Диссертация (1137390), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Для специального случая инвариантной задачи с компактной группой симметрий этот результат уточнен в теореме 2.11. С использованием доказанногорезультата о двойственности сформулировано и доказано необходимое геометрическое условие оптимальности транспортного плана (определение 1.17 и теорема 1.18) в рассматриваемой задаче. Построен контрпример, демонстрирующийнедостаточность такого условия (пример 1.19). Приложением общего результатаявляется доказательство двойственности для мартингальной задачи Канторовича, имеющей большое прикладное значение (см.
параграф 1.4).В работе исследована связь между эргодическими разложениями инвариантных транспортных планов и их оптимальностью. В сформулированной намитеореме о разложении (теорема 3.42) утверждается, в частности, что инвариантную задачу Канторовича можно свести к решению двух оптимизационных задач: инвариантной задачи Канторовича между эргодическими компонентами иклассической задачи Канторовича между смесями этих компонент. Для обоснования этого результата нами использована теория симплексов Дынкина. Однимиз вспомогательных результатов, который может представлять независимыйинтерес, является утверждение об измеримости оптимального инвариантноготранспортного плана относительно его маргиналов (теорема 3.37). Изучив выпуклую структуру симплекса инвариантных распределений, мы определяем нанем модифицированную метрику Канторовича (определение 2.15) и доказываемее корректность (утверждение 2.17).Доказанная теорема о разложении позволила, в частности, глубже изучить свойства инвариантной задачи Монжа.
В работе получено явное описаниерешения перестановочной задачи Монжа (см. параграф 4.1.1 и определение 4.4),а также доказан результат (теорема 4.8) о существовании оптимального транс99портного отображения для перестановочной задачи Монжа при некоторых предположениях о регулярности маргинальных распределений (см. замечание 4.7).В качестве одного из приложений полученные результаты позволили по-новомуохарактеризовать равномерно логарифмически вогнутые вероятностные распределения наRN(теорема 4.10).100Список литературы1.Богачев В. И., Колесников А.
В. Задача Монжа–Канторовича: достижения, связи и перспективы // УМН. — 2012. — Т. 67, № 5. — С. 3—110.2.Вершик А. М. Метрика Канторовича: начальная история и малоизвестныеприменения // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2004. — Т. 312. — С. 69—85.3.Вершик А.
М. Задача о центральных мерах на пространствах путей градуированных графов // Функц. анализ и его прил. — 2014. — Т. 48, № 4. —С. 26—46.4.Вершик А. М. Оснащенные градуированные графы, проективные пределысимплексов и их границы // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2015. — № 5. —С. 83—104. — (432-я сер.)5.Вершик А. М., Затицкий П. Б., Петров Ф. В. Виртуальная непрерывность измеримых функций многих переменных и теоремы вложения //Функц.
анализ и его прил. — 2013. — Т. 47, № 3. — С. 1—11.6.Вершик А. М., Затицкий П. Б., Петров Ф. В. Интегрирование виртуально непрерывных функций по бистохастическим мерам и формула следаядерных операторов // Алгебра и анализ. — 2015. — Т. 27, № 3. — С. 66—74.7.Добрушин Р. Л. Задание системы случайных величин при помощи условных распределений // ТВП. — 1970. — Т.
15, № 3. — С. 469—497.8.Заев Д. А. Тезисы доклада: “Задача Монжа—Канторовича с дополнительными ограничениями” // Тезисы международной конференции “Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы”, Москва. — 2014.
— С. 44.9.Заев Д. А. О задаче Монжа—Канторовича с дополнительными линейнымиограничениями // Математические заметки. — 2015. — Т. 98. — С. 664—683.10110.Заев Д. А. Об эргодических разложениях, связанных с задачей Канторовича // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2015. — Т. Теория представлений,динамические системы, комбинаторные методы.
XXVI, № 437. — С. 100—130.11.Канторович Л. В. О перемещении масс // Зап. научн. сем. ПОМИ. —2004. — Т. 312, № XI. — С. 11—14.12.Левин В. Л. О теоремах двойственности в задаче Монжа–Канторовича //УМН. — 1977. — Т. 32, 3(195). — С. 171—172.13.Левин В. Л., Милютин А. А. Задача о перемещении масс с разрывнойфункцией стоимости и массовая постановка проблемы двойственности выпуклых экстремальных задач // УМН. — 1979. — Т. 34, 3(207). — С.
3—68.14.Судаков В. Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений // Тр. МИАН СССР. — 1976. — Т. 141. — С. 3—191.15.Adams D. R., Hedberg L. I. Function spaces and potential theory. Vol. 314. Berlin : Springer-Verlag, 1996. (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften).16.Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive operators. Vol. 119. New York :Academic Press, 1985. (Pure and Applied. Mathematics).17.Ambrosio L., Gigli N. A user's guide to optimal transport // Modelling andOptimisation of Flows on Networks. Lecture Notes in Math.
2013. Vol. 2062, no. 5. Pp. 1155.18.Ambrosio L., Gigli N., Savaré G. Gradient ows in metric spaces and in theWasserstein spaces of probability measures. Birkhäuser, 2008.19.Bakry D., Gentil I., Ledoux M. Analysis and geometry of Markov diusion operators. Vol. 348. Springer International Publishing, 2014.
(Grundlehrender mathematischen Wissenschaften).20.Beiglböck M., Pratelli A. Duality for rectied cost functions // Calculus ofVariations and Partial Dierential Equations. 2012. Vol. 45, no. 1. Pp. 2741.10221.Beiglboeck M., Goldstern M., Maresch G. Optimal and better transportplans // J. Funct. Anal. 2009. Vol. 256, no.
6. Pp. 19071927.22.Beiglboeck M., Henry-Labordere P., Penkner F. Model-independent boundsfor option prices a mass transport approach // Finance and Stochastics. 2013. Vol. 17, no. 3. Pp. 4775017.23.Beiglboeck M., Juillet N. On a problem of optimal transport under marginalmartingale constraints // Annals of Probability. 2016. Vol. 44, no. 1. Pp. 42106.24.Beiglboeck M., Nutz M.
Martingale inequalities and deterministic counterparts // Electron. J. Probab. 2014. Vol. 19, no. 95. Pp. 115.25.Beiglboeck M., Leonard C., Schachermayer W. A general duality theorem forthe Monge-Kantorovich transport problem // Stud. Math. 2012. Vol.209, no. 2. Pp.
151167.26.Bogachev V. I. Measure Theory, Vol I. and II. Heidelberg : Springer-Verlag,2007.27.Bogachev V. I., Kolesnikov A. V. On the MongeAmpère equation in innitedimensions // Inn. Dimen. Anal. Quantum Probab. Related Topics. 2005. Vol. 8, no. 4. Pp. 547572.28.Bogachev V. I., Kolesnikov A.
V. Sobolev regularity for the Monge-Ampereequation in the Wiener space // Kyoto J. Math. 2013. Vol. 53, no. 4. Pp. 713738.29.Borell C. Convex measures on locally convex spaces // Arkiv Matematik. 1974. Vol. 12, no. 1. Pp. 239252.30.Bouchard B., Nutz M. Arbitrage and duality in nondominated discretetimemodels // Ann. Appl. Pronbability. 2015. Vol. 25, no. 2. Pp. 823859.31.Brenier Y. Connections between optimal transport, combinatorial optimization and hydrodynamics // ESAIM: Mathematical Modelling and NumericalAnalysis. 2015. Vol. 49, no. 6. Pp. 15931605.10332.Bukin D.
B. On the Monge and Kantorovich problems for distributions ofdiusion processes // Mathematical Notes. 2014. Vol. 96, no. 56. Pp. 864870.33.Caffarelli L. A. Monotonicity properties of optimal transportation and theFKG and related inequalities // Comm. Math. Phys. 2000. Vol. 214,no. 3. Pp. 547563.34.Chiappori P., McCann R., Nesheim L. P. Invariance properties of the MongeKantorovich mass transport problem // Econ Theory.
2010. Vol. 42,issue 2. Pp. 317354.35.Cortez M. I., Rivera-Letelier J. Choquet simplices as spaces of invariant probability measures on post-critical sets // Ann. de l'Inst. H. Poincare. 2010. Vol. 27, no. 1. Pp. 95115. (Non Linear Analysis).36.Cuesta J.-A., Matran C. Notes on the Wasserstein metric in Hilbert spaces //Ann. Probab.
1989. Vol. 17, no. 3. Pp. 12641276.37.Downarowicz T. The Choquet simplex of invariant measures for minimalows // Israel J. Math. 1991. Vol. 74, no. 23. Pp. 241256.38.Dynkin E. B. Sucient statistics and extreme points // Ann. Probab. 1978. Vol. 6, no. 5. Pp. 705730.39.Feyel D., Üstünel A. S. Monge-Kantorovich measure transportation andMonge-Ampère equation on Wiener space // Prob.Theory and RelatedFields. 2004. Vol. 128. Pp.
347385.40.Gaudard M., Hadwin D. Sigma-algebras on spaces of probability measures //Scand. J. Statistics. 1989. Vol. 16, no. 2. Pp. 169175.41.Ghoussoub N., Moameni A. Symmetric Monge-Kantorovich problems and polar decompositions of vector elds // Geom. Func. Anal. 2014. Vol. 24,no. 4. Pp. 11291166.42.Himmelberg C. Measurable relations // Fundamenta Math. 1975. Vol.87, no. 1. Pp.
5372.43.Hobson D. The Skorokhod embedding problem and model-independent boundsfor option prices // Lectures on Mathematical Finance. 2011. Vol.2003. Pp. 267318.10444.Kallenberg O. Probabilistic symmetries and invariance principles. NewYork : Springer-Verlag, 2005.45.Kellerer H.
G. Duality theorems for marginal problem // Zeitschrift fürWahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 1984. Vol. 67, no.4. Pp. 399432.46.Kerstan J., Wakolbinger A. Ergodic decomposition of probability laws //Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 1981. Vol. 56, no. 3. Pp. 339414.47.Kolesnikov A. V. Convexity inequalities and optimal transport of infinitedimensional measures // J. Math. Pures Appl. — 2004. — Т.
83, № 11. —С. 1373—1404.48.Kolesnikov A. V. On Sobolev regularity of mass transport and transportationinequalities // Theory Probab. Appl. — 2012. — Т. 57, № 2. — С. 243—264.49.Kolesnikov A. V., Zaev D. A. Exchangeable optimal transportation and logconcavity // Theory of Stochastic Processes. — 2015. — Т. 20, № 2. — С.
54—62. — (диссертанту принадлежат теоремы 2.2, 3.2, 3.6, А.В. Колесниковупринадлежит общая постановка задачи, теорема 2.5, формулировка предположения A).50.Lopes A. O., Mengue J. K. Duality theorems in ergodic transport // Journ.of Stat. Physics. 2012. Vol. 149, no. 5. Pp. 921942.51.Moameni A. Invariance properties of the Monge-Kantorovich mass transportproblem // Dis.
Cont. Dyn. Sys. 2016. Vol. 36, no. 5. Pp. 26532671.52.Monge G. Mémoire sur la théorie des déblais et de remblais // Mémoires deMathématique et de Physique. 1781.53.Olivier Y. // Ricci curvature of Markov chains on metric spaces. 2009. Vol. 256, no. 3.
Pp. 810864.54.Parthasarathy K. R. Probability measures on metric spaces. AMS ChelseaPublishing, 1967.55.Phelps R. Lectures on Choquet's theorem. Berlin : Springer-Verlag, 2001.10556.Rachev S. T., Ruschendorf L. Mass transportation problems, Vol.I: Theory,Vol. II: Applications. Springer-Verlag, 1998. (Probability and its applications).57.Rieder U.
Measurable selection theorems for optimization problems //Manuscripta Math. 1978. Vol. 24, no. 1. Pp. 115131.58.Rüschendorf L., Sei T. On optimal stationary couplings between stationaryprocesses // Electron. J. Probab. 2012. Vol. 17, no. 17.59.Villani C. Topics in Optimal Transportation.
Amer. Math. Soc. Providence, Rhode Island, 2003.60.Villani C. Optimal transport, old and new. Berlin : Springer-Verlag,2009. (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften).61.Walters P. An introduction to ergodic theory. Springer, 2000. (GraduateTexts in Mathematics)..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
