество всех инвариантных борелевских вероятностных распределений на (,), снабдив его топологией слабой сходимости и соответствующей борелевской -алгеброй. Хорошо известно, что () —Обозначим черезвыпуклый непустой компакт. Как и в любом выпуклом компакте, в нем можновыделить подмножество всех крайних точек, то есть точек, которые не лежат (). Обозначим это подмножество чеграницей (). Ясно, что крайние точкиво внутренности какого-либо отрезка в ( ()) и будем называть его () — в точности -эргодические распределения.
Также известно (см. [55]),что () является симплексом Шоке. Это значит, что каждая точка в ()резможет единственным образом быть представлена как барицентр борелевского ( ()).Зафиксируем пару вероятностных распределений , из (). Так как и являются элементами симплекса (), они представляются единственнымвероятностного распределения, сосредоточенного на границеобразом в виде∫︁=∫︁ ˜() =: bar(˜), = ( ()) ˜ () =: bar(˜ ), ( ())то есть как барицентры некоторых вероятностных распределений, сконцентрированных на границе (): ˜, ˜ ∈ ( ( ())).Зададимся вопросом, имеетли место следующее представление:}︁ : ∈ ( × ), Pr1 () = , Pr2 () = ={︁∫︁{︁∫︁}︁= infinf : ∈ ( × ), Pr1 () = , Pr2 () = ˜:}︁˜ ∈ Π̃(˜,˜) ,(3.1)Π̃(˜,˜ ) := {˜ ∈ ( ( ()) × ( ())) : Pr1 (˜) = ˜, Pr2 (˜ ) = ˜}?Иныinfгде{︁∫︁ми словами, возможно ли разбить инвариантную задачу Канторовича на двеподзадачи: первую — о вычислении минимальной стоимости транспортировкимежду парами эргодических вероятностных распределений, вторую — о нахождении оптимального способа транспортировки мер, сосредоточенных на границе симплекса (вероятностных распределений на множестве эргодических мер)?В дальнейшем мы сформулируем достаточные условия существования такогоразложения.
Оказывается, что оно возможно для специального класса симплек55совDom ⊆ (),встречающихся в литературе под названием эргодическиразложимых симплексов или симплексов Дынкина (см. [38], [46]). Описанныйвыше симплекс инвариантных вероятностных распределений как раз являетсяпримером эргодически разложимого симплекса. В частности, верно следующееутверждение, которое является следствием основной теоремы этой главы диссертации (теорема 3.42).Теорема 3.1.Пусть(, ), (, ℬ) — двапольских пространства с борелев -алгебрами и заданными непрерывными действиями группы (Z, +), ⊆ , ℬ ⊆ ℬ — соответствующие -подалгебры инвариантных вероятностных распределений, : × → R — полунепрерывная и ограниченнаяскимиснизу функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
