Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137390), страница 14

Файл №1137390 Диссертация (Задача Монжа-Канторовича с линейными ограничениями) 14 страницаДиссертация (1137390) страница 142019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

предложение 2.5).В случае = RNквадратичная функция стоимостикорректно определенной, но1перестает бытьпо-прежнему корректно определено. Поэтомув бесконечномерном случае имеет смысл рассматривать инвариантную задачуотносительно одного из следующих типов симметрий.84–Симметрии относительно группыZ, действующей координатными сдви­гами:(...,−2 ,−1 ,0 ,1 ,2 ,...) = (...,−1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,...),где — действиеобразующей группыZ.Вероятностные распределения, инвариантные относительно такого дей­ствия, называются стационарными. Они характеризуются следующимспособом (О. Калленберг [44], раздел 1.1). Пусть(1 , 2 ,...) — случайныйпроцесс с дискретным временем. Его распределение будем называть ста­ ∈ N конечномерные распределения слу­чайных векторов ( ,+1 , .

. . ,+ ) совпадают для всех ∈ N.– Симметрии относительно бесконечной симметрической группы S∞ , со­ционарным, если для любогостоящей из конечных перестановок счетного множества, и действующейнаNперестановками координат.Вероятностные распределения, инвариантные относительно такого дей­ствия, называются перестановочными (“exchangeable”). Эргодическиеперестановочные распределения — это в точности совместные распре­деления последовательностей независимых одинаково распределенныхслучайных величин.Эргодическое разложение мер подобного вида является обобщениемклассической теоремы Де Финетти: перестановочный случайный про­цесс с дискретным временем является смесью последовательностей неза­висимых одинаково распределенных случайных величин.– = R.RotRN , как группу∞операторов вида × , где — унитарный оператор в R = Pr (R ),а — тождественный оператор в ортогональном дополнении к R .ПустьОпределим группу симметрийнаВероятностные распределения, инвариантные относительно действиягруппыRot,называются сферически инвариантными.

Эргодическиесферически-инвариантные распределения — это в точности совместныераспределения последовательностей независимых нормальных случай­ных величин с одинаковой дисперсией и нулевым средним. -инвариантной задачи Канторовича с ин­вариантными маргиналами , . Обозначим через Erg() множество всех-инвариантных эргодических вероятностных распределений на .

Пусть име­Зафиксируемрешение85ются следующие эргодические разложения:∫︁ , ==∫︁Erg() (4.1)Erg( ), , где = , , — вероятностные распределения на Erg(), Erg( ).Пусть также имеется эргодическое разложение распределения :∫︁= , (4.2)мерErg(× )-инвариантность для означает инвариантность по отноше­нию к преобразованиям: (,) ↦→ ((), ()), ∀ ∈ ). Подчеркнем, что в (4.1) интегралы берутся не по переменным , , а по переменным , (, обознача­(напомним, чтоют пространства, на которых определены вероятностные распределения). Ана­логичное верно и для (4.2).

Очевидно, что -почти все ,имеют эргодическиемаргиналы, и, переходя к проекциям в левой и правой части равенства (4.2),мы получим разложения (4.1). Более того, из основной теоремы предыдущейглавы (теорема 3.42) следует, чтоТеорема 4.1. -почти все вероятностные распределения ,ниями-инвариантнойзадачи Канторовича с маргиналами∫︁ ( , )=inf ∈Π (, )∫︁ =являются реше­ , : , ,и верна следующая формула:∫︁inf∫︁ =∈Π (,)inf∈Π( , ) ( , ) .Значит, инвариантная задача Монжа—Канторовича может быть сведенак следующим двум подзадачам:Q1) Построить решение инвариантной задачи Монжа—Канторовича длявсех эргодических маргиналов.Q2) По заданным инвариантным вероятностным распределениям, и ихсоответствующим эргодическим разложениям (4.1) построить решениезадачи Монжа—Канторовича для вероятностных распределенийнаErg( × )с функцией стоимости .

, 86Рассмотрим, как эти подзадачи формулируются в случае интересующих насгрупп симметрий.4.1Типы симметрий на пространствах последовательностей4.1.1Перестановочные вероятностные распределенияОбозначим через∞группу всех перестановок натуральных чисел, кото­рые меняют местами только конечное число элементов. Рассмотрим естествен­ное действие этой группы наRN ,определенное по формуле() = (() ), = ( ) ∈ RN , ∈ ∞ .Рассмотрим вероятностные распределениятельно каждого элемента и , которые инвариантны относи­ ∈ ∞: = ∘ −1 , = ∘ −1 .Вероятностныераспределениятакоготипаназываютсяперестановочными(“exchangeable”). Простейший пример такой меры — счетная степень∞ некото­ на R. Напомним, что счетной степеньюназывается распределение последовательности н.о.р.с.в. с распределением ,Nкоторое является вероятностным распределением на R .рой борелевской вероятностной мерыВидоптимальнойтранспортировкивинвариантнойзадачеМонжа = ∞ очень легко описывается.

Рассмотрим отображение1 () = ⟨ (), 1 ⟩ и зафиксируем первую координату 1 . Тогда отображе­∞ние : (2 , 3 , . . . ) ↦→ 1 () инвариантно относительно (действующего на(2 ,3 , . . . )). Следовательно, — -почти наверное константа согласно закону0 − 1 Хьюита-Сэвэджа (Hewitt–Sawage law), примененному к мере . Поэтому1 зависит только от координаты 1 (с точностью до множества нулевой веро­вслучаеятности). Так как аналогичный аргумент может быть применен к каждой изкоординат, получаем, что— диагональное отображение:(1 (1 ), 2 (2 ), . . .

).87Более того, () = 1 (),так каккоммутирует со всеми перестановкамикоординат.Рассмотрим перестановочную задачу Монжа для функции стоимости=(1 − 1 )2 . Ответ на вопрос Q1) прост, так как эргодические вероятностные рас­пределения представляют собой счетные степени одномерных мер, а структураоптимальных транспортировок между ними хорошо известна. Что касается во­проса Q2), то можно воспользоваться классической теоремой Де Финетти:Теорема 4.2.Пустьделений наснабженное топологией слабой сходимости. Тогда для каждойR, — пространствоборелевских вероятностных распре­борелевского перестановочного распределения на RN существует борелевское сос войством∫︁() = ∞ ()Π()вероятностное распределениедля каждого борелевскогоΠна ⊂ RN .Из теоремы следует, что пространство эргодических вероятностных рас­пределений изоморфно пространствунаR.(R)всех вероятностных распределенийПоэтому для решения транспортной задачи в классе перестановочныхмер нужно исследовать транспортную задачу для пары0 , 0из(R),возни­кающей в разложении теоремы де-Финетти.

Ясно, что функция стоимости(R) наудовлетворяет равенству(1 , 2 ) = 22 (1 ,2 ),где2 — стандартноеквадратичное расстояние Канторовича наR.Следующее очевидное следствие устанавливает возможные причины от­сутствия оптимального транспортного отображения в инвариантной задачеМонжа.Следствие 4.3.Перестановочная задача Монжа имеет решение тогда итолько тогда, когда задача из пункта Q1) имеет решение, и, более того,задача из пункта Q2) имеет решение для -почтивсехи -почтивсех.Перестановочная задача Монжа не всегда имеет решение. Например,если — счетнаястепень одномерной меры (совместное распределение после­88довательности н.о.р.с.в.), ав — нет,то оптимальной транспортировки изне существует.4.1.2Сферически-инвариантные вероятностные распределенияРассмотрим инвариантную транспортную задачу для мер, инвариант­ных относительно операторов вида × ,где — унитарныйоператор наR = (RN ), а — тождественный оператор на ортогональном дополнении2к R .

Как правило, = (1 − 1 ) . Это один из примеров, когда задача Монжадопускает явное решение. Согласно известному результату (см. [44]) каждаясферически-инвариантная мерагде — распределениеRN допускает∫︁ = (),напредставлениегауссовских независимых одинаково распределенныхслучайных величин с нулевым средним и дисперсией,а — меранаR+ .Вэтом случае задача Монжа сводится очевидно сводится к изучению одномернойоптимальной транспортировки между4.2и .Транспортировка мер на гильбертовых пространствахВ этом параграфе мы продолжим исследование перестановочной задачиМонжа и покажем, что она сводится к изучению транспортной задачи на под­множестве гильбертового пространства.Сформулируем строгое определение перестановочной задачи Монжа—Канторовича, объединяющей в себе перестановочные задачи Монжа и Канто­ровича, рассматриваемые ранее.Определение 4.4.

Перестановочная задача Монжа—КанторовичаПусть заданы, ∈ (RN ) — перестановочныевероятностные распределе­ния. Перестановочной задачей Монжа—Канторовича будем называть задачу89поиска отображения : RN ↦→ RN , такого, что вероятностное распределение = ∘ (, ())−1является решением перестановочной задачи Канторовича с функцией стои­1 (,) = |1 − 1 |2 .Отображение называетсямостиоптимальной перестановочной транспор­тировкой.Заметим, что впараграфе 4.1.1 мы уже свели рассмотрение перестано­вочной задачи Монжа—Канторовича к рассмотрению семейства транспортныхзадач на прямой. Более точно, решение перестановочной транспортной зада­чи сводится к поиску решения задачи Монжа—Канторовича на метрическомпространстве(2 (R), 2 (R))с функцией стоимости22 .Оказывается, что можно пойти еще дальше, и свести вопрос к рассмот­рению транспортной задачи на некотором векторном пространстве.

Это мо­жет быть сделано с помощью известного результата о том, что пространство(2 , 2 ) изометрически изоморфно выпуклому подмножеству 2 ([0,1]). Изомет­рический изоморфизмℐ : 2 ↦→ 2 ([0,1])имеет видℐ() = −1 ,−1 — обратная функция распределения . В случае,пределения не взаимно-однозначна, мы полагаемгдекогда функция рас­−1 () = inf{ : (−∞,] > }.Заметим, что множество = ℐ(2 (R))состоит из неубывающих непрерывных справа отображений, принадлежащих2 [0,1].90Можно заключить, что перестановочная задача Монжа—Канторовича сво­дится к аналогичной задаче на подмножестве2 ,пространстваснабженномстандартной 2 -метрикой.Существование оптимальной транспортировки (решения задачи Монжа)на гильбертовом пространстве гарантировано при некоторых ограничительныхпредположениях.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
753,78 Kb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее