Диссертация (1137390), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

предложение 2.5).В случае = RNквадратичная функция стоимостикорректно определенной, но1перестает бытьпо-прежнему корректно определено. Поэтомув бесконечномерном случае имеет смысл рассматривать инвариантную задачуотносительно одного из следующих типов симметрий.84–Симметрии относительно группыZ, действующей координатными сдви­гами:(...,−2 ,−1 ,0 ,1 ,2 ,...) = (...,−1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,...),где — действиеобразующей группыZ.Вероятностные распределения, инвариантные относительно такого дей­ствия, называются стационарными. Они характеризуются следующимспособом (О. Калленберг [44], раздел 1.1). Пусть(1 , 2 ,...) — случайныйпроцесс с дискретным временем. Его распределение будем называть ста­ ∈ N конечномерные распределения слу­чайных векторов ( ,+1 , .

. . ,+ ) совпадают для всех ∈ N.– Симметрии относительно бесконечной симметрической группы S∞ , со­ционарным, если для любогостоящей из конечных перестановок счетного множества, и действующейнаNперестановками координат.Вероятностные распределения, инвариантные относительно такого дей­ствия, называются перестановочными (“exchangeable”). Эргодическиеперестановочные распределения — это в точности совместные распре­деления последовательностей независимых одинаково распределенныхслучайных величин.Эргодическое разложение мер подобного вида является обобщениемклассической теоремы Де Финетти: перестановочный случайный про­цесс с дискретным временем является смесью последовательностей неза­висимых одинаково распределенных случайных величин.– = R.RotRN , как группу∞операторов вида × , где — унитарный оператор в R = Pr (R ),а — тождественный оператор в ортогональном дополнении к R .ПустьОпределим группу симметрийнаВероятностные распределения, инвариантные относительно действиягруппыRot,называются сферически инвариантными.

Эргодическиесферически-инвариантные распределения — это в точности совместныераспределения последовательностей независимых нормальных случай­ных величин с одинаковой дисперсией и нулевым средним. -инвариантной задачи Канторовича с ин­вариантными маргиналами , . Обозначим через Erg() множество всех-инвариантных эргодических вероятностных распределений на .

Пусть име­Зафиксируемрешение85ются следующие эргодические разложения:∫︁ , ==∫︁Erg() (4.1)Erg( ), , где = , , — вероятностные распределения на Erg(), Erg( ).Пусть также имеется эргодическое разложение распределения :∫︁= , (4.2)мерErg(× )-инвариантность для означает инвариантность по отноше­нию к преобразованиям: (,) ↦→ ((), ()), ∀ ∈ ). Подчеркнем, что в (4.1) интегралы берутся не по переменным , , а по переменным , (, обознача­(напомним, чтоют пространства, на которых определены вероятностные распределения). Ана­логичное верно и для (4.2).

Очевидно, что -почти все ,имеют эргодическиемаргиналы, и, переходя к проекциям в левой и правой части равенства (4.2),мы получим разложения (4.1). Более того, из основной теоремы предыдущейглавы (теорема 3.42) следует, чтоТеорема 4.1. -почти все вероятностные распределения ,ниями-инвариантнойзадачи Канторовича с маргиналами∫︁ ( , )=inf ∈Π (, )∫︁ =являются реше­ , : , ,и верна следующая формула:∫︁inf∫︁ =∈Π (,)inf∈Π( , ) ( , ) .Значит, инвариантная задача Монжа—Канторовича может быть сведенак следующим двум подзадачам:Q1) Построить решение инвариантной задачи Монжа—Канторовича длявсех эргодических маргиналов.Q2) По заданным инвариантным вероятностным распределениям, и ихсоответствующим эргодическим разложениям (4.1) построить решениезадачи Монжа—Канторовича для вероятностных распределенийнаErg( × )с функцией стоимости .

, 86Рассмотрим, как эти подзадачи формулируются в случае интересующих насгрупп симметрий.4.1Типы симметрий на пространствах последовательностей4.1.1Перестановочные вероятностные распределенияОбозначим через∞группу всех перестановок натуральных чисел, кото­рые меняют местами только конечное число элементов. Рассмотрим естествен­ное действие этой группы наRN ,определенное по формуле() = (() ), = ( ) ∈ RN , ∈ ∞ .Рассмотрим вероятностные распределениятельно каждого элемента и , которые инвариантны относи­ ∈ ∞: = ∘ −1 , = ∘ −1 .Вероятностныераспределениятакоготипаназываютсяперестановочными(“exchangeable”). Простейший пример такой меры — счетная степень∞ некото­ на R. Напомним, что счетной степеньюназывается распределение последовательности н.о.р.с.в. с распределением ,Nкоторое является вероятностным распределением на R .рой борелевской вероятностной мерыВидоптимальнойтранспортировкивинвариантнойзадачеМонжа = ∞ очень легко описывается.

Рассмотрим отображение1 () = ⟨ (), 1 ⟩ и зафиксируем первую координату 1 . Тогда отображе­∞ние : (2 , 3 , . . . ) ↦→ 1 () инвариантно относительно (действующего на(2 ,3 , . . . )). Следовательно, — -почти наверное константа согласно закону0 − 1 Хьюита-Сэвэджа (Hewitt–Sawage law), примененному к мере . Поэтому1 зависит только от координаты 1 (с точностью до множества нулевой веро­вслучаеятности). Так как аналогичный аргумент может быть применен к каждой изкоординат, получаем, что— диагональное отображение:(1 (1 ), 2 (2 ), . . .

).87Более того, () = 1 (),так каккоммутирует со всеми перестановкамикоординат.Рассмотрим перестановочную задачу Монжа для функции стоимости=(1 − 1 )2 . Ответ на вопрос Q1) прост, так как эргодические вероятностные рас­пределения представляют собой счетные степени одномерных мер, а структураоптимальных транспортировок между ними хорошо известна. Что касается во­проса Q2), то можно воспользоваться классической теоремой Де Финетти:Теорема 4.2.Пустьделений наснабженное топологией слабой сходимости. Тогда для каждойR, — пространствоборелевских вероятностных распре­борелевского перестановочного распределения на RN существует борелевское сос войством∫︁() = ∞ ()Π()вероятностное распределениедля каждого борелевскогоΠна ⊂ RN .Из теоремы следует, что пространство эргодических вероятностных рас­пределений изоморфно пространствунаR.(R)всех вероятностных распределенийПоэтому для решения транспортной задачи в классе перестановочныхмер нужно исследовать транспортную задачу для пары0 , 0из(R),возни­кающей в разложении теоремы де-Финетти.

Ясно, что функция стоимости(R) наудовлетворяет равенству(1 , 2 ) = 22 (1 ,2 ),где2 — стандартноеквадратичное расстояние Канторовича наR.Следующее очевидное следствие устанавливает возможные причины от­сутствия оптимального транспортного отображения в инвариантной задачеМонжа.Следствие 4.3.Перестановочная задача Монжа имеет решение тогда итолько тогда, когда задача из пункта Q1) имеет решение, и, более того,задача из пункта Q2) имеет решение для -почтивсехи -почтивсех.Перестановочная задача Монжа не всегда имеет решение. Например,если — счетнаястепень одномерной меры (совместное распределение после­88довательности н.о.р.с.в.), ав — нет,то оптимальной транспортировки изне существует.4.1.2Сферически-инвариантные вероятностные распределенияРассмотрим инвариантную транспортную задачу для мер, инвариант­ных относительно операторов вида × ,где — унитарныйоператор наR = (RN ), а — тождественный оператор на ортогональном дополнении2к R .

Как правило, = (1 − 1 ) . Это один из примеров, когда задача Монжадопускает явное решение. Согласно известному результату (см. [44]) каждаясферически-инвариантная мерагде — распределениеRN допускает∫︁ = (),напредставлениегауссовских независимых одинаково распределенныхслучайных величин с нулевым средним и дисперсией,а — меранаR+ .Вэтом случае задача Монжа сводится очевидно сводится к изучению одномернойоптимальной транспортировки между4.2и .Транспортировка мер на гильбертовых пространствахВ этом параграфе мы продолжим исследование перестановочной задачиМонжа и покажем, что она сводится к изучению транспортной задачи на под­множестве гильбертового пространства.Сформулируем строгое определение перестановочной задачи Монжа—Канторовича, объединяющей в себе перестановочные задачи Монжа и Канто­ровича, рассматриваемые ранее.Определение 4.4.

Перестановочная задача Монжа—КанторовичаПусть заданы, ∈ (RN ) — перестановочныевероятностные распределе­ния. Перестановочной задачей Монжа—Канторовича будем называть задачу89поиска отображения : RN ↦→ RN , такого, что вероятностное распределение = ∘ (, ())−1является решением перестановочной задачи Канторовича с функцией стои­1 (,) = |1 − 1 |2 .Отображение называетсямостиоптимальной перестановочной транспор­тировкой.Заметим, что впараграфе 4.1.1 мы уже свели рассмотрение перестано­вочной задачи Монжа—Канторовича к рассмотрению семейства транспортныхзадач на прямой. Более точно, решение перестановочной транспортной зада­чи сводится к поиску решения задачи Монжа—Канторовича на метрическомпространстве(2 (R), 2 (R))с функцией стоимости22 .Оказывается, что можно пойти еще дальше, и свести вопрос к рассмот­рению транспортной задачи на некотором векторном пространстве.

Это мо­жет быть сделано с помощью известного результата о том, что пространство(2 , 2 ) изометрически изоморфно выпуклому подмножеству 2 ([0,1]). Изомет­рический изоморфизмℐ : 2 ↦→ 2 ([0,1])имеет видℐ() = −1 ,−1 — обратная функция распределения . В случае,пределения не взаимно-однозначна, мы полагаемгдекогда функция рас­−1 () = inf{ : (−∞,] > }.Заметим, что множество = ℐ(2 (R))состоит из неубывающих непрерывных справа отображений, принадлежащих2 [0,1].90Можно заключить, что перестановочная задача Монжа—Канторовича сво­дится к аналогичной задаче на подмножестве2 ,пространстваснабженномстандартной 2 -метрикой.Существование оптимальной транспортировки (решения задачи Монжа)на гильбертовом пространстве гарантировано при некоторых ограничительныхпредположениях.

Характеристики

Список файлов диссертации